(完整版)高中数学圆锥曲线和导数知识点总结,推荐文档

.

.

?

2

2

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程及其性质.

PF 1 + PF 2 1. 椭圆的第一定义： PF 1 + PF 2 PF 1 + PF 2

= 2a F 1F 2 方程为椭圆,

= 2a F 1F 2 无轨迹,

= 2a = F 1F 2 以F 1,F 2为端点的线段

椭圆的第二定义：= e ， PF d

其中 F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线

点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离

椭圆方程图形特征

x

2 y 2

+ 2 = 1(a > b a

2 b y

B

M (x , y ) 2

0 0

A F

O F A

1

1

2

2

B

1

> 0)

x

y 2 x 2

a 2 +

b 2

= 1(a > b > 0) y

A 2

F

2

M B O

B x

1

2

F

1

A

1

范围 | x |≤ a , | y |≤ b

| x |≤ b , | y |≤ a

顶点 ( ± a , 0 ), ( 0 , ± b )

( ± b ,0 ), ( 0 ,± a )

几 焦点 ( ± c ,0 ) ( 0 ,± c )

何 性 准线

对称性

x = ±

a

2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

y = ± a 2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

质

长短轴离心率 长轴长 | A A |= 2a , 短轴长 | B B |= 2b 1 2

1 2

e = c

(0 < e < 1)

a

长轴长 | A A |= 2a , 短轴长 | B B |= 2b 1 2 1 2

e = c

(0 < e < 1)

a

焦半径 | MF |= a + ex ,| MF |= a - ex 1 0 2 0

| MF |= a + ey ,| MF |= a - ey

1

2

x 2

y 2

?x = a cos

①椭圆的标准方程： + a 2 b 2

要详细讲）.

= 1 的参数方程为? y = b sin （ 0 ）（现在了解，后面选修 4-4

2 ②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为

2b 2

a

x

2

y

2

b 2 x

y 2 x 2 ③设椭圆：

+

= 1上弦

AB 的中点为 M (x 0,y 0),则斜率 k AB = - ,对椭圆：

+

= 1, 则

a

2

b

2

a 2 x a y 0

a

2

b

2

k AB = - 0 ．弦长 AB = b y 0 x 2

y 2 = 2

⑸若 P 是椭圆： + a 2 b 2 1 上的点. F 1,F 2 为焦点，若∠F 1PF 2

=， 则?PF 1F 2 的面积为b tan （可 2

0 1+ k 2 ?

a

PF

.

y M' M

x

F 1

F 2

b x a

2 b 2 ?

?

③焦半径：对于双曲线方程 -

用余弦定理与 PF 1 + PF 2 2 = 2a 推导）. 若是双曲线，则面积为

. tan

二、双曲线方程及其性质.

PF 1 - PF 2 = 2a F 1F 2 方程为双曲线

1. 双曲线的第一定义： PF 1 - PF 2

PF 1 - PF 2

= 2a F 1F 2 无轨迹

= 2a = F 1F 2 以F 1,F 2的一个端点的一条射线

双曲线的第二定义：

= e ， PF d

点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离

其中 F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线

2. 双曲线的简单几何性质：

标准方程

x - y = > >

a 2 b

2

1（ a 0, b 0 ） y - x = a 2 b

2

1（ a > 0, b > 0 ）

图

象

a ,

b ,

c 关系

a 2 +

b 2 =

c 2

范

围

| x |> a , y ∈ R | y |> a , x ∈ R 顶 点 (±a , 0) (0, ±a ) 对 称 性

关于 x , y 轴成轴对称、关于原点成中心对称

渐 近 线

y = ± b x a y = ± a x

b

离 心 率 e = c

(> 1)

a

焦

点

F (±c , 0) F (0, ±c )

准 线

x = ± a 2 c y = ± a 2

c

等轴双曲线：x 2-y 2＝ a 2( a ≠0),它的渐近线方程为 y ＝±x ,离心率 e ＝ 2 .

x 2

y 2

y 2

x 2

注：①双曲线标准方程： - = 1(a , b 0), - = 1(a , b 0) .

?x = a sec ? = b tan a 2 b 2 参数方程： 或 . （现在了解，后面选修 4-4 要详细讲）

? y = b tan ? y = a sec

2b 2 ②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为

a

x 2

y 2

a 2

b 2

= 1（ F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲▲

线不带符号）

▲

.

PF

y F 1

M

x

M'

F 2

.

.

▲

y

4 3

2 1

5 3 x

F 1

F 2

3

x 2

2

2

2y y 2 2

MF 1

= ex 0 +a

M 'F 1 = -ex 0 -a MF 2 = ex 0 -a

构成满足 MF 1 - MF 2 = 2a

M 'F 2 = -ex 0 +a

b 2 x

④设双曲线 - = 1：上弦

AB 的中点为 M (x 0,y 0),则斜率 k AB = 0 ,对双曲线：

- = 1,

a 2 b

2

a 2 x

?

a y 0

a 2 b

2 则 k AB =

0 ．弦长 AB = 1+ k 2

b y 0

x

2

y

2

a

x 2 y 2

⑤常设与 2 - = 1渐近线相同的双曲线方程为 - =

2 a b 2 a 2 b

常设渐近线方程为 mx ± ny = 0 的双曲线方程为 m 2x 2 - n 2 y 2 =

例如：若双曲线一条渐近线为 y = 1 x 且过 p (3,- 1

) ，求双曲线的方程？ 2 2

⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b

⑦直线与双曲线的位置关系：

将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和?

三、抛物线方程及其性质.

抛物线的定义： PF = d ， PF 为点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线

l 的距离

其中 F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

y = 2 px

y 2 = -2 px x 2 = 2 py

x 2 = -2 py

图形

▲ y

x

O

▲ y

▲ y

x

▲ y

x

O

x

O

O

焦点 F ( p ,0) 2 F (- p ,0)

2 F (0, p )

2 F (0,- p )

2 准线 x = - p

2

x = p

2

y = - p

2

y = p

2

范围 x ≥ 0, y ∈ R x ≤ 0, y ∈ R x ∈ R , y ≥ 0 x ∈ R , y ≤ 0 对称轴 x 轴

y 轴

顶点 （0，0）

离心率

e = 1

；

.

.

1+ k 2

? a

? ? p 2

焦半径

PF = p + x 2

1

PF = p

+ x 2

1

PF = p

+ y 2

1 PF = p

+ y 2

1

注：①抛物线通径为 2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.

y 2

= 2 px （或 x 2 =

2 py ）的参数方程为?x = 2 pt 2

（或?x = 2 pt

）（ t 为参数）. （现在了解，

②

后面选修 4-4 要详细讲）

? y = 2 pt ? y = 2 pt 2

4. 抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）

如图所示，抛物线方程为 y 2＝2px (p ＞0)． (1) 焦半径

p

设 A 点在准线上的射影为 A 1，设 A (x 1，y 1)，准线方程为 x ＝－2，由抛物线定义

p

|AF |＝|AA |＝x ＋2. 抛物线上任意一条弦的弦长为 1

1

(2) 关于抛物线焦点弦的几个结论

设 AB 为过抛物线 y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为 M (x 0 , y 0 ) ，直线

AB 的倾斜角为 θ，则①x x ＝

4 ，y y ＝－p 2， x ≠ x 时，有 x + x = p + 2 p

2p

sin2θ

1 2 1 2

2 p

1 2 1 2

k 2

p

p 2

②|AB |＝

＝x 1＋x 2＋p = 2 p +

k 2

(x 1 ≠ x 2 ) ， k AB =

y 0

， S ?AOB =

2sin

③以 AB 为直径的圆与准线相切；

④焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为 90°；

1 1

2 ⑤|FA |＋|FB |＝p .

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.

当0 e 1 时，轨迹为椭圆；当e = 1 时，轨迹为抛物线；当e 1 时，轨迹为双曲线；当e = 0 时，轨迹为圆（ e = c

，当c = 0, a = b 时）.

a 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆

双曲线 抛物线

1．到两定点 F 1,F 2 的距离之和为 1．到两定点 F 1,F 2 的距离之差

.

. ?

x =a c os

?y =b sin

(参数为离心角）

?

x =a s ec

?y =b t an

(参数为离心角）

一．导数的定义：

导数的基础知识

1. ( 1) . 函数y =处f的(x导)数x :=x0 f '(x0) =y ' | = lim f (x0+?x) -f (x0 )

x=x0

?x→0 ?x

( 2) . 函数y =导f数(x:)

2.利用定义求导数的步骤：f '(x) =y ' = lim

?x→0

f (x +?x) -f (x)

?x

.

.

A. B. 3

3

①求函数的增量： ?y = f (x + ?x ) - f (x ) ；②求平均变化率：

?y = f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) ； 0 ?y

?x ?x

③取极限得导数： f '(x 0 ) = lim

?x →0 ?x

（下面内容必记）

二、导数的运算：

（1） 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：

1

m m -1

① C ' = 0(C 为常数) ；② (x n ) ' = nx n -1 ； ( ) ' = (x -n ) ' = -nx -n -1 ； ( n x m ) ' = (x n

) ' =

m x n

x n

n

③ (sin x ) ' = cos x ； ④ (cos x ) ' = - sin x

⑤ (e x ) ' = e x

⑥ (a x ) ' = a x ln a (a > 0,且a ≠ 1) ；

1 1 ⑦ (ln x ) ' = x ； ⑧ (log a x ) ' = x ln a

(a > 0,且a ≠ 1)

法则 1：[ f (x ) ± g (x )]' = f '(x ) ± g '(x ) ；(口诀：和差的导数等于导数的和差).

法则 2：[ f (x ) ? g (x )]' = f '(x ) ? g (x ) + f (x ) ? g '(x ) (口诀：左导右不导+左不导右导)

法则 3：[

f (x )]' = f '(x ) ?

g (x ) - f (x ) ? g '(x ) (g (x ) ≠ 0) g (x ) [g (x )]2

(口诀：(上导下不导-上不导下导) ÷ 下平方)

（2） 复合函数 y = f (g (x )) 的导数求法：(理科必须掌握)

①换元，令u = g (x ) ，则 y = 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算 f (u ) ②分别求导再相乘 y ' = [g (x )]'?[ f (u )]' ③回代u = g (x ) 1、已知 f

(x )= x 2 + 2x - sin ，则 f ' (0)=

2、若 f (x )= e x sin x ，则 f ' (x )=

3. f (x ) =ax 3+3x 2+2 ， f '(-1) = 4 ，则 a =（

）

10

三．

3 13

导数的物理3 意义

C. 16

D. 19 1. 求瞬时速度：物体在时刻t 0 时的瞬时速度V 0 就是物体运动规律 S =

f (t )在t = t 0 时的导数

f '(t 0 )，即有V 0 = f '(t 0 )。

2. V = S '(t ) 表示即时速度。 a = V '(t ) 表示加速度。

四．导数的几何意义：

函数 f (x )在 x 0 处导数的几何意义，曲线 y = f (x )在点 P (x 0 , f (x 0 ))

处切线的斜率是 k = f '(x 0 )。 于是相应的切线方程是： y - y 0 = 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况：

f '(x 0 )(x - x 0 )。 （1） 曲线 y = f

(x )在点 P (x 0 , f (x 0 ))处切线：性质： k 切线 = f '(x 0 )。相应的切线方程是：

.

. 0

y -y0=f '(x0)(x -x0)

（2）曲线y =f (x)过点P (x0, y0)处切线(有可能点P 不在曲线上)：先设切点，切点为Q(a, b) ,则斜率 k= f '(a) ，切点Q(a, b) 在曲线y =f (x)上，切点Q(a, b) 在切线y -y0 =f '(a)(x -x0 )上，切点Q(a, b) 坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k= f '(a) ，确定切线方程。

例题在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；

解析：（1）k = y'|x=x= 3x 0 2 + 6x 0+ 6 = 3 (x 0+ 1)2 + 3 当x0=-1 时，k 有最小值 3，

此时 P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为 3x-y-11=0

五．函数的单调性：设函数y =f (x) 在某个区间内可导，

（1）f '(x) > 0 ? （2）f '(x) < 0 ? f (x) 该区间内为增函数；

f (x) 该区间内为减函数；

注意：当f '(x) 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f (x) 在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3） f (x) 在该区间内单调递增?（4） f (x) 在该区间内单调递减?f '(x) ≥ 0 在该区间内恒成立；

f '(x) ≤ 0 在该区间内恒成立；

题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：

步骤：（1）求导数y'=f '(x)

(2)判断导函数y'=

(3)下结论

f '(x) 在区间上的符号

① f '(x) > 0 ?f (x) 该区间内为增函数；② f '(x) < 0 ?f (x) 该区间内为减函数；

题型二、利用导数求单调区间

求函数y =f (x) 单调区间的步骤为：

（1）分析y =f (x) 的定义域；（2）求导数y'=f '(x)

（3）解不等式f '(x) > 0 ，解集在定义域内的部分为增区间

（4）解不等式f '(x) < 0 ，解集在定义域内的部分为减区间

题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）

思路一.（1）f (x) 在该区间内单调递增?f '(x) ≥ 0 在该区间内恒成立；

（2）f (x) 在该区间内单调递减?f '(x) ≤ 0 在该区间内恒成立；

思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单

调增或减区间的子集。

注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c 两侧使函数f '（x）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以f '(c) = 0

ln x

例题．若函数f (x) =，若a =

x f (3), b =f (4), c =f (5) 则( )

A. a< b < c

B. c < b < a

C. c < a < b

D. b < a < c

六、函数的极值与其导数的关系：

1.①极值的定义：设函数f (x) 在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有

f (x) f (x0 ) ，则称f (x0 ) 为函数的一个极大（或小）值，x0为极大（或极小）值点。

②可导数f (x) 在极值点x0处的导数为 0（即f '(x0 ) = 0 ），但函数f (x) 在某点x0处的导数为 0，并不一定函数f (x) 在该处取得极值（如f (x) =x3 在x0= 0 处的导数为 0，但f (x) 没有极值）。

③求极值的步骤：

第一步：求导数f '(x) ；

第二步：求方程f '(x) = 0 的所有实根；

第三步：列表考察在每个根x0附近，从左到右，导数f '(x) 的符号如何变化，(用表格)

若f '(x) 的符号左正右负，则f (x0 ) 是极大值；

.

.

若 f '(x ) 的符号左负右正，则 f (x 0 ) 是极小值；

若 f '(x ) 的符号不变，则 f (x 0 ) 不是极值， x 0 不是极值点。

2、函数的最值：

①最值的定义：若函数在定义域 D 内存 x 0 ，使得对任意的 x ∈ D ，都有 f (x ) ≤ f (x 0 ) ，

（或 f (x ) ≥ f (x 0 ) ）则称 f (x 0 ) 为函数的最大（小）值，记作 y max = f (x 0 ) （或 y min = f (x 0 ) ）

②如果函数 y = f (x ) 在闭区间[a , b ] 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[a , b ] 上必有最大值和最小值。

③求可导函数 f (x ) 在闭区间[a , b ] 上的最值方法：

第一步: 求导数 f '(x ) ；

第二步：求方程 f '(x ) = 0 的所有实根

第三步：比较 f (x ) 在方程 f '(x ) = 0 的根处的函数值与 f (a ) 、 f (b ) 的大小,最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）

3、注意：极大值不一定比极小值大。如 f (x ) = x + 1

的极大值为-2 ，极小值为 2。 x

注意：函数 y = 极值；

f (x ) 在 x 0 处有极值? f '(x 0 ) = 0 。但是， f '(x 0 ) = 0 不能得到当 x=x 0 时，函数有 题型一、求极值与最值

题型二、导数的极值与最值的应用

题型三、导数图象与原函数图象关系

导函数 原函数

f '(x ) 的符号 f '(x ) 与 x 轴的交点且交点两侧异号

f (x ) 单调性f

(x ) 极值 f '(x ) 的增减性 度）

f (x ) 的每一点的切线斜率的变化趋势 （ f (x ) 的图象的增减幅 f '(x ) 的增 f '(x ) 减

典型例题

例 1. 已知 f(x)=e x -ax-1.

f (x ) 的每一点的切线斜率增大（ f (x ) 的图象的变化幅度快）

f (x ) 的每一点的切线斜率减小 （ f (x ) 的图象的变化幅度慢） （1）求 f(x)的单调增区间； （2）若 f(x ）在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围；

（3）是否存在 a ,使 f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出 a 的值； 若不存在，说明理由.

解： f '(x ) =e x -a . （1）若 a≤0， f '(x ) =e x -a≥0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增.

若 a>0,e x -a≥0,∴e x ≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).

（2）∵f （x ）在 R 内单调递增，∴ f '(x ) ≥0 在 R 上恒成立.

∴e x -a≥0，即 a≤e x 在 R 上恒成立. ∴a≤（e x ）min ，又∵e x >0，∴a≤0.

（3） 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点.∴ f '(0) =0,即 e 0-a=0,∴a=1.

例 2. 已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+c ,曲线 y=f(x ）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x= 2

时，

3

y=f(x ）有极值.

.

.

（1）求 a,b,c 的值； （2）求 y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由 f(x)=x 3+ax 2+bx+c ,得 f '(x ) =3x 2+2ax+b , 当 x=12时，切线 l 的斜率为 3，可? 得 2a+b=0 ① 当 x= 时，y=f(x)有极值，则 f ' 2 ? =0,可得 4a+3b+4=0

②

?

3 ? 3 ? 由①②解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得 f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴ f '(x ) =3x 2+4x-4, 令 f '(x ) =0,得 x=-2,x= 2

.

3

当 x 变化时，y ,y′的取值及变化如下表：

?- 2, 2 ? 2 ? 2 ? x -3 (-3,-2) -2 3

? 3 3,1? 1

? ? ? ?

y′

+ 0 - 0 + 单调递增 单调递减 95

单调递增 y 8 13 27 4 ↗ ↘ ↗

∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为 13，最小值为 95 .

27

例 3.当 x > 0 ，证明不等式 x

1 + x

< ln(1 + x ) < x . 证明： f (x ) = ln(x + 1) -

x 1 + x x ， g (x ) = ln(x + 1) - x ，则 f '(x ) = ， (1 + x )2

当 x > 0 时。∴ f (x ) 在(0,+∞)内是增函数，∴ f (x ) > f (0) ，即ln(1 + x ) - 1 + x > 0 ，

又 g '(x ) =

- x 1 + x ，当 x > 0 时， g '(x ) < 0 ，∴ g (x ) 在(0,+∞)内是减函数，∴ g (x ) < g (0) ，即 ln(1 + x ) - x < 0 ，因此，当 x > 0 时，不等式 x 1 + x x 点评：由题意构造出两个函数 f (x ) = ln(x + 1) - < ln(1 + x ) < x 成立.

， g (x ) = ln(x + 1) - x .

1 + x 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.

例 4 设函数 f (x ) = 2x 3 + 3ax 2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值．

（Ⅰ）求 a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的 x ∈[0，3] ，都有 f (x ) < c 2 成立，求 c 的取值范

围．解答过程：（Ⅰ） f '(x ) = 6x 2 + 6ax + 3b ，

因为函数 f (x ) 在 x = 1 及 x = 2 取得极值，则有 f '(1) = 0 ， f '(2) = 0 ． x

.

. ?

?6 + 6a + 3b = 0，?

24 +12a + 3b = 0

即解得

a =-3 ，

b = 4 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f (x) = 2x3 - 9x2 +12x + 8c ，

f '(x) = 6x2 -18x +12 = 6(x -1)(x -

2) ．令f '(x) = 0 ,有6(x -1)(x - 2) = 0 ,解得x = 1 , x

= 2

1 2

f (1) = 5 +8c ，f (0) = 8c ，f (2) = 4 +8c , f (3) = 9 +8c ．

∴ x ∈[0,3]时, f (x)max= 9 + 8c

x∈[0，3] f (x) <22

因为对于任意的，有恒成立，所以f (x)max 9 ，因此c 的取值范围为(-∞，-，1) (9+∞)．

例 5 设函数f (x) =x(e x -1) -ax2

（Ⅰ）若a =1

，求f (x) 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥ 0 时，f (x) ≥ 0 ，求a 的取值范围2

例 6 已知函数f (x) =x - ln(x +a) 的最小值为0，其中a > 0

（1）求a 的值；（2）若对任意的x ∈[0, +∞) ，有f (x) ≤kx2 成立，求实数k 的最小值

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例 7 设函数f(x)= e x-ax-2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=1,k 为整数,且当x>0 时,(x-k) f′(x)+x+1>0,求k 的最大值教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

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