论数学大厦的基础：欧几里得 - 希尔伯特公理化思想方法的发展

论数学大厦的基础：欧几里得——希尔伯特公

理化思想方法的发展

班级：13级626数学班 姓名：徐影红 学号：11607262616

摘要：公理化思想方法是数学研究的一种基本方法，在近代数学的发展及中起过巨大的作用，对各门现代数学理论系统形成有着深刻的影响。数学是一门演绎的科学，其体系是一种演绎的体系。那么，这个演绎体系的基础是什么？整个数学大厦的基础是怎样建立起来的？这个基础就是数学公理系统，整个数学知识的大厦就是按照公理化体系建立起来的。没有公理化，就没有数学体系的严谨性。本文将从公理化思想方法的产生、发展和完善三方面来阐述公理化思想的发展进程。 关键字：公理化思想方法、演绎体系、公理化系统

一、公理化思想方法的含义

公理化是一种数学方法，最早出现在2000多年前的欧几里得几何学中，当时认为“公理”是一种不需要证明的自明之理，18世纪，德国哲学家康德认为，欧几里得几何的公理使人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础上系统地提出数学的形式公理化方法。他认为每一种数学理论都应以“基本概念-公理-定理”的模式来建立：这里的公里时作为理论出发点的科学假设，它们要求具有完备性、独立性和相容性。20世纪以来，整个数学几乎都已按希尔伯特的模式都到公理化处理。

在一个数学理论系统中，公理化方法就是从原始概念和公理出发，按

照一定的规定定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。

二、公理化思想方法的发展历程

公理化思想方法的历史发展大致可分成如下三个阶段：

（一）公理化方法的产生阶段

1、亚里士多德和逻辑公理化方法

众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展。大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德总结了前任所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。

2、欧几里得和《几何原本》

亚里士多德的思想方法深深影响了公元前3世纪的希腊数学家欧几里得。欧几里得以亚里士多德演绎逻辑为工具，总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》。欧几里得从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。其中包括14个基本命题，5个公设和9条公理。欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学 ，在数学史上被称为划时代的里程碑。而且成为以后很长时期

严格证明的典范，人们还把严密的逻辑推理和完善的逻辑结构看成是古典几何成熟的标志。当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种功利化方法还是很原始的。所以后来称它为公理化思想方法的初级阶段。

（二）、公理化方法的完善阶段

1、对第五公设的质疑之声

欧式几何的公理系统是不够完善的，其主要的不足之处可以概括为： （1）有些定义是不自足的，即往往使用一些未加定义的概念去对别的概念下定义。

（2）有些定义是多余的，略去它毫不影响往后的演绎和发展。 （3）有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观。

在公理化方法的初级阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。事实上，原本的不足之处早已为古代学者所觉察，譬如，有学者就质疑欧几里得对有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观，等等。特别是第五公设的陈述从字面上很不子明，所以人们从两个方面对他产生了怀疑：

第一：第五公设是否正确的反映了空间的性质； 第二：它本身很可能是一个定理。

对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是他能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三十换一个与他相反的公设。通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一个方案尚未成功。据说在欧几里得以后得2000多年时间里几乎难以发现

一个没有试证过第五公设的大数学家，其中特别著名的有勒让得、塞开里和兰伯特等，另外还有一位不得不提的著名数学家。18世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前任正面直接证明而失败的教训，反其道而行之，该用反证法来证明，并于1733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的反证法及其所得的结果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是说，出了欧几里得几何外，还有另外一种几何的存在。

2、非欧几何的产生

数学家从萨克利的错误中得到了启发，19世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、波尔约等许多杰出的数学家对第五公设作了大量的推导工作，其中，罗巴切夫斯基于1823年用以下命题代替第五公设：“过已知直线外一点至少可作两条直线和已知直线不相交”。经过对此命题进行严格的逻辑推理之后，证明他的论证之严谨并不亚于欧式几何，于是，以罗巴切夫斯基为代表的罗巴切夫斯基集合系统就产生了。从此也就冲破了欧几里得几何“一统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不限于一种几何。接着德国数学家黎曼进一步对罗巴切夫斯基几何系统进行完善成立了“黎曼几何”系统，后人称这两种几何为非欧几何，这是公理化方法的进一步发展。

三、形式公理化方法的产生

非欧几何的创立大大提高了公理化方法的信誉。接着便有许多数学家致力于公理方法的研究。1871—1872年间德国数学家康托与戴德金不约而

同地拟成了连续性公理。德国数学家帕施在1882年拟成了顺序公理，在这些基础上，希尔伯特于1899发表了《几何学基础》一书，解决了欧式几何的欠缺问题，完善了几何学的公理化方法，同时也将几何公理化方法的研究推向了一个新的阶段，即形式公理化阶段。

希尔伯特在他的《几何基础》中，放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关紧要的内容加以摒弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化公里系统。从此公理化方法不仅仅只是数学中一个重要方法，而且一杯其他学科领域所采用。所以人们也称它为公理化方法发展史上的一个里程碑。

公理化思想从欧几里得的“实体公理化”发展到希尔伯特的“形式公理化”，经历了相当长的时间，然而，公理化思想并没有停止过它向前发展的脚步。在形式公理化方法产生的同时，集合论思想方法和数理逻辑学也在萌芽发展。也正是这两种数学思想方法的产生，极大地推动了公理化方法的进一步发展。

希尔伯特在后来从事“元数学”的研究中，又把公理化方法推向了一个新的阶段，即纯形式化阶段。

形式化公理方法不仅推动着数学基础研究，而且在推动着现代算法论研究，从而为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。

三、数学之美的熏陶——学习数学史的感受

从中小学到大学，我个人学习数学也有十几年的时间了，中小学学的大多是简单的四则运算、平面几何知识和简单的函数，对于学习数学的感受还是很肤浅的，到进入大学之后，进一步系统的学习了数学专业课程，如：数学分析、高等代数。在学习数学基础专业课程之后，我对于数学一种深刻感受是：维度丰富、推理巧妙、高度严谨、无懈可击。与此同时，在学习数学史这门专业课程的过程当中，我更加感受到数学这门学科所蕴含的不仅仅是数学知识，更多的是独创的数学精神，系统的思想体系，和励志的批判和探索精神。

对于励志的批判和探索精神这一点的感受是源于对“几何学的发展”这一章节内容的学习。在了解了欧式几何到非欧几何的发展历程之后。我对罗巴切夫斯基对于数学锲而不舍、坚持真理的奋斗精神所深深折服。在众多著名数学家的失败中，他积极吸取经验教训，不断坚持对欧式几何“第五公设”的论证，最后，不畏权威的打压，坚持公开发表自己的观点并深信真理。因此，他被后人称为“几何学上的哥白尼”。他的非欧几何思想是与传统观点决裂的革命精神的体现，是对欧几里得几何公理体系的反思。其结果创立了非欧几何从而打破了两千多年来欧几里得几何一统天下的局面，从根本上改变了人们的几何观。

这些数学家身上无一不体现了崇高的独创精神、批判精神和探索精神，这也让我深受启发：学习数学不仅仅只是会做题，更重要的是了解其背后的数学思想、精神和方法，受到智慧的启迪，得到数学文化的熏陶。

从中小学到大学，我个人学习数学也有十几年的时间了，中小学学的大多是简单的四则运算、平面几何知识和简单的函数，对于学习数学的感受还是很肤浅的，到进入大学之后，进一步系统的学习了数学专业课程，如：数学分析、高等代数。在学习数学基础专业课程之后，我对于数学一种深刻感受是：维度丰富、推理巧妙、高度严谨、无懈可击。与此同时，在学习数学史这门专业课程的过程当中，我更加感受到数学这门学科所蕴含的不仅仅是数学知识，更多的是独创的数学精神，系统的思想体系，和励志的批判和探索精神。

对于励志的批判和探索精神这一点的感受是源于对“几何学的发展”这一章节内容的学习。在了解了欧式几何到非欧几何的发展历程之后。我对罗巴切夫斯基对于数学锲而不舍、坚持真理的奋斗精神所深深折服。在众多著名数学家的失败中，他积极吸取经验教训，不断坚持对欧式几何“第五公设”的论证，最后，不畏权威的打压，坚持公开发表自己的观点并深信真理。因此，他被后人称为“几何学上的哥白尼”。他的非欧几何思想是与传统观点决裂的革命精神的体现，是对欧几里得几何公理体系的反思。其结果创立了非欧几何从而打破了两千多年来欧几里得几何一统天下的局面，从根本上改变了人们的几何观。

这些数学家身上无一不体现了崇高的独创精神、批判精神和探索精神，这也让我深受启发：学习数学不仅仅只是会做题，更重要的是了解其背后的数学思想、精神和方法，受到智慧的启迪，得到数学文化的熏陶。

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