概率论与数理统计习题及答案1-7章 - - 复旦大学版

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

1

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

11113++?= 4431247.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

是多少？ 【解】 p=C13C13C13C13/C52

8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

533213115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 577（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

) 79.略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

（2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）=CMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，故

mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPNmn?mmnmn?mn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n?mCmMCN?MP（A）=

CnN可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

2

次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m

11.略.见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆

钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33P(A)?C110C3/C50?1 196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?

C735故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?22 3514.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

1131C1()()45212131224?2 【解】（1） p1?C5()() (2) p2??222325/325

3

16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C10.7?(0.3)C0.6?(0.4)? 33i?03 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)

=0.32076

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

4111C5C1CC22C2213?【解】 p?1? 4C102122223318.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2

P(A)0.5（2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?6 720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是

男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?

P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

4

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P?2?

60422.从（0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0

6. 514417 p1?1?255??0.68

1251(2) xy=<.

4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)P(A?)PAB()?

P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB) 5

?0.7?0.51?

0.7?0.6?0.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

P(B)??P(BAi)P(Ai)

i?03

323213C3C9C1C8C9C6C3C9C369C67?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而

B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

6

P(AC)? ?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

2/3?0.98?0.99492

2/3?0.98?1/3?0.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱

子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=

出一球为白球}.由贝叶斯公式知

1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B)?2

P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31?

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?

P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A) ?P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.330.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为

0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

7

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)n?0.9

即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

n?【证】 P(A|B)P(A|B)即

P(AB)P(AB)?

P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立.

33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

111，，，求将此密码破译出534P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

8

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） p1??Ck?0k103k10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

(2) p2??Ck?410(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

24C69（1） P(A)?，也可由6重贝努里模型： 61021294P(A)?C6()()

1010（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P10P(B)?6

10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故

2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10

4131121（4） D=B.故

6P10P(D)?1?P(B)?1?6

1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1?1 n?19

(2) p2?(3) p1??3!(n?3)!,n?3

(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由

0?x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ???y?(a?x?y)?x构成的图形，即

a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a??2如图阴影部分所示，故所求概率为p?1. 439. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.

Pnk??111?,n【证】 p?k?,k?1,2 ,Pnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.

10001000P(A0)?41.对任意的随机事件A，B，C，试证

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

10

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

C33!3P(A1)?43?

48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

C114P(A3)?3?

416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319?? 8161621C194C3C3?或 P(A2)? 4316 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

2244.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）

=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

n112P(A)?[1?Cn()n]

2245.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）

11

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=

1 246.证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)kn?P(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

n?1k)n11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?1S2??Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?1n1?i1?i2??in?1?nn2k2P(AA)?C(1?)?ijnn1?i?j?n?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n

12

k2knn?1 ?C1n(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?1n2nn?1k) n故所求概率为

1k2in?1kn?1n?12(?1)C(1?) 1?P(?Ai)?1?C1(1?)?C(1?)???nnni?1nnnn48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1?(1??)n?1(n??)

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn ,P(B)?m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1

2则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1?rmm?n2 ? ?rm1n?r??1m?2nm?n2m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？ 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?1.（1）发现一盒已空，2另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为

1n1n?r11n p1?2Cn()()??C2n?rn?r2r?r2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.

（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1

盒，故概率为

1n?11n?r112n?r?1n?1n?1 p2?2C2()()?C()n?r?12n?r?1222251.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.

13

【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

0n1n?122n?2nn0(q?p)n?C0pq?Cpq?Cpq???Cnnnnpq?1 0n1n?12n?2n0(q?p)n?C0?C2???(?1)nCnnpq?Cnpqnpqnpq

以上两式相减得所求概率为

n?13n?3p1?C1?C3?? npqnpq1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

1p2?[1?(1?2p)n].

252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B)  ?[(AB?AB)?(AB?AB)] ??

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.

【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=.

244454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）. 【解】 P(AB)?P(?AB)?1?P(?A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②

故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

故 P(A)?P(B) ③

14

由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)] ?[1?P(A)]

故 1?P(A)?? 故 P(A)?即P（A）=

221324或P(A)?（舍去） 332. 32ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与

55.随机地向半圆0

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为

π212a?a2?1?1 p?4122ππa256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格

品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

C242C10P(AB)1P(B|A)??? 2C6P(A)51-2C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

则 P(Ai)?1,i?1,2,3 3375 P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)?101525 15

【解】（1）P(X?0)?ekk?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e, k=0,1,2

?52

11.设P{X=k}=C2p(1?p)P{Y=m}=C4p(1?p)mm4?m2?k, m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 992而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)

4, 91即 p?.

3故得 (1?p)?2从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,?,k,?

13P(X?k)?()k?1

44P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

131313???()3???()2k?1?? 444444131??4? 41?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

21

（1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14P(X?15)?1??e?55k?k?0k!0.000069

(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

10??e?5 5k?0.986305 k?0k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5) ??5e?55k?0.615961 k?0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

????f(x)dx?1得

1???Ae?|x|dx?2??Ae?x??0dx?2A

故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?x1?12?0edx?2(1?e)

(3) 当x<0时，F(x)??x11??2exdx?2ex

当x≥0时，F(x)??x101x1??2e?|x|dx????2exdx??02e?xdx

?1?1?x2e

22

?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0

x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100??,x?100,f(x)=?x2?x?100.?0,

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

1001dx?. ?100x2328 p1?[P(X?150)]3?()3?32741122(2) p2?C3()?

339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)? ? ??x??100f(t)dt f(t)dt??x100???xf(t)dt

100100 dt?1??100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1?,0?x?af(x)??a

?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1

即分布函数

xxx???f(t)dt??f(t)dt??001xdt? aa 23

?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?1?,2?x?5f(x)??3

?其他?0,P(X?3)??故所求概率为

5312dx? 33202221323 p?C3()?C3()?3332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x?1?5?e,x?0f(x)??5

?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为

x1?5P(X?10)??edx?e?2

105?Y~b(5,e?2),即其分布律为

kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727

10??10 24

若走第二条路，X~N（50，42），则

?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++

4??4故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N（40，102），则

?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915

10??10若X~N（50，42），则

?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25)

44?? ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P????

22??2 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,

25

求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.050.12?? ?0.06??0.06

?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]?0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120?X?200)?P??120?160X?160200?160????????? ???40???????????40??????2???40??????1?0.8 故 ??401.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为

F（x）=??A?Be?xt,x?0,(?0,x?0.??0), （1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

?limF(x)?1【解】（1）由??x????A?1??xlim?0?F(x)?得?xlim?0?F(x)?B??1

（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?

P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0?0,x?0

25.设随机变量X的概率密度为

?0?x?1,f（x）=?x,?2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)??x0??f(t)dt??f(t)dt??x??0f(t)dt

26

x2 ??tdt?

02x当1≤x<2时F(x)??x??0f(t)dt

f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x1x????1??tdt??(2?t)dt01

?1x23

2?2x?2?2x2??2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

??0,x?0?x2,0?x?1故 F(x)???2?x2 ???2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;

?bx,0?x?1,(2) f(x)=??12,1?x?2, ?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由

??1???ae??|x|dx?2a????f(x)dx?1知e??xd2a??0x??

故 a??2

????即密度函数为 f(x)????2ex,x?0????2e?xx?0当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??x?e?xdx?1e?x??22 当x>0时F(x)??x??f(x)dx??0?x??2e?xdx??x???02edx

?1?1??x2e 27

故其分布函数

?1??x1?e,x?0??2 F(x)???1e?x,x?0??2(2) 由1?????f(x)dx??1bxdx?210?1x2dx?b2?12 得 b=1

即X的密度函数为

??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2

?x??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0

??xdx?x20x2

当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??01x1??0dx??0xdx??1x2dx ?32?1x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2

?3?1?x?2?2?1x,?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01

即 1??(z?)?0.01 即 ?(z?)?0.09

28

故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即 ?(z?/2)?0.9985 查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530

P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,?,令 2?1,当X取偶数时Y??

?1,当X取奇数时.?求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

29

?(1)2?(1)4???(1)2k 222???(1 4)/(1?114)?3P(Y??1)?1?P(Y?1)?23 30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

故 fdFY(y)111?ln2y/2Y(y)?dy?yfx(lny)?y2πe,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时F2Y(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)

?P??X2?y?1?y?1??2???P??y?1???X?2?? ?2? ??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

故 fd12???Y(y)?dyFY(y)?4y?1?fy?1?fy?1????X???2??? ?X????2?????? ?121y?12πe?(y?1)/42,y?1

(3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

30

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