数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全,丁玉美)第一章

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第 1 章

时域离散信号和时域离散系统

第1章 时域离散信号和时域离散系统1.1 1.2 1.3 1.4 学习要点与重要公式 解线性卷积的方法 例题 习题与上机题解答

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1.1 学习要点与重要公式本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处 理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号 和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同， 尤其是处理 方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数 字系统则通过运算方法实现。 如果读者对本章关于时域离散 信号与系统的若干基本概念不清楚， 则学到数字滤波器时， 会感到“数字信号处理”这门课不好掌握， 总觉得学习的不 踏实。 因此学好本章是极其重要的。

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1.1.1

学习要点 学习要点

(1) 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。 (2) 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法(列表法)、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递 推解法。 (3) 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的 模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由 采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信 号恢复成模拟信号。

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1.1.2

重要公式 重要公式

(1)

y ( n) =

m = ∞

∑ x ( m) h( n m) = x ( n) * h( n)

∞

这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在-∞~∞之间 对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位 脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。

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(2)

x(n)=x(n)*δ(n) x(n-n0)=x(n)*δ(n-n0)

该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。 (3)

1 ∞ X n ( j ) = X a ( j jk s ) T k = ∞

∑

这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对 信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。

sin[ π(t nT ) / T ] xa (t ) = xa (nt ) π(t nT ) / T n = ∞

∑

∞

这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。

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1.2 解线性卷积的方法 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有 三种方法， 即图解法(列表法)、 解析法和在计算机上用 MATLAB

语言求解。 它们各有特点。 图解法(列表法)适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得 到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析 法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于 画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的 线性卷积， 实验中常用。

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解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。 设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n), 求y(n)=x(n)*h(n)。 该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法(列表法) 或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法(列表法), 用公 式可表示为 y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}

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下面用解析法求解， 写出卷积公式为y ( n) =

m = ∞

∑ x ( m ) h ( n m) = ∑ R ( m ) R ( n m)4 4 m = ∞

∞

∞

在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3, R4(n-m)的 非零区间为0≤n-m≤3, 或写成n-3≤m≤n, 这样y(n)的非 零区间要求m同时满足下面两个不等式： 0≤m≤3 m-3≤m≤n 上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分 段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值：

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max{0, n-3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0, 上限应该是n; 当4≤n≤6时， 下限应该是n-3, 上限应该是3; 当n<0或n>6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0; 这样将n分成三种情况 计算： (1) n<0或n>6时， y(n)=0 (2) 0≤n≤3时，

y ( n) =

m =0

∑1 = n + 1

n

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(3) 4≤n≤6时，y (n) =

m = n 3

∑1 = 7 n

n

将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)=

n + 1 y (n) = 7 n 0

0≤n≤3 4≤n≤6 其它

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在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻 烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题 中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n<0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有 重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3, 图 形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a), 重叠部分的上下限自 然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6, 如图1.2.1(d)所 示， 重叠部分的上下限是n-3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n, 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。

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图1.2.

1

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1.3 例

题

[例1.3.1] 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 例 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为 周期的周期序列。 证明： ∞y ( n) = h( n) * x ( n) =m = ∞

∑ h ( m ) x ( n m)

因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 x(n+kN-m)=x(n-m) 将上式代入(1)式， 得到y (n) = h(n) * x(n + kN ) =m = ∞

∑ h(m) x(n + kN m) = y(n + kT )

∞

上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。

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[例1.3.2] 例

线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为 h(n)=a-nu(-n)

计算该系统的单位阶跃响应。 解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则s ( n ) = h( n ) * x ( n ) =

m = ∞

∑ h(m)u(n m)

∞

=

m = ∞

∑

∞

a m u (m)u (n m)

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按照上式， s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定: m≤0 及 m≤n (1) n≤0时,s ( n) =m = ∞

∑

n

a m =

m=n

∑

∞

am =

m=n

∑

0

am +

m =0

∑

∞

am 1

1 a n 1 = + 1 1 1 a 1 a

1 a n 1 a n = + = a 1 1 a 1 a

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(2) n>0 时,s ( n) =

m = ∞

∑a

0

m

1 = a = 1 a m=0

∑

∞

m

最后得到

1 s ( n) = [a n u (n) + u (n 1)] 1 a[例1.3.3] 例 设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入激励信号x(n) 分别为

j h( n ) = u ( n ) 2

n

j = 1

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x(n)=cos(πn)u(n) 求系统的稳态响应y(n)。 解 x(n)=cos(πn)u(n)=(-1)nu(n)y ( n) = =

n = ∞

∑∞

∞

h( m) x ( n m) =m

j nm u (m)(1) 2 n = ∞

∑

∞

m

j j (1) n m = (1) n 2 2 n = ∞ m =0

∑

∑

n

m

1 1 = (1) n 1+

j 2 j 2

n +1

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当n→∞时， 稳态解为

4 2 y (n) = (1) j 5 j [例1.3.4] 例 假设5项滑动平均滤波器的差分方程为

n

1 y(n)= [x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)] 5输入信号用图1.3.1表示， 画出该滤波器输出的前16个序列值 的波形， 并说明该滤波器对输入信号起什么作用。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nhki.html