自动控制原理 题库第六章 线性系统校正 习题

6-1证明RC无源超前校正环节

1?Ts?1s??1?Ts?1最大超前相角为

?T?s?z,1s?pT??1

s? ??1采用半对数坐标时最大超前相角所对应的频率位于两个转折频率的中间或等于零、极点乘积

?m?arcsin??1的平方根，即

?m?

1?T?zp 6-2某单位反馈控制系统的设计指标为上升时间tr?0.1秒，超调量?%?16%，斜坡输入下的稳态误差essv?0.05。

（a）试问系统开环频率特性的低频段需要满足什么要求？中频段需要满足什么要求？ （b）在s平面内绘制出能满足设计要求的系统主导极点所在的区域。

6-3某系统框图如下图所示，误差e?r?c，K1?0，K2?0。

rK1s(s?2)c1?K2s

（a）要求系统对单位斜坡输入r(t)?t的稳态误差?0.3，主导极点的阻尼比??0.707，调节时间ts?2.33秒（按5%误差考虑），请在s平面上绘制出满足上述设计要求的闭环极点的可行区域，给出K1、K2应满足的条件。

（b）设K1?1、2、10，绘制三种情况下以K2为可变参数的根轨迹。 （c）设K1?10，确定满足（a）中性能指标的K2的值。

6-4下图所示为钟摆的角度控制系统，其中被控对象为阻尼为零的二阶系统。

wrGc(s)1s?12c

（a）试问控制器Gc(s)必须满足什么条件，才能使系统为非条件稳定系统？

（b）选用常规调节器，使得系统对阶跃扰动输入w稳态误差为零，系统还可以做到非条件稳定吗？

（c）选用PID控制器

Gc(s)?kp?1Tis?kds?(T1s?1)(T2s?1)Tis

应用根轨迹方法分析kp、Ti和kd发生变化时对系统快速性、稳定性的影响。 答案：应用关系T1T2?kdTi和T1?T2?kpTi容易给出分析结果。

6-5力、转矩的积分为速度、转速，速度、转速的积分为位置、转角，许多重要的运动控制系统的被控对象可以描述为二重积分器传递函数，即

G(s)?1s2

用根轨迹法分析比例控制kp、比例微分控制kp?kds?k(1?s)和超前校正k(s?1)(s?1、2k)(s?1)(s?9)、k(s?1)(s?4)几种情况下闭环根轨迹的情况和闭环系统的性能。

6-6在运动控制系统中，二重积分的被控对象假设它为刚体且无摩擦，因而是最简单的模型。在要求比较高的场合，例如在卫星的姿态控制系统中，需要考虑太阳能板的柔性，在磁盘的读写机构中，需要考虑支撑臂和读写头的柔性等。在这些情况下，被控对象在二重积分的基础上要增加复数极点，其中的一种情况还要增加一对距离极点很近且自然振荡频率略低于极点的复数零点，这些复数零、极的阻尼比一般都很低。下面是某一卫星控制系统被控对象的传递函数

G(s)?(s?0.1)?622222?s??(s?0.1)?6.6?K(s?1)s?12

设超前校正装置的传递函数为

Gc(s)?

试用根轨迹法对K变化时系统的稳定性和动态特性进行分析。

6-7控制系统如下图所示

R?0.5?L?0.01HrGc(s)10????u0u0C?0.01Fucc?uc0.1????

图中，r为参考输入，u0为控制电压，电容器上的电压uc?c为输出。 （a）求被控对象u0到输出y之间的传递函数。

()ks?(10)?s（b）选取四种调节器Gc(s)?k（P）、Gc(s)?ks（I）、Gcs（PI）、

Gcs()ks?((5)?s10)?s（PID）之一，使?75?j76成为系统闭环的一对共轭复数极点，画出k从零到??变化时系统闭环的根轨迹，求出取得上述闭环极点时k的相应值。

6-8某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?1s(0.5s?1)(0.1s?1)

设其动态性能已经满足要求，但速度输入时系统的稳态误差过大。试用根轨迹法和频率特性法设计校正装置，使系统的速度稳态误差系数kv?10，并对两种设计方法得到的结果进行比较。 参考答案：

Gc(s)?5s?150s?1

6-9单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?1000s(0.001s?1)

试设计比例积分串联调节器Gc(s)?kp(1?1Tis)的参数，使系统的幅值交接频率?c?100弧度/秒，相角裕度??60?，绘制校正前和校正后系统开环传递函数的对数幅频特性和相频特性曲线。

6-10设单位反馈系统的开环传递函数

G(s)?Ks(s?1)

试设计串联超前校正装置的参数，使系统在单位斜坡输入的稳态误差ess?1/15，相角裕度??45，幅值交接频率?c?7.5(rad/s)，绘制校正前和校正后系统开环传递函数的对数幅频特性和相频特性曲线。

6-11设有单位反馈的火炮指挥仪伺服系统，其开环传递函数为

G(s)?Ks(0.2s?1)(0.5s?1)?

若要求系统最大输出转速为2转/分，输出位置的容许误差小于2?。

（a）确定满足上述系统指标的最小K值，计算K值下系统的相角裕度和幅值裕度。 （b）在前向通路中串接超前校正网络G(s)?(0.4s?1)(0.08s?1)，计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。

6-12某温度控制系统被控对象的传递函数为

G(s)?K(2s?1)(s?1)(0.5s?1)

式中K是可调增益。

（a）试决定K的取值和无源滞后校正装置的参数，使系统的位置误差系数kp?9，相角裕

?度??38。

（b）试决定K的取值和无源超前校正装置的参数满足与（a）中同样的性能指标。 （c）比较（a）、（b）所得系统的闭环动态和静态特性。

参考答案（a）K?9，Gc(s)?(5s?1)(15s?1)（b）K?90，Gc(s)?(s?1.5)(s?15)

6-13某伺服系统被控对象的传递函数为

G(s)?Ks(0.4s?1)(0.167s?1)

式中K是可调增益。

（a）试决定K的取值和无源滞后校正装置的参数，使系统的速度误差系数kv?10，相角裕度??45?。

（b）试问选用一阶无源超前校正网络是否可以达到与（a）中同样的设计指标？ 参考答案（a）K?10，Gc(s)?(10s?1)(100s?1)（b）无法达到设计目的。

6-14设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?40s(0.2s?1)(0.0625s?1)

（a）若要求校正后系统的相角裕度为30?，幅值裕度为10dB~12dB，试设计串联超前校正装置；

（b）若要求校正后系统的相角裕度为50?，幅值裕度为30dB~40dB，试设计串联滞后校正装置。

6-15某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?Ks(s?1)

（a）试设计串联无源滞后校正装置的参数和系统的可调增益K，使系统的速度误差系数

kv?12，相角裕度??40。

?（b）试设计串联无源超前校正装置的参数和系统的可调增益K，满足与（a）中相同的性能指标。

（c）比较校正后两系统的性能。 参考答案：

可调增益K?12，滞后校正装置为

Gc(s)?5.71s?1100s?10.38s?10.127s?1

超前校正装置

Gc(s)?

6-16已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?200s(0.1s?1)

?试用频率特性法决定校正装置，保持系统的稳态控制精度不变，相角裕度??45，幅值交接频率?c?55。

答案：应选用超前校正，超前校正装置的传递函数为

Gc(s)?0.034s?10.0064s?1

6-17已知一单位反馈控制系统，其固定不变部分传递函数G0(s)和串联校正装置Gc(s)分别如下图所示。

（a）写出校正后个系统的开环传递函数；

（b）分析各Gc(s)对系统的作用，并比较其优缺点。

L(?)?200.10.50L020110L(?)Lc26?2010?2020L0100?20?01??40

L(?)K0Kc?20?20Lc

?31?2T3?40?601T4L01T1?11T2?

6-18控制系统如下图

R(s)k(T1s?1)T2s?110s(s?2)C(s)

（a）试确定校正装置的参数k、T1、T2，使系统单位斜坡输入下的稳态误差ess1?0.1，闭环传递函数为无零点的二阶振荡系统，调节时间ts?0.7秒（按?5%误差带计算）。 （b）计算校正后系统阶跃响应的超调量?%??。 答案：（a）k?2，T1?0.5，T2?0.1。（b）?%?16%

6-19设某随动系统的开环传递函数为

G(s)??Ks(0.5s?1)(0.167s?1)

要求在最大指令速度180/秒时系统的跟踪位置滞后不超过1?，校正后系统主导极点的阻尼比??0.6，无阻尼自然振荡频率?n?4.5。

（a）试问应用无源超前校正所能达到的最大速度误差系数等于多少？ （b）应用根轨迹法设计滞后-超前校正调节器的参数。

（c）分析校正后系统闭环零极点的分布情况，估算校正后系统的动态特性tr，ts和?%。

6-20被控对象的传递函数和系统静态设计要求同上题，要求校正后系统的??40?，幅值交接频率?c?4，试用频率特性法设计无源滞后-超前校正装置的参数。 参考答案：

Gc(s)?(2s?1)(0.5s?1)(90s?1)(0.011s?1)

6-21某系统的开环传递函数为

G(s)?Ks(0.1s?1)(0.05s?1)

按希望特性设计滞后-超前校正调节器的参数，使系统的速度误差系数kv?50，相角裕度

???40，幅值穿越频率?c?10。

6-22某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?Ks(0.2s?1)(0.05s?1)

（a）设计校正环节及其参数，使闭环系统的速度误差系数kv?100，相角裕度??45?。 （b）校验（a）中的设计结果，是否能够做到对于频率小于0.2rad/s的正弦指令信号，稳态误差小于1250，对于频率小于200rad/s的测量噪声信号，至少衰减到1%？

6-23某单位反馈系统被控制对象的是最小相位的，对数幅频特性如下图所示。

40302010?10?20?30?40L(?)?20dB/dec3.161031.61001000??40dB/dec

（a）绘制系统的方框图，要求包含调节器Gc(s)、被控对象G0(s)、参考指令输入R(s)、测量噪声输入N(s)。

（b）设r(t)?0.5t?2t?2，设计调节器及参数，使校正后系统的稳态误差ess?0.1，开环对数幅频特性中频段的斜率为?20dB/10倍频程，幅值穿越频率?c?10rad/s，高频段有?40dB/10倍频程的衰减，绘制校正后系统开环对数幅频特性和调节器的对数幅频特性。 （c）若测量噪声的频率大于??100rad/s，校正后它对系统输出的影响至少被衰减到了多少倍？

（d）校正后系统的稳定性有何变化？响应速度有何变化？系统的静态特性有何变化？ 答案：（b）Gc(s)?3.16(s?1)s。（c）测量噪声对系统输出的影响被衰减了0.032倍。（d）校正后系统的稳定性比较正前略差，响应速度增快，由阶跃输入无静差变为斜坡输入无静差，控制精度得到提高。

6-24某系统的开环传递函数为

2G(s)?Ks(0.5s?1)(0.1s?1)

试设计PID节器的参数，使系统的速度误差系数kv?10，相角裕度??50?，幅值穿越频率?c?4。

6-25某系统结构图如下图所示，图中

G1(s)?K1?200，G2(s)?10(0.01s?1)(0.1s?1)，G3(s)?0.1s

若要求校正后系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差ess?1/200，相角裕度??45?，试确定反馈校正装置Gc(s)的形式与参数。

rG1(s)G2(s)G3(s)cGc(s)

6-26某单位反馈系统二阶对象的传递函数为

G(s)?Ks(s?1)

式中K为可调增益。设计要求系统的??20%，上升时间tr?0.25秒。 （a）若取K?14，串联调节器

Gc(s)?0.5s?10.1s?1

应用根轨迹法分析系统的闭环零、极点，由此判断是否可以达到设计要求。 （b）取K?34.3，串联超前校正

Gc(s)?0.185s?10.05s?1

同样用根轨迹法分析系统的闭环零、极点，由此判断是否可以达到设计要求。 （c）取K?34.3，将（b）中的串联超前校正改为反馈校正，即取

H(s)?0.185s?10.05s?1

分析系统的闭环零、极点，估算系统的动态性能。

（d）定义误差为系统输入减输出，三种设计都可以做到阶跃输入下无静差吗？三种情况下系统的速度误差系数各是多少？

参考答案（a）闭环零点z1??2，闭环极点s1,2??4.3?j6.4，s3??2.3，z1和s3组成闭环偶极子，对闭环性能的影响忽略不计，能过达到设计要求。（b）闭环零点z1??5.4，闭环极点s1,2??3.5?j6.1，s3??14，闭环零点z1对闭环性能的影响不能忽略，不能达到设计要求。（c）闭环零点z1??20，闭环极点s1,2??3.5?j6.1，s3??14，闭环零点z1和闭环极点s3??14远离虚轴，对闭环性能的影响较小，能够达到设计要求。（d）三种设计都可以做到阶跃输入下无静差，速度误差系数分别为14，34.3，34.4。

6-27对下图1所示的串联校正系统和局部反馈校正系统，校正前系统的开环传递函数

校正后系统的开环对数幅频特性曲线10G0(s)的对数幅频特性曲线如图2中的曲线Ⅰ所示，如图2中的曲线Ⅱ所示。

r10cG(s)rGc(s)10G(s)cH(s) 图1

80604020

L(?)III0.1?20?40?60110?图2

（a）求校正前系统的开环传递函数10G0(s)。 （b）求串联校正的校正装置的传递函数Gc(s)。 （c）局部反馈校正的校正装置的传递函数H(s)

（d）计算校正前后系统的相角裕度，说明校正后系统静特性、快速性、稳定性的变化。

八、（20分）控制系统如下图所示。

r(t)Gc(s)10s(s?1)c(t)

（１）取调节器Gc(s)?的超调量?%?4.3%K(T1s?1)T2s?1，设计其中的参数T1、T2和K，使系统阶跃响应

?0.1秒（按进入稳态响应的?5%，调节时间ts范围内计算）。

（２）现要求系统对斜坡输入无静差，加速度误差系数kaK(?1s?1)(?2s?1)s?100，同时保持（１）

中对系统动特性的要求基本不变（频率特性曲线的中频段和（１）中的重合），调节器Gc(s)?（PID）。设计其中的参数?1、?2和K以满足上述要

求。和（１）中的设计相比较，这样设计后系统对高频干扰噪声的抑制能力是增

强了还是消弱了？

6－13

设系统结构图如图

6－34

所示。图中G1(s)?K1?10，

G2(s)?20(0.05s?1)(0.005s?1)，G3(s)?1s。若希望反馈校正后系统的相角裕度

0?(?c)?50，截止频率?c?30rad/s，试确定反馈校正装置Gc(s)。

6-13下图为某伺服控制系统的框图，针对下述两种情况绘制系统的根轨迹，并据此得出你的设计结果。

（a）超前校正，D(s)?K(s?z)(s?p)，pz?6，H(s)?1。选择z和K使系统最靠近虚轴的共轭根满足??0.6，??n??7，kv?10。

（b）测速反馈，H(s)?1?kts，D(s)?K。选择kt和K满足（a）中有关闭环根的要求，计算此时系统的速度误差系数kv。

6-14一个皮带传动机构的速度控制系统的方框图如下图所示，其中速度传感器的惯性被忽略了。

（a）若要求扰动转矩n?1N.m作用下系统的稳态误差ess?0.001rads，试求放大器的增益K的值。

（b）若要求系统的动态响应时间ts?0.1秒，超调量?%?5%，试确定系统极点在s平面上的位置，并确定PD调节器的参数kp?kds的参数，检验系统的抗扰能力是否满足（a）中的要求？

nrkp?kds100.5s?110.1s?1c

6－14设复合校正控制系统如图6－45所示，若要求闭环回路过阻尼且系统在斜坡输入作用下的稳态误差为零，试确定K值和前馈补偿装置Gc(s)。

Gr(s)R(s)K0.1s?110s(0.5s?1)C(s) 6－16设复合控制系统如图6－47所示。图中Gn(s)为前馈补偿装置的传递函数，

Gc(s)?Kts为测速发电机及分压电位器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路环节的传

'递函数，N(s)为可测量扰动。如果G1(s)?K1，G2(s)?1s2。试确定Gn(s)，Gc(s)和K1，

使系统输出量完全不受扰动的影响，且单位阶跃的超调量?%?25%，峰值时间tp?2s。

N(s)Gn(s)R(s)E(s)??G1(s)G2(s)C(s)Gc(s)

图6－47

6-20纸机系统的传递函数为

G(s)?e?2s3s?1

（a）试用Zeigler-Nichols整定方法确定PID的参数。

（b）当系统比例调节的增益K?3时，系统处于临界稳定状态，并出现持续振荡，振荡周期为6.5秒，试用Zeigler-Nichols整定方法确定PID的最佳参数。

（３）校正后系统响应阶跃输入的超调量和调节时间与校正前相比较有何变化？

四、已知某单位反馈系统的开环传递函数G(s)是最小相位的，它的伯德图如下图所示。

L(dB)4030201013.161031.6?40?20100?20?

1、写出传递函数G(s)??。

2、画出系统分别串入G1(s)?(0.316s?1)和G2(s)对系统下述性能的影响。 (a)系统的稳态误差。 (b)系统的稳定性。

(c)系统过渡过程的响应波形和快速性。 (d)系统抗高频干扰的能力。

?0.316(s?1)s时，系统相应的伯德图。

３、计算原系统和分别串入G1(s)和G2(s)后系统的相角余度。讨论分别串入G1(s)和G2(s)后

七、（20分）某单位反馈系统的开环传递函数为（１）绘制K:0???Ks(s?5)(s?15)。

变化时闭环系统的根轨迹图（渐近线、分离点、与虚轴交点

及相应的K值等）。 （２）求使共轭复根?2?的速度误差系数Kv。

（３）增益K取（２）中求得的值，加入串联调节器s?0.5对系统进行改造，绘

s?0.2j7成为闭环根时的根轨迹增益K的值，以及系统相应

制改造前和改造后系统的开环对数幅频特性曲线，用频域法对改造前后系统的静态特性、动态特性和抗噪声干扰的能力进行比较。

五、单位反馈系统校正前的开环传递函数为

G(s)?1000s(0.01s?1)

引入串联校正装置后系统的对数幅频特性渐近曲线如下图所示。

L(dB)?40?2080604020100.010.11?20?40?60?801001000?40?

（1） 在上图中作出系统校正前开环传递函数和校正环节的对数幅频特性的渐近曲线，计

算校正前系统的相角裕度； （2） 写出校正装置的传递函数，它是何种校正装置？计算校正后系统的相角裕度； （3） 计算校正前闭环系统阶跃响应的超调量、峰值时间和调节时间，估算校正后闭环系

统阶跃响应的超调量、峰值时间和调节时间，并用校正前后系统开环幅频特性的变化对系统动态特性的变化进行解释。

解：

（1）校正前开环传递函数和校正环节的对数幅频特性的渐近曲线分别如下图中细点划线和粗点划线所示。校正前系统的相角裕度为

??180?90?tg(0.01?316)?180?90?72.4?17.6

???1????L(dB)8060402010?20?200.010.11?20?40?60?801001000??40

（2）校正装置的传递函数为

Gc(s)?0.01(10s?1)s

它是PI调节器，属于滞后校正装置。校正后系统的相角裕度为

???1?1????????180?180?tg(10?100)?tg0.01?100?180?180?89.9?45?45

（3）将校正前单位反馈系统的开环传递函数写为标准形式为

G(s)?1000s(0.01s?1)?100000s(s?100)??n2s(s?2??n)

2从?n?100000，2??n?100得到?n?316，??0.16。于是有校正前闭环系统阶跃响应

的超调量、峰值时间和调节时间为

?????0.162?%?etp?ts?1???100%?e21?0.162?100%?60%2??n1??3.5?3.53.143161?0.16?0.01(s)

??n?0.16?316?0.07(s)按中频段特性对校正后闭环系统阶跃响应的超调量和调节时间估算如下： 按中频段特性，系统的开环传递函数为

G?(s)?100s(0.01s?1)?10000s(s?100)???n2?)s(s?2???n

?2?10000，2???n??100得到?n?100，??0.5。于是有校正后闭环系统阶跃响应从?n的超调量、峰值时间和调节时间的估计值为

??????0.52??%?et??pts??1????100%?e21?0.52?100%?16%2??1????n3.5????n??3.141001?0.5?0.36(s)

3.50.5?100?0.07(s)校正后，系统开环幅频特性的相角裕度增加，幅值穿越频率减小，所以校正后闭环系统阶跃

响应的响应速度变慢，同时稳定性提高，超调量减小，调节时间基本维持不变。

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