概率论 习题四 复旦大学

习题四

1.设随机变量X的分布律为

X P ??1 0 1 2 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)?11111?0??1??2??; 828421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;

828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4

22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 P 1 2 3 4 5 4233245C5C1C10C90C10C90C10C1C109010C9090?0.583?0.340?0.070?0.007?05?055555C100C100C100C100C100C100 83?0故 E(X)?0.5? ?0.501, D(X)?0.?3?401?0.?070?2?0.?00?7?3

?[x?E(X)]P

2iii?05

?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501)2?0?0.432.??1 0 1 p1 p2 p3

3.设随机变量X的分布律为 X P 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因P1?P2?P3?1……①,

又E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②,

22E(X2)?(?1)2?PPP1?0?2?1?3?P1?P3?0.9……③

由①②③联立解得P,P1?0.4,P2?0.13?0.5.

4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？

1

【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k}

k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n??E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为

N?kP{X?k}k?0N

?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,

?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx

0112123?13??2x? ??x???x???1.

3?1?3?0?E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?1. 66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.

【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.

(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)?E(Z)?4E(X)

?11?8?4?5?68. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y），

D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.

(2) D(2X?3Y)?2D(X)?(?3)DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

2

22f（x，y）=?试确定常数k，并求E（XY）. ?k,0?x?1,0?y?x,

其他.?0,【解】因

?????f(x,y)dxdy??1x1?????0dx?0kdy?2k?1,故k=2 E(XY)????y)dxdy??1xdx?x???????xyf(x,002ydy?0.25.

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f?2x,0?x?1,?e?(y?5),y?5,X（x）=?0, fY（y）=?其他;??0,其他.

求E（XY）.

【解】方法一：先求X与Y的均值

E(X)??1?x2xd?x203 , E(Y)????y?e(y?5)yd令z?y?55?5???z0ez?d????z0zez?d??5 16.由X与Y的独立性，得

E(XY)?E(X)?E(Y)?23?6?4.

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

f(x,y)?f)?f?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,X(xY(y)?? ?0,其他,于是

E(XY)????1?5)5?0xy?2xe?(y?5)dxdy??12??02xdx??ye?(ydy?253?6?4.10.设随机变量X，Y的概率密度分别为

?2e?2xf?,x?0,?4e?4yy?0,X（x）=?0,x?0; fy）=?,Y（?0,y?0. 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【解】(X)?????2x?2x????-2x??xfX(x)dx???0x?2edx?[?xe]0?0edx

????e?2xdx?102.

E(Y)??????yf(y)d?0y???y?44y1Ye?d4y . E(Y2)????y2f21??Y(y)dy????0y2?4e?y4dy?42?8. 从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?1132?4?4.

3

(2)E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?11.设随机变量X的概率密度为

22115?3?? 288??cxe?kf（x）=???0,22x,x?0,

x?0.求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由

?????f(x)dx??cxe0???k2x2dx?c?1得c?2k2. 22k2?k2x2(2) E(X)??????xf(x)d(x)??2??0x?2kxeπ. 2kdx

?2k2(3) E(X)?????0x2e?kxdx?22????x2f(x)d(x)????0x2?2k2xe?k22x1. 2k1?π?4?π22故 D(X)?E(X)?[E(X)]?2???. ?2??k?2k?4k12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，

3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

2939?0.75??0.204, 0 , P{X?1}?1212113293219????0.04????0.005. P{X?2} 1 , P{X?3}?1211101211109? P{X?0}于是，得到X的概率分布表如下： X P 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.

E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.222

13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

x?1?4?f（x）=?4e,x?0,

?x?0.?0,为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，

工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元

4

}P{X? P{Y?100??1}???114?x/4e?xd?1/4 e?1/4 P{Y??200} ?P{X?1}??1e.故E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33.64 (元).

14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，

n，记

1nX?n?X22

1ni,S，S=(Xi?X)2. i?1n?1?i?11） 验证E(X)=μ，D(X) =?2（n；

2

n（2） 验证S=122n?1(?Xi?nX)；

i?1（3） 验证E（S2）=σ2.

【证】(1) E(X)?E??1n?n1n1?n?X?1ii?1??nE(?Xi)??E(Xi)??nu?u.

i?1ni?1nD(X)?D??1nn1n?n?X?1ii?1???n2D(?Xi)Xi之间相互独立2?DXii?1n? i?1 ?12?2n2?n??n. (2) 因

?n(X2n22n22ni?X)?iii?1?(X?X?2XXi)?i?1?X?nX?2Xi?1?Xi

i?1n ??X2?nX2n?2X?nX??X22ii?nX

i?1i?12n故S?12n?1(?X2i?nX).

i?1(3) 因E(X2i)?u,D(X2i)??,故E(Xi)?D(X222i)?(EXi)???u. 2同理因E(X)?u,D(X)??2n,故E(X2)??n?u2.

从而

5

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