2011届高考数学单元练习及解析：不等式、推理与证明 质量检测

第六章 不等式、推理与证明

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合A＝?x??

??

?x

<0?，B＝{x|0

A.{x|1

11ba

2．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a2中正确的是 ( )

ababA．①② B．②③ C．①④ D．③④

11

解析：由<<0可知b0，显然有a＋b|a|，且由基本不等式有

abba＋>2 ab答案：C

3．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝ ( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111

A．11 111 110 B．11 111 111 C．11 111 112 D．11 111 113 解析：数塔的右侧的规律是，逐次加1. 答案：B

4．(2010·诸城模拟)若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是 ( )

ba

·＝2. ab

x

<0?x(x－1)<0?0

5

A．22 B．23 C．2 D.

2解析：∵logmn＝－1， ∴m>0，m≠1，n>0，mn＝1. ∴3n＋m≥23mn＝23 即3n＋m的最小值为23. 答案：B

5．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

1

解析：若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－)2＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝

2－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件． 答案：A

6．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

??

?

?1?1?

? B.?x?x

?1?1?11?

? D.?x?x>或x

a<0

??－b＝6

解析：由题意?a

c??a＝8

c<0

??－b＝3，??c4

a1??c＝8

ba31?11?

∴cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得?x|x>或x

?cc4824?答案：D

7．(2010·泉州模拟)设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2

＋(y－1)2的最小值是 ( ) 13

A．－12 B．18 C．8 D. 44解析：∵x＋y＝2a，xy＝a＋6， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2－2(x＋y)＋2 ＝(x＋y)－2(x＋y)－2xy＋2 ＝4a2－4a－2(a＋6)＋2 ＝4a2－6a－10

2

3249

＝4(a－)－. 44

又∵x、y是方程m2－2am＋a＋6＝0的两根， ∴Δ＝4a2－4(a＋6)≥0，即a≥3或a≤－2. ∴当a＝3时，(x－1)＋(y－1)的最小值为8. 答案：C

|x|≤2?

?

8．若平面区域?|y|≤2

??y≤kx－2

2

2

是一个三角形，则k的取值范围是 ( )

A．(0,2] B．(－∞，－2]∪ D． 解析：如图，只有直线y＝kx－2与线段AB相交(不包括点A) 或与线段CD相交(不包括点D)，可行域才能构成三角形， 故k∈． 答案：C

9．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bd

＋(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小mn

为 ( ) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定 解析：q＝

ab＋

madnbc

＋＋cd≥ nm

ab＋2abcd＋cd

＝ab＋cd＝p. 答案：B

10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若A在直线mx＋ny＋1＝0上，12

其中m、n均为正数，则＋的最小值为 ( )

mnA．2 B．4 C．6 D．8

解析：函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，∴－2m－n＋1＝0，即2m1212n4m

＋n＝1，令u＝＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋≥8.

mnmnmn答案：D

4x＋3y－25≤0，?

?

11．已知O为直角坐标系原点，P、Q两点的坐标均满足不等式组?x－2y＋2≤0，

??x－1≥0，

则

tan∠POQ的最大值等于 ( ) 13A. B．1 C. D．0 22

解析：作出可行域，则P、Q在图中所示的位置时，∠POQ最大，即tan∠POQ最大， ∠POQ＝∠POM－∠QOM，

tan∠POM－tan∠QOMtan∠POQ＝tan(∠POM－∠QOM)＝

1＋tan∠POMtan∠QOM

7－＝

34

＝1，所以最大值为1. 3

1＋7×

4

答案：B

??1，x≥0

12．已知函数f(x)＝?，则不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤4的解集是( )

?－1，x<0?

A.{x|－2≤x<1} B.{x|x≤1} C.{x|x<1} D.{x|x<－2}

解析：当x＋2≥0即x≥－2时，不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤4化为：x＋(x＋2)×1≤4，即x≤1，故－2≤x≤1；当x＋2<0即x<－2时，不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤4化为：x＋(x＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{x|x≤1}. 答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 1111113111

13．观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋?＋＞，1＋＋＋?＋＞2,1

22323722315

1115

＋＋＋?＋＞，?，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)． 23312

111n234*解析：3＝2－1,7＝2－1,15＝2－1，可猜测：1＋＋＋?＋n＞(n∈N)．

232－12111n

答案：1＋＋＋?＋n＞ 232－12

14．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，

类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________．

解析：由类比推理可知．

答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 1

15．设x>0，则y＝3－2x－的最大值等于________．

x

1112解析：∵x>0，则2x＋≥22，所以－(2x＋)≤－22，2x＝时，x＝时等号成

xxx21

立，则y＝3－2x－≤3－22，即ymax＝3－22.

x答案：3－22

2x－y≥0，??

16．(2010·宜昌模拟)若实数x，y满足?y≥x，

??y≥－x＋b

b的值为________．

解析：由约束条件作出可行域(如图)，

且z＝2x＋y的最小值为3，则实 数

b2bb

当平行直线系y＝－2x＋z经过可行域内的点A(，)时，z取得最小值，即2×＋3332b9

＝3，解之得b＝. 349答案： 4

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设x＜y＜0，试比较(x＋y)(x－y)与(x－y)·(x＋y)的大小．

解：(x＋y)(x－y)－(x－y)(x＋y) ＝(x－y) ＝－2xy(x－y)，

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0， ∴(x＋y)(x－y)＞(x－y)(x＋y)． 18．(本小题满分12分)解下列问题：

(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； 4

(2)已知x＞2，求x＋的最小值；

x－2

49

(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值．

xy解：(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，

111

当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．

282111

∴ab≤，∴ab≤.所以ab的最大值为.

41616法二：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， 114a＋b21

∴ab＝4a·b≤()＝，

44216

2

2

2

2

2

2

2

2

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nhmh.html