《概率论与数理统计》习题及答案 第二章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 二 章

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解 设Ai?‘任取一件是i等品’ i?1,2,，3 所求概率为

P(A1|A3)?因为 A3?A 1?A2所以 P(A?P(2A?)3)?P(A1) P(AP(A)1A3)?1?故

P(A1|A3)? 60.P(A1A3)，

P(A3)0.?60.?3 0.962?. 93 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解 设A?‘所取两件中有一件是不合格品’

Bi?‘所取两件中恰有i件不合格’ i?1,2. 则

A?B1?B2

112C4C6C4 P(A)?P(B1)?P(B2)??2， 2C10C10所求概率为

2P(B2)C41 P(B2|A)?. ?11?2P(A)C4C6?C45 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.

解 设A?‘发现是同一颜色’，B?‘全是白色’，C?‘全是黑色’，则 A?B?C， 所求概率为

33C6/C11P(AC)P(C)2 P(C|A)???33?33P(A)P(B?C)C6/C11?C5/C113 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.

解 设A?‘至少有3张黑桃’，Bi?‘5张中恰有i张黑桃’，i?3,4,5， 则

A?B3?B4?B5， 所求概率为

5P(AB5)P(B5)C139. P(B5|A)???32?415P(A)P(B3?B4?B5)C13C39?C13C39?C131686 5．设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8求P(A?B)与P(B?A). 解 P(A?B)?P(A)?P(B?)P(A?B)1.?1P(A)P(B?|A)?1.1? 0 P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.4?0.2.

6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

解 设A?‘从乙袋中取出的是白球’，Bi?‘从甲袋中取出的两球恰有i个白球’

i?0,1,2.

由全概公式

P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)

112C21C32613C24C3 ?2??. ??2??2C510C52C51025 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。

解 设A?‘第二次取出的均为新球’，

Bi?‘第一次取出的3个球恰有i个新球’i?0,1,2,3. 由全概公式

P(A)?P(0B)P(A|0B?)P1(B)P(AB)1|?2P(B)P(2A?|B)3P(B) P3(A|B)331231333C6C9C9C6C8C92C6C7C9C6 ?3?3??3?3?3?3?3 3C15C15C15C15C15C15C15C15528?0.089. ?5915 8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。 解 设A?‘收到‘·’’，B?‘发出‘·’’， 由贝叶斯公式

53?P(B)P(A|B)385P(B|A)???.

P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)5?3?3?148583 9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.

解 事件如第6题所设，所求概率为

P(B1|A)?P(B1)P(A|B1)?P(A)11C3C2/C52?132512?15

26 10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解 设A?‘任取一产品，经检查是合格品’， B?‘任取一产品确是合格品’， 则

A?BA?BA

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428， 所求概率为

P(B|A)?P(B)P(A|B)0.96?0.98??0.998.

P(A)0.9428 11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.

解 设Ai?‘第i次取出的零件是一等品’，i?1,2. Bi?‘取到第i箱’，i?1,2. 则

（1）P(A1)?P(B1)P(A1|B1)?P(B2)P(A1|B2)? （2）P(A2|A1)? ?1132(?)?. 2555P(A1A2)P(A1A2B1?A1A2B2) ?P(A1)P(A1)P(B1)P(A1A2|B1)?P(B2)P(A1A2|B2)

P(A1)22?C181?C10?22?2?CC?951?30??50????4?0.4856. ?2?4929?5 12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率?；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率?. 解 设A?‘顾客买下该箱’，

B?‘箱中恰有i件残次品’，i?0,1,2，

（1）??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)

44C19C18 ?0.8?0.1?4?0.1?4?0.94；

C20C20 （2）??P(B0|A)?P(AB0)0.8??0.85.

P(A)0.94 13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份 （1）求先取到的一份为女生表的概率p；

（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 解 设A?‘先取到的是女生表’，

B?‘后取到的是男生表’，

Ci?‘取到第i个地区的表’，i?1,2,3.

（1）p?P(C1)P(A|C1)?P(C2)P(A|C2)?P(C3)P(A|C3) ?1?375?29； ?????3?101525?902961，所以先取出的是男生表的概率为，按抓909061阄问题的道理，后取的是男生表的概率P(B)?.

90 （2）因为先取出的是女生表的概率为于是

（2）q?P(A|B)?P(AB)P(ABC1?ABC2?ABC3) ?P(B)P(B)1[P(AB|C1)?P(AB|C2)?P(AB|C3)]3 ?

P(B)1?3778520???????3?10915142524?20 ???.

616190 14．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 解 设A?‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’， B?‘任取一枚硬币是正品’， 则

A?BA?BA， 所求概率为

P(B|A)?P(B)P(A|B)

P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)

r ?m?1???m?n?2?rm?1?n???m?n?2?m?n?m. rm?n?2 15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.

解 设A?‘目标被击中’，Bi?‘第i个人击中’ i?1,2 ,所求概率为

P(B1A)P(B1)P(B1) ??P(A)P(B1?B2)1?P(B1B2)0.6?0.75. ?1?0.4?0.5111 16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是,,，求他们将此密码译

534 P(B1|A)?出的概率.

解1 设A?‘将密码译出’，Bi?‘第i个人译出’ i?1,2,3. 则

P(A)?P(B1?B2?B3)?P(B1)?P(B2)?P(B3)?P(B1B2)?P(B1B3) ?P(B2B3)?P(B1B2B3)? ???111111111???????? 5345354341113??0.6.

5345 解2 事件如上所设，则

4233P(A)?1?P(A)?1?P(B1B2B3)?1?????0.6.

5345 17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率. 解 设A?‘飞机被击落’，Bi?‘飞机中i弹’ i?1,2,. 3则

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3) ?0.2P(B1)?0.6P(B2)?P(B3) 设 Ci?‘第i个人命中’，i?1,2,3，则

P(B1)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)

?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.36， P(B2)?P(C1C2C3)?P(CC2C3)?P(C1C2C3)

?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41， P(B3)?P(C1C2C3)?0.4?0.5?0.7?0.14， 所以

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