《高中数学总复习四十三讲》(下)

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高中数学四十分怎么办推荐度：
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第三十四讲

分类计数原理与分步计数原理

命题点1 分类计数原理(加法原理)

命题点2 分步计数原理（乘法原理）

本类考题解答锦囊

命题点1 分类计数原理（加法原理）

解答“分类计算原理”一类试题应注意：

1．分类计数原理是强调完成一件事情的几类方法互不干扰，彼此之间的交集是空集，并集是全集．不论哪类方法中的哪一种方法都能单独完成这件事，办法中的各种方法也是相互独立的．

2．正确区分分步计数原理与分类计数原理．

I 高考最新热门题

1(典型例题)从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数学组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有——个．(用数字作答)命题目的与解题技巧：①本题主要考查分步计数原理与排列的基本知识．②抓住0不能在首位且个位只能是0或5来讨论是正确解题的关键．

[解析] ①当个位是0时，_______________0__

CCA＝4333433＝144．

②当个位不是0且含0，_____________5_

则个位必为5，先为0选位置．

CCCA＝2333432=48．

③当不含0时，个位必为5，______________5

CCA＝3363332＝108．

∴共有144+48+108＝300个．

[答案] 300

2(20022广东、河南)[文理]从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种

答案： C 指导：甲→A→B→C→D→甲

由上表知A，D不为甲．

(1)若B为甲，则不同传法=4种．

(2)若B不为甲，而C为甲，

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！则不同传法121212C C C ??=4种．

(3)若9不为甲，C 不为甲，则212=C ．

综上知，共有传球方法4+4+2=10种．

3(典型例题)从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则m 等于 A.101 B. 51 C.103

D ．52

答案： A 指导：若选择三个不同的数，(且不含0)共有22262728A A A A ++++ =168种．

若选择三个不同的数(含0) 共有8+7+6+5+…+1=36种若选择二个数，共有8+7+6+…+1=36种．∴共有168+36+36=240种

4(典型例题)在由数学1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

A ．56个

B ．57个

C ．58个

D ．60个

答案： D 指导：从01至10中连续选3个，共有8种选法，

从11至20个连续选2个，共有9种选法，

从21至30个选1个，共有10种选法，

从31至36中选1个，共有6种选法．

∴共有83931036种号码

∴共有8393103632=8640元故选D ．

5(典型例题)从0，l ，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有__________个．(用数字作答)

Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)等腰三角形的三边均为正数．它们周长不大于10．这样不同形状的三角形的种数为

A ．8

B ．9

C ．10

D ．1l

命题目的与解题技巧：①考查分类计数原理；②合理分类，注意条件“周长不大于10”

[解析] 设三边为x,y ，z ，则x+y+z ≤10，由三边关系共有

(1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(1，4，4)，(2，2，2)，(2，2，3)，

(2，3，3)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)共10种．

[答案] C

2(典型例题)三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有

A ．6种

B ．8种

C 10种

D ．16种

3(典型例题)如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有

A.240个 B ．285个 C. 231个 D.243个

4(典型例题)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从1l 至20中选2个连续的号，从21至扣中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要

A ．3 360元

B ．6 720元

C ．4 320元

D ．8 640元

Ⅲ 新高考命题探究

1如图34—1—1，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只

能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ A.180种 B ．240种 C. 360种 D ．420种

D 指导：(1)当1；2,4；3,5．仅三种花卉时，有35A 种．

(2)当1；2，4；3，5恰四种时，有45A 种．

(3)当1；2，4；3，5恰四种时，有45A 种．

(4)当栽种五种时，有种．

2在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种l 号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，那么有多少不同的试种方案?

分两类．04号地种4号小麦，1号地有2种试种方法，2、3号

地只有1种试种方法，∴共有2种种法．②土地编号与小麦

编号都不相同，第1号土地有3种试种方法，若1号地种的

是第1．号小麦，则第1．号土地有3种种法，余下的两块地只有

1种种法，共有333=9种试种方法．由分类计数原理试种方

案共有2+9=11种．

命题点2 分步计数原理(乘法原理)

本类考题解答锦囊

解答“分类计数原理”一类试题要弄清以下两问题：

1．分步计数原理强调各个步骤缺一不可，需要一次完成所有的步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步使用什么方法不影响后一步采取什么方法，也就是步与步之间相互依存，只有连续性，但每步中的不同方法却相互独立，互不干扰．

2．通常把完成题设事件的所有方法分为若干个“互斥类”，又在同一类中将完成事件的方法分成若干个“独立步”，以保证“不重、不漏”．

I 高考最新热门题

1(典型例题)将3种作物种植在如图34—1—2，5块试验田里，每块

种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法

共有——种。(以数字作答)

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查分类、分步计数原理等基础知识，以及运用所学知识解决实际问题的能力． ②抓住了3种种子都种在试验田中这一特点，是正确解题的关键．

[解析] 分别用a ，b ，c 表示3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设先放入a ，再安排第二块田有b 或c 两种作物，有2种方法，不妨设放入A ，下面对第三块田种。或c 进行分类：

(1)若第三块田种c ，则第四、五块田分别有2种方法，共232种方法；

(2)若第三块田种a ，则第四块田仍有b 或c 两种作物可放；

①若第四块田放c ，则第五块田有2种方法；

②若第四块田放b ，则第五块田只能放c ，有2种方法．综上，共有3x2x[2x2+(2+1)]=42种方法．

[答案] 42

2(典型例题)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为

A ．42

B ．30

C ．20

D ．12

答案： A 指导：第一步，先插入第一个节目，有6种插入法．

第二步，再插入第二个节目，有7种插人法．

故共有736=42种．

3(典型例题、河南)圆周上有2n 个等分点(n>1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________2

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！答案：2n(n —1) 指导：2n(n —1)圆周上有2n 个等分点，因此，有n 条直径，每条直径为斜边，有2n —2个直角三角形，故共有 n 2(2n-2)=2n(n-1)个直角三角形．

4(典型例题)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有________种(用数字作答)．答案：5 指导：设每次跳动的值为x(i=1，2，2，3，5)，则根据题意得5=3．必有4个1和一个-1，共有方法

=5(种)．

5(典型例题)如图10—1—3所示，一个地区分为52个行政区域，现给地图着色，

要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共

有___________种．(以数字作答)

答案：72 指导：先排1区，有4种方法；再排2区，有3种方法；接着排3区，

有2种排法．下面对4区涂色情况进行分类；若4区与2区同色，有1种方法，此时5区有2种方法，若4区与2区不同色，则1、2、3区不同色，故4区也只有1种方法，此时5区只有1种方法，故共有433323(132+131)=72(种)．

Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)甲乙丙三个单位分别需要招聘工作人员2人、1人、1人，现从10名应聘人员中招聘4人到甲乙丙三个单位，那么不同的招聘方法共有

A ．1260种

B ．2025种 C.2520种 D ．5040种

命题目的与解题技巧：①考查分步计数原理与组合知识；②合理分步是解决此类问题的关键

[解析] 第一步先从10人中选2个有种，再从8人中选1个人有种，再从7人中选1个人有种，故共有1

718210C C C ??＝2 520种方法．

[答案] C

2(典型例题)某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同的插入方法有

A ．20种

B ．30种 C.42种 D ．56种

答案：B 指导：由题意知，将第一个小品节目插人节目单中，有15C 种插法．

将第二个小品节目插入节目单中，有16C 种插法．

则共有1615C C =30种安排方法．

3(典型例题)由0，l ，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为

A ．180

B ．196

C 。210

D ．224

答案： C 指导：由题意知可能情况有

(1)___08_，(2)____8_0，(3)____1__9_，(4)____9__1_

对(1)、(2)都有不同数字28A =837=56种．

对(3)、(4)都有不同数字1717

C C =49种．则共有(56+49) 32=210种不同四位数．

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ 4(典型例题)某电子器件的电路中，在A 、B 之间有C 、D 、E 、F 四个焊点(如图34—1-5)．如果焊点脱落，则有可能导致电路不通，今发现工A 、B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有_________种．

答案：13 指导：焊点C 是否脱落有12种选法． D 、E 、F 均有2种选法．则有Z 2=16种方案．而全不脱落电路畅通，有1种方案，恰D 、E 中一个脱落，

种方案．故断路方案有16-1-12C =13种．

Ⅲ 新高考命题探究

1.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有

A.90个

B.99个

C.100个

D.112个

答案： C 指导：千位上数字的取法引110C ，百位上数字的取法共设计方案=100种，也即有100个密码．

2.如图34-1-6所示，用不同的五种颜色分别为A 、B 、C 、D 、E 五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以重复使用，也可不使用，则符合这种要求的不同着色的方法种数是

A.120

B.240

C.480

D.540

答案： D 指导：为A 着色有15C 种，为B 着色有14C 种为C 着色

种，为E 着色有13C 种．

为D 着色有13C 种．故共有13131415C C C C =540种

第三十五讲排列与组合

命题点1 排列

命题点2 组台

命题点1 排列

本类考题解答锦囊

解答“排列”一类试题应注意以下几方面：

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ 1．本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用．

2．关键是对二次函数、偶函数弄清楚．

3．“在”与“不在”的问题应该使用“优先法”．优先考虑特殊位置或者特殊元素，对这些特殊位置或者特殊元素进行优先排列．

4．“邻”与“不邻”的问题中：“邻”的问题应使用“捆绑法”；“不邻”的问题应使用“插空法”． I 高考最新热门题

1(典型例题)从—1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax 2+6x+c 的系数，可组成不同的二次函数共有___________个，其中不同的偶函数共有_________个．(用数字作答)

命题目的与解题技巧：①本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用②关键是对二次函数，偶函数弄清楚．

[解析] ∵a ≠0,∴a 应从除0外的三个数中任取一个有13C 个．b 、c 应从剩下的三个中任取2个，有

23A 种取法．则组成不同的二次函数共有2313A C =18个，组成偶数函数必满足a ≠0,b=0，则有23A =6个．

[答案] 6

2(典型例题)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为

A ．2426C A

B ．242621

C A C ．2426C A

D ．262A

答案： B 指导：分两步：①把4名学生平均分成两组，有方法：

2422

2422C C C 1=?;②把两组学生分到六个班级的两个班中，；26A 种方法，故共有方案242621

C A 种，选B

3(典型例题)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

A.234 B ．346 C. 350 D ．363

答案： B 指导：前排中间的3个座位不能坐，有排法220A ，其中左；相邻的分三类，在前排的其中

的4个座位有322A ；，则符合条，的排法的种数中2222222201133A A A A ---=346，故选B 另解：分三类：①

两人坐在前排，按要求有426+425=44

种坐法．

②两人坐在后排，按要求有：211A =110种坐法．

③两人分别坐在前后排，有831232=192种

∴共有346种排法．

4(20022京皖)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有

A.280种

B.240种 C ．180种 D ．96种

答案：指导：

因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种，再从余下

的5人中选3人从事导游、导购、保洁有14A 种，因此3514A A =240题点经典类型题

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为

A.120 B ．324 C.720 D ．1280

命题目的与解题技巧：考查排列知识，用“涂色原理”．

[解析] 分五步：534343434＝1280，故选D

[答案] D

2(典型例题)用1个1，2个2，3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数

A ．20

B ．60

C ．120

D ．90

答案： B 指导：由题有22

3366

A A A =60 故选

B ． 3(典型例题)有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有

A.24种 B ．36种 C.60种 D ．66种

答案： B 指导：先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙右边各占21故不同方法数有243321A A ?=36种．

4(典型例题)用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是

A ．36

B ．32

C ．24

D ．20

答案： D 指导：按首位数字的奇偶分两类：若首位是奇数，则共有种方法，若首位是偶数，则共有

222233)(A A A -种方法．

．．．这样的五位数共有2

222333322)(A A A A A -+=20种． Ⅲ 新高考命题探究

1百米决赛有6名运动员A 、B 、C 、D 、E 、F 参赛，每个运动员速度不同，则运动员A 比运动员9先到终点的比赛结果共有

A ．360

B ．240

C ．120

D ．48

答案： A 指导：由A 比F 先到终点．又A 与F 先到终点的机会均等，故只需对六人全排后除以2即2/66A =360．选A 2 6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五或第六道，则不同排法种数共有

A ．144

B ．96

C ．72

D ．48

答案： A 指导：先为乙选一道12C ，再为甲选一道13C 余下4人排法有44A ，则共有441312A C C =144．

3从6名短跑运动员中选出4人参加4x100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有

A.180种 B ．240种 C. 300种 D ．360种

答案：指导：分三种情况：(1)甲、乙都不参加，有44A =24种；(2)甲、乙仅有1人参加．有4413

2A C =144种；

(3)甲、乙两人都参加，有2423

A A 72种．由分类计数原理∴共有24+144+72=240种．命题点2 组合

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！本类考题解答锦囊

解答“组合”一类试题应注意以下几点：

1．读清题意，确定是排列还是组合．此时应该注意的地方是：选出的元素是否有各自不同的顺序或者位置．

2．与排列数不同，组合数有较多的性质(剩余性质和连加性质)，与以前或以后的很多知识点都有密切的联系，就引起特别注意。

3．注意组合中的关键字：“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”．

4．“多面手”问题：分类讨论，分类的依据应该是看多面手分到两边中其中一边的人数．

5．几何问题：考虑(1)所给点的特点；(2)所构成图形的要求．

I 高考最新热门题

1(典型例题)直角坐标xOy 平面上，平行直线x=n(n=0，1，2，…，5)与平行直线y=n(n=0，1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有

A.25个 B ．36个 C.100个 D ．225个

命题目的与解题技巧：①考查排列组合的计算问题，以及分析问题、解决问题的能力． ②解决计数问题的关键是选择计数的出发点，即“完成一个事件”的策略是什么?本题“完成矩形”的构造，考虑的着眼点是矩形是由四条边构成，这四条边从何而来．

[解析] 矩形是从平行直线x=n(n=0，1，2，…，5)中选择两条，作为一组对边．再从平行直线y=n(n=l,0，1，2，…，5)中选择两条，作为另一组对边形成的．每一种选择方案确定一个不同的矩形，故矩形共有2

626C C ? =225个．

[答案] D

2(典型例题)在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是

A ．29416C C

B ．29916

C C

C.3943100C C - D ．3943100A A -

答案： C 指导：任取3件产品有3100C 种方法，其中无次品有种方法，故至少有1件次品的方法数为.3

943100C C - 3(典型例题)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A.140种 B ．120种 C 35种 D ．34种

答案： D 指导：既有女生又有男生，可以分类表示，三男一女有1334C C ?种选法，二男二女有2424C C 种，

一男三女有3514C C ?种

选法，则总的不同的选法有331423341334

C C C C C C ?+?+?=34(种) 4(20022北京)[理]12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有

A.种 B ．3种 C ．种 D ．种

答案： A 指导：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口．

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ Ⅱ 题点经典类型题

1 (典型例题)从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议，其中至少有1名男生和一名女生，则不同的选派方案有

A ．140种

B ．84种

C ．70种

D ．35种

命题目的与解题技巧：①考查组合问题．②合理使用加法原理．

[解析] 若选两女一男，则有2种方法，若选两男一女，则有C 2种方法，故共有C 2+2=70种．

[答案] C

2(典型例题三校)高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出12人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有

A.129种 B ．148种 C.165种 D ．585种

答案： C 指导：本小题可看成将12个人排成一排，插入8块板，分成9部分．有311811C C ==165种．

3(典型例题)一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是

A ．40

B ．74

C ．84

D ．200

答案： B 指导：若前5题中包含3个，则共有种，若前5题中包含4个，则共有种，若前5题中包含5

个，则共有1455C C

种，∴不同的选法种数为145524453435C C C C C C ?+?+?=74种．

4(典型例题)将1，2，3，…，9这9个数填在如图35—2—1中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中位置时，所填写空格的方法有

A ．6

B ．12

C ．18

D ．24

答案： A 指导：由题意知数字1，2，9的位置也是固定的，如图：5，6，7，8四个数字在A 、B 、C 、D

四个位置上，A 、B 位置上的填法24C ，C 、D 位置上的填法22C ，共有2224C C ?=6种，故选A

Ⅲ 新高考命题探究

1将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有

A ．252种

B ．112种

C ．70种

D ．56种

答案： B 指导：由题知，总分配方法有：2257334747375527C C C C C C C C +++=112种．故选B

2圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是

A. 412A

B. 212212A A

C. 212212C C

D. 4

12C

答案： D 指导：圆周上任意四个点的交叉连线交点均在圆内且惟一，故只需确定这样四点的种数．由这

四点选法有，故在圆内交点个数为412C ，所以选n 3设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，由

S T 的值为_______2 答案：

12815...:128151010110010310=+++=C C C C S T 指导

考场

热身探究性命题综合测试 1一架间谍飞机侵入我领空，空军某部奉命派出三架战机跟踪拦截，作战部要求我战机分别位于敌机的左

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！右两翼和后方成三角之势夹击敌机，这样，我三架战机的不同排列方式有( )种

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

答案： B 指导：即三架飞机三种不同占位，故33A =6(种)

2要排出一张6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两舞蹈节目不得相邻，不同的排法共有( )种

A ．1010A

B ．4466A A ?

C ．2766A A ?

D ．4

766A A ?

答案： D 指导：先排6个歌唱节目有种排法，这6个节目有7个空隙(首尾各一个，中间5个)，在这七

个空隙中将4个舞蹈节目插入有种插法，由分步计数原理，共有4766A A 种方法． 3现从某校5名学生中选出4人参加数学、物理、化学三个课外活动小组，要求每个小组至少有一人参加，且每人只参加一个活动小组，则不同的参加方案种数是

A ．180

B ．120

C ．60

D ．30

答案： A 指导乙丛5名学生中选4人有45C 种选法，然后4人分成3组参加数理化三个课外活动小组，有

3324A C ?种，则共有3

32445A C C ??=180（种）选A 4某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张不同花色的A ，有5次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?

答案：4523353523452535A C A A A A A A ?+++++=860种指导：出牌的方法可分为以下几类：①5张牌全部分开出，有55A 种方法；欧张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；③2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方

法；④2张2一起出，3张A 分两次出，有3523A C ?种方法；⑤2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；

⑥2张2分开出，3张A 分两次出，有4523A C 种方法，因此共有不同的出牌方法

5已知y=f(x)是定义域为A={x|1≤x ≤7，x ∈N ｝，值域为B={0，1｝的函数

(1)试问这样的函数f(x)共有多少个?

(2)若对于定义域中的4个不同元素，对应的函数值都是1，那么这样的函数共有多少个?

答案：(1)函数是非空数集到非空数集上的一个映射，根据映射的定义，只要对集合A 中的7个元素在9中都有唯一的元素与之对应即可，根据分步计数原理，共有232323…32=72=128个，又0或1没有原象的映射各有一个，故这样的函数f(x)共有1282=126个．

(2)因为定义域中的4个元素对应于值域中的1，那么其余3 个元素都对应值域中的0，故这样的函数f(x)

有47C =35(个)．

第三十六讲

二项式定理

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命题点1 通项公式

命题点2 二项展开式的系数与系数和命题点1 通项公式本类考题解答锦囊

解答“通项公式”一类试题要注意以下几方面： 1．熟悉通项公式

2．在二项式的题目中出现“项”的问题(如常数项、含x 的项、含的项、有理项等)，通常都要用通项公式．

3．用通项公式解题，通常是解方程的问题，要注意方程的选取． I 高考最新热门题 1(典型例题)x

x 1-

展开式中x 5的系数为____________.

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理、指定项系数等基本知识． ②利用好二项展开式的通项公式T r+1使问题简化． [解析] T r+1.

388

)'1(r r r

r x

C r

C -

-=-

令8-

=r 2

35得r ＝2．

∴展开式中x 5的系数为2

8C ＝28． [答案] 28

2(典型例题)若(1—2x )9展开式的第3项为288，则)111(

lim 2

n x

∞

→ 的值是

A.2 B ．1 C.2

1 D.5

2 答

案

：

指

导

：（

a+b

）

展开

式中第r+1

项为

的等比数

列

是

公

比为则

数列解之由此知3

2}1{2

3:)2(288,2

9)(1n x r

r a r

n r x

x C b a C T =

-?=?=-+ 2

2132)1...11(,321]

)32(1[32

1.....12lim =-

=++∴--=++∞-n n n n x x x x x

3(典型例题)已知(x-8

a 展开式中常数项为1120，其中实数。是常数，则展开式中各项系数的和是

A.28

B ．38

C.1或38 D ．1或28

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： C 指导：设第r+1 项为常数项，则有为常数项

时当1288881,4)()(+--+=?-?=-??=r r r r r r r r T r x a C x a

x C T 即：88448)21()2

(,22:1120)(++-=±==-?展开式中各项系数和时当解x

x a a a C 当a=2时，1)12

1()2

(88=--展开式中各项系数和为

x x 4(典型例题)已知n x x )(31

23-+的展开式中各项系数的和是128，

则展开式中x 5的系数是_______.(以数字作答)

答案：35 指导：各项系数

和为.35.3,56119,)()(,7,1282,23

731

231====-??===--+C C r r n x x C T n r n r r n r n r n n 令则

Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)已知(n x x )5301+的二项展开式的第六项是常数项，那么

n 的值是

A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

命题目的与解题技巧：①考查二项式定理． ②灵活使用通项．

[解析]1)5(301

55556)()301(+---?=??=n n n n x C x x C T

∴.35.01)5(301

=∴=+--n n

∴ 故选D ．

[答案] D

2(典型例题)(x 3+n

x )12的展开式中，第6项系数最大，则不含x 的项为

A ．210

B ．10

C ．462

D ．252

答案： A 指导：第六项系数即为第六项的二项式系统。

210,6,02330.)1()(.106

10102330102103101==∴==--=??==∴---+C C r r r x C x x C T n r

r r r r r r

r 令

3(典型例题)设f(x)=1+x+(1+x)2+…+(1+x)n 的展开式中x 项的系数和为Tn ，则 A.81 B. 41 C. 21

D.l

答案： C 指导：.21

.2...12lim 2

11312=+∴+=+++=∞→n n T

n n C C C T n

n n n

4(典型例题)已知6

)1(x x x -的展开式的第五项等于215

，则∞

→n lim (x -1+x -2+…+x -n )等于

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案： B 指导：1

623

1465221.21515)()(-----==∴==?-=x x x x C T

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11(2

11)

211(21

)

1 (2)

)....(lim

lim 3

lim =-

=++++∴∞→∞

→∞

→----∞

→n

n n

n x x x x

5(典型例题)若(x2+)n 的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是________

答案：20 指导：由题知n=6，∴常数项为203

6=C

6(典型例题)若n

x )2(-

的展开式中的第5项为常数项，则n=______________ .

8 指导：2

452)2(

)

--???=

??=

C x

x C T n n

n n

∴第5项为常数项 .8,0)2

4(2

4=∴=-

+-∴n n

Ⅲ 新高考命题探究

1在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)典型例题式中x3的系数等于 A ．4

2004C B ．4

2005C C ．3

20042C D ．3

20052C

B 指导： x 3 的系数等于B

C C C C C C C C C 故选4

20053200435344432004353433.......=++++=++++

2在(x 2+3x+2)5

展开式中x 的系数为 A ．160 B ．240 C ．360 D ．800

答案：B 零指导：由题知x 的系数为x C x C ?=??2402)3(44415

命题点2 二项展开式的系数与系数和本类考题解答锦囊

解答“二项展开式的系数与系数和”一类试题要注意：

1．区分二项式系数与系数的区别与联系，不要将两者混为一谈．

2．二项式系数和与系数和：二项式系数和式是结论性的，记住结论即可．系数和的求法是“赋值法”，针对不同的问题赋不同的值，通常是“1，-1，0”．

3．注意系数和与二项式系数和中的“全和”与“半和”． I 高考最新热门题

1(典型例题)若(1—2x)典型例题+a 1x+a 2x 2+…+a 典型例题

(x ∈R)，则(a o 十a 1) +(a o +a 2) +(a o +a 3)+…+(a o 十a

典型例题

_______.(用数字作答)

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理的基本知识，以及赋值法等基本方法． ②观察式子特点，寻找x 赋值为多少时使已知所得等式更接近所求，从而使问题迎刃而解． [解析] 令x=0，得a 0=1；

令x=1，得1=a o +a 1+a 2+…+a 典型例题故(a 0+a 1) +(a 0+a 2) +(a 0+a 3) +…+(a 0+a 典型例题003+a 0+a 1+a 2+…+a 典

型例题

04．

[答案] 典型例题(典型例题)=++++++++∞

→)

(lim

114

242322n

n C C C C C C C C

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A ．3 B.

1 C.

1 D ．6

答案： B 指导：原式3

)

2)(1(23)

...32(lim

lim 1=

+-?

?=+++=∞

→+∞

→n n n n n C n n n

3(20022上海)在二项式(1+3x)和(2x+5)的展开式中，各项系数之和分别记为an 、bn ，n 是正整数，则

=--∞

→n

n n n b a b an 432lim

_________.

答案：

214

4(32

)74(7

4437

244327,4::2

1lim

lim

-?-=?-??-=--∴==∞

→∞

→n n

n n

n n n n

n n n n n n n b a b a b a 由二项式定理得

指导

4(典型例题)若(x+2)n =x n +…+ax 3++bx 2+cx+2n (n ∈N ，且n ≥3)，且a:b=3:2，则n=__________.

答案：指导：,222...2)2(1112233311110n

n n n n n n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x C x ?+?++?++?++=+------

故a=11

2)1(2

23)

2)(1(222

3=∴=

∴

?-?

=??--?=+----m n b

a n n C

b n n n C n n

n n n n

Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)若(n ∈N+)，且(2—x)n=a0+alx+a2x2+…+anXn ，则a0-a1+a2-…+(-1)nan 等于 A ．81 B ．27

C ．243

D ．729

命题目的与解题技巧：①考查二次式定理 ②灵活运用“半和”公式 ③合理使用“赋值法” [解析] 由题知2n+6=n+2，∴n=-4(舍)或2n 十6n 十2=20∴n=4．此时令x=—1，a 0-a 1+a 2-a 3+…(-1)n a n =34=81． [答案] A

2(典型例题)已知

∑=n

m i ai

=a m +a m+1+…+a n (其中m 、n ∈Z ，且0≤m

∑∑∑===-==

--n i n

i n

i n i

i n

ai aix

x C 0

;)3()

1(则

A ．0

B ．-2 C.(-1)n

D ．n 为偶数时为0，n 为奇数时为-2 答

案

：

指

导

：

由

题

知

，

只

需

令x=1则

n n n i

n n

i i

i n i

i i n

i C C C C C a )

1()21()

2(...)2()2()2()13

()

1(1

-=-=-+-=-=-=

--∑=∑

∑

===

,2,

1)1()1(1

=∴-=∴--=--=∴

∑∑∑===n

i i

n n

i i

n a

n a a

为偶数时当为奇数时当

3(典型例题)若n 是奇数，则7n +1

---++++n n

n n n n C C C 7被9除的余数是

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A ．0

B ．2

C ．7

D ．8 答

案

：

指

导

：

原

式

.1)1(....1)1(9

9)1(1)19(181)17(.17 (771)

7--++-+-=--=-=-+=-+?+?+=---n

n n n n

n n

n n n

C C C C C C C

∵n 为奇数，故侨余数为7。

4(典型例题)若(2—x)l0=a 0+a 1x+a 2x 2+…a l0x 10,

则log 2a 0+log 2a 8+log45=__________.

答案：12 指导，；1245log 45log 21045log 2log 2log 45log log log 2222

810210228202=-++=-?+=-+C a a

Ⅲ 新高考命题探究

1在(1+x)n

(n 为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1-x 2

的值为 A ．0 B ．AB C ．A 2

-B 2

D ．A 1

+B 2

答案： C 指导：由题知222))(()1()1()1()1()1(B A B A B A x x x B A x B A x n n n n n -=+--+-=-∴+=--=- 2多项式(1—2x)5(2+x)中含x 3的系数是 A ．120 B ．—100 C. 100 D ．—120

答案：D 指导：因为.120)2(2)2()2()21(22533535-=-+-+-C C x x x 的系数的展开式

考场

热身探究性命题综合测试

1当n ∈N *且n ≥2时，1+2+22+…+24n-1=5p+q(其中p 、q 为非负整数，且0≤q<5)，则q 的值为 A ．0 B ．1

C. 3 D ．与n 有关

答案： A 指导：由于1+2+1222...241442-==++-n n n ∴问题转化为求24n -1被5除的余数。

∵n

n n n n n n n C C C 15...15151)151(116122214?++?+?=-+=-=-

2已知(2x 2+

)13

(n ∈N *)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是

A ．4

B ．5

C ．9

D ．10

答案： B 指导： B n r n x C x x C T r

n r n r n r r n r n r 故选的最小值是则5052,2)2(52321∴=-??=?=----+

3(1—3a+2b)5展开式中不含b 的项系数之和是___________. 答案：指导：令a=1,b=0即得不含b 的项系数之和为32)31(5-=- 第三十七讲概率

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命题点1 等可能性事件的概率

命题点2 互斥事件有一个发生的概率

命题点3 朔互独立事件同时发生的概率

命题点l 等可能性事件的概率

本类考题解答锦囊解答“等可能性事件的概率”一类试题的方法如下：

1．等可能性事件概率的求法是“除法”P ＝总的“情况”数符合条件的“情况”数

2．根据题目中给出的“放回…‘不放回…‘逐次抽取…‘一次抽取”，可将等可能性事件的概率分成三种“排列型”“组合型”“乘方型”，注意它们的区别与联系．

I 高考最新热门题

1(典型例题)从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为

A.12513

B. 12516

C. 12518

D. 12519

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查排列组合的应用，以及等可能性事件的概率等基本知识． ②先将数字和为9的数字分组，再对每组数字求解三位数个数．使问题迎刃而解．

[解析] 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成三位数，有5’个，其中各位数字之和等于9，可能有(3，3，3)，(3，2，4)，(2，2，5)，(1，3，5)，(4，4，1)五组数，共有l+6+3+6+3＝19个，故概率为．

[答案] D

2(典型例题)某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位．若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为

A. 101

B. 201

C. 401

D. 1201

答案： B 指导：先把一班的三位同学捆绑在一起和其他班的5位同学排列有66A 种排法，从7个空档中

选出2个位置给二班的2位同学有种排法，最后的3位排在一起的同学又有27A 种排法，故共有`33A 种排

法，所以所求概率为.201101033

2766 A A A A ．

3(典型例题)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ A. 2165 B. 21625 C. 21631 D. 21691

答案： D 指导：“至少出现一次6点向上”的事件有1次向上、2次向上、3次向上等3类可能，正面作答运算比较烦琐，这种情形下，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现6点向上”的事件的概率．解法一：把一颗骰子先后抛掷3次，向上的点数为o ，6，c ，记

事件的结果为(o ，6，c)，则一颗骰子先后抛掷3次的结果有 63636=216种可能，其中“至少出现一次6点向上”的事件有1次向上、2次向上、3次向上等3类结果，共3(13535) +3(13135)+13131=91种可能．

故至少出现一次6点向上的概率为21691

．

解法二：一颗骰子先后抛掷3次的结果有63636=216种可能，其中“至少出现一次6点向上”的对立事件“没有6点向上”共有53535=125种可能，故至少出现一次6点向上的概率为1-.21691

216125

4(典型例题)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为 A. 4021 B. 4017 C. 103 D. 1207

答案： D 指导：前两次取出的是螺口灯泡，有23A 种取法，第三次取得的是卡口灯泡，有种取法，据分

步原理，共有的排法，所以所求的概率为 120731017

23=A A A

5(典型例题)一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________.(结果用分数表示) 答案：145

指导：8篇论文任意次序进行交流有88A 种方案，其中最先和最后交流的论文为试点的方案数为，故其概率为.145886

25=A A A

6(典型例题)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A ，B 两组，每组4支．求：

(1)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；

(2)A 组中至少有两支弱队的概率．

答案：(1)三支弱队在同一组的概率为.718154481

5=+

Cj C C C 故有一组恰有两支弱队的概率为：76

711=-

(2)A 组中至少有两支弱队的概率为．.21481533252

3=+C C C C C

7（典型例题)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛：

(1)求所选3人都是男生的概率；

(2)求所选3人中恰有1名女生的概率；

(3)求所选3人中至少有1名女生的概率．

答案：(1)所选3人都是男生的概率为513634

=C C

(2)所选3人中恰有1名女生的概率为.533624

12=C C C

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(3)所选3人中至少有1名女生的概率为5

222412=

+C C C C C

Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺相邻的概率为 A.

1 B.

2 C.

3 D.

命题目的与解题技巧：①本题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算以及运用数学知识解决问题的能力．

[解析] A 、B 、C 、D 、E 五张卡片中2张按字母顺序相邻的情况有4种，则所求概率为P ＝

2C 42

故选B [答案] B

2(典型例题)某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是__________.(用分数作答)

答案：

5 指导：解法一：从4名男生与3名女生中选出2人担任正副班长，有2

7A =42种方法，其中

至少有1名女生当选有2

301221311A C A C C +=30种方法，故至少有1名女生当选的概率是

542

30=

3(典型例题)为了支持三峡工程建设，我市某镇决定接收一批三峡移民，其中有3户互为亲戚关系，将这3户移民随意安置到5个村民组．

(1)求这3户恰好安置到同一村民组的概率；

(2)求这3户中恰好有2户安置到同一村民组的概率；

答案：(1)3户任意分配到5个村民组，共有53种不同分法： 3户都在同一村民组共有5种方法；3户在同一村民组的概率为

5户分在同一村民组的概率为

50．04．

(2)恰好有2户分在同一村民组的结果有2

523A C 种， 48.05

3=A C ∴恰有2户分在同一村民组的概率为0。48

4(典型例题)有九张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中各抽取一张卡片(不放回)．试求：

(1)甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率；

(2)甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．

答案：(1)甲、乙二人依次从九张卡片各抽取一张的可能结果有；，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为P 1，则．

.18

572

201

51=

??=

C C C C P

(2)甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件包含下面三个事件：

“甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片”有1

415

C C ? 种； “甲抽到写有偶数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片”有1

415

C C ?种；

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“甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有1

415C C ?种．

设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件为P 2，则6

572

601

151********=

?+?+?=C C C C C C C C P

Ⅲ 新高考命题探究

1某省举行的一次民歌大奖赛中，全省六个地区各选送一对歌手参赛，现从这12名选手中选出4名优胜者．则选出的4名优胜者，恰有两人是同一地区送来的歌手的概率是

8 B.

165

64 C.

16 D.

答案： C 指导：4名歌手来自三个赛区，则先确定赛区，有36C 种，再确定哪区出一人，哪区出两人及是

谁，则

12122

23C C C C ?

则共有1

12222336C C C C C 则相应概率

164

12222336=

C C C C C C ．

2一个盒子里装有相同大小的红球32个，白球4个，从中任取两个，则概率为

236

4132C

C C 的事件是

A.没有白球 B ．至少有一个是红球

C.至少有一个是白球 D ．至多有一个是白球

答案： C 指导：至少一个白球的种数为2

132C C C +

则至少一个白球的概率为

32C C C C +

3若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是________ 答案：

2 指导：基本事件总数为1

616C C ?=36，记事件A={P(m ，n)落在圆=16内}，则A 所包含的基本事件

为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8个，故P(A)=9

236

。

命题点2 互斥事件有一个发生的概率本类考题解答锦囊

解答“互斥事件的概率”一类试题应注意：

1．互斥事件是指“不可能同时发生的两个事件”，求法是“加法”：P(A+B)=P(A)+P(B)．

2．互斥事件解决的关键是“分类”，满足条件的情况共有几个互斥的事件，然后一一求其概率，相加即可． I 高考最新热门题

1（典型例题、天津)有三种产品，合格率分别是0．90，0．95和0．95，各抽取一件进行检验． (1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有两件不合格的概率．(精确到0．001)

命题目的与解题技巧：①本题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力． ②对问题分类处理是解题关键．

[解析] 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C

(1)P(A)=0．90，P(B)=P(C)=0．95，P(A )=0．10，P(B )=P(C )=0．05．因为事件A 、B 、C 相互独立，

所以恰有一件不合格的概率为P(A 2B 2C )+P(A 2B ·C)+P(A 2B 2C)=P(A)2 P(B)2P(C )+P(A)2P(B )2P(C)

十P(A )2P(B)2

P(C)=23O ．9030．9530．05+0．103O ．953O ．95=0．176．

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！ (2)解法一：至少有两件不合格的概率为

P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C+PCA ·B ·C)=0．90 3 0.052+2 3 0．103 60．0530．95 +0．103 0．052=0．012．

解法二：三件产品都合格的概率为

P(A 2B 2C)=P(A)2P(B)2P(C)=O.903O ．052=0．812．由(1)知，恰有一件不合格的概率为0．176，所以至少有两件不合格的概率为

1—[P(A 2B 2C)+0．176]=1—(0．812十0.176)=0．012．

[答案] (1)0．176；(2)0．012

2(典型例题)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0．其他5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是__________.(以数值作答) 答案：6313

指导：考虑对立事件：摸出的5个球所标数字之和2或3(从标有数字的0的5个球中摸出3个．标

有数字1的5个球中摸出2个或从标有数字0的5个球中摸出2个、标有数字1的5个球中摸出3个)的概率是635051035

252535=+C C C C C ，所以摸出5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是6313

6350

1=-

3(典型例题)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得到100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0．8、0．7、0．6，且各题答对与否相互之间没有影响．

(1)求这名同学得300分的概率；

(2)求这名同学至少300分的概率．

答案： (1)这名同学得300分的概率为

3)()()()()()()()()()(321313213213211=++==+=A P A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A A P P 30．3 30．6+0．2 30．7 30．6=0．228

(2)这名同学至少得300分的概率为564.0)()()(228.0)(32132112=+=+=A P A P A P A A A p P P

4(典型例题)设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0．7、0．6和0．5．

(1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；

(2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．

答案：至少一人命中目标的概率为0．94，恰好两人命中目标的概率

为0．44．

(1)设表示“第众人命中目标”，k=1,2，3，这里独立，且

5.0)(,

6.0)(,

7.0)(321===A P A P A P 从而，至少有一人命中目标的概率为

94.05.04.03.01)()()(1)(1321321=??-=-=??-A P A P A P A A A P 恰有两人命中目标的概率为

21321321(A A A A A A A A P ?+??+??

.06.06.03.05.04.07.05.06.07.0)3=??+??+??=?A (2)恰好两次命中的概率为0.441设甲每次射击一次试验，从而该问题构成三次独立重复试验，又已知每次命中概率为0．7．

故所求概率为441.03.07.0)(1223

3=?=C A P Ⅱ 题点经典类型题

1(典型例题)某售货员负责在甲、乙、丙三个柜组上售货，如果某一小时内各柜组不需要售货员照顾的概率分别是0.9、0．8、0．7，假定各个柜组是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：

(1)只有丙柜组需要售货员照顾的概率; (2)三个柜组最多有一个需要售货员照顾的概率；

(3)三个柜组至少有一个需要售货员照顾的概率．

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七彩教育网(77140203f78a6529647d53f2 ) 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！命题目的与解题技巧：①考查相互独立事件同时发生的概率．②注意题目中“只有”“至多”“至少”的意义，合理分类，每类之间为互斥事件．

[解析] 解：设事件A 表示“某一小时内甲柜组不需要售货员照顾”；事件B 表示“某一小时内乙柜组不需要售货员照顾”；事件C 表示“某一小时内丙柜组不需要售货员照顾”．

则事件A 、B 、C 相互独立，且P(A)=0．9，P(B)=0．8，P(C)=0．7．

(1)设事件D 表示“某一小时内只有丙柜组需要售货员照顾，则D=A 2B 2C 且此三事件相互独立． ∴P(D)=P(A 2B 2C )=P(A)2P(B)2P(C )=0．930．830．3=0．216(4分)

(2)设事件E 表示“某一小时内三个柜组最多有一个需要售货员照顾”，则E=A 2B 2C+A 2B 2C+A 2B 2C+A 2B ． C .又A 2B 2C 、A 2B 2C 、A 2B 2C 、A 2B 2C 彼此互斥，A 、B 、C ，A 、B 、C 相互独立，故P(C)=P(A 2B 2C)+P(A 2B 2C )+P(A 2B 2C)+P(A 2B 2C )=0．930．830．73+0．13O ．830．7十0．9 30．230．7+0．930．8 30．3=0．902

(3)设事件F 表示“某一小时内三个柜组至少有一个需要售货员照顾”，则F F=A 2B 2C ，又A 、B 、C 相互独立，故 P(F )=P(A 2B 2C)=P(A)2P(B)2P(C)

=0．930．8 30．7=0．504

∴P(E)=1-P(F)=1-0．504=0．496．

[答案] (1)0．216；(2)0．902；(Ⅲ)0．446

2(典型例题)一患者服用某种药品后被治愈的概率是95％，则患有相同症状的四位病人中至少有3人被治愈的概率为

A ．0．86

B ．0．90

C ．0．95

D ．0．99

答案：至少一人命中目标的概率为0．94，恰好两人命中目标的概率

为0．44．

(1)设表示“第众人命中目标”，k=1,2，3，这里独立，且