机械工程测试技术基础课后习题答案

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机械工程测试技术基础课后习题答案

信号及其描述习题

1.1求周期方波(图1-4)的傅立叶级数(复指数函数形式)。画出频谱图|Cn|— ; n— 图并与表1-1对比。

解:傅立叶级数的复指数形式表达式:x(t)=

jn 0

t;n=0,±1,±2,±3,×××

n

+

Cne=

式中: C1T 0 jn t1 0T jn

n=20Tdt=0 T0x(t)e2T0 T A)e0tdt+2 jn 0t0(20Aedt

T = 1 A0

jn2

T e 0t +1 Ae jn 0t 0 jn 0 TT 0 jn 0

2

= jA[]

n +jAn 12e jn +ejn = jAn

(1 cosn ) j2A;n=±1,±3,±5, = ×××

0;n n=±2,±4,±6,×××所以:

+

x(t)=

j2A ejn 0t;n=±1,±3,±5,±7

n= n ÷

,×××幅值频谱:

C=C22

2AnnR+CnI=;n=±1,±3

n

,±5,×××相位频谱: 2A C

÷ ;n=1,3,5,××× n=arctgC=arctg

÷= 2nR 0÷ ÷ 2;n= 1, 3, 5,×××

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sin t的绝对均值µ|x |和均方根值x rms

解:

T1

T02x02

x=limT 0x(t)dt=Tx0sin tdt=;式中:T0=

00

xrms=1 T0Tx2(t)dt=1

T0(x2

x00sin dt)dt=00T00

2

1.3求指数函数 x ( t) = Ae t; ( > 0 ; t 0 ) 的频谱。 解:

X(f)= + x(t)e j2 ftdt=

+ Ae t×e j2 ftA

0dt= +j2 f1.4求符号函数(题图1-1a)和单位阶跃函数(题图1-1b)的频谱.

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解:1) 符号函数的频谱:

t令: x1(t)=limex(t); 0

X1(f)=x1(t)e j2 ftdt

0 t+ t j2 ft =lime( 1)edt+ee j2 ftdt ÷ 0 0

1=

j f

2)单位阶跃函数的频谱: t

x(t)=limex(t);2 0

+ 1 t

X2(f)=x2(t)e j2 ftdt=lim ee j2 ftdt = ÷ 0 0 j2 f

1.5求被截断的余弦函数cos 0t(题图1-2)的傅立叶变换。

cos 0t;t<T x(t)=

t T 0;

解: + +T

j2 ft

X(f)=x(t)edt=cos2 f0te j2 ftdt T

+T1 j2 f0tj2 f0t j2 ft

=e+eedt T2

sin (f+f0)2Tsin (f f0)2T

=T +

(f+f)2T (f f)2T 00

=T[sinc× 1+sinc× 2]

1.6求指数衰减振荡信号(见图1-11b): x ( = e t t ; ( > 0 , t 0 t)sin 0) 的频谱 解: j2 ft+ +

j2 ft t

X(f)=x(t)edt=esin2 f0tedt

+ j

=e te j2 f0t ej2 f0te j2 ftdt 02

j 11 ÷= ÷2 +j2 (f+f) +j2 (f f)00

1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示),现乘以余弦型振荡cos 0t ,( 0> m)。

在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦型振荡cos 0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cos 0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问:若 0< m时将会出现什么情况? 解: + +

j2 ft

X(f)=x(t)edt=[f(t)cos2 f0t]×e j2 ftdt

+

1

)

(

)

()

+ej2 ft ×e j2 ftdt

11

=

f(t) e

2

(

j2 f0t

)

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当 0<

m时,将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x(t)=x0sin( 0t+ )的均值µx 和均方值 x2和概率密度函数p(x) 解:将x(t)=x0sin( 0t+ )写成( 0t+ )=arcsin(x(t)/ x0)

等式两边对x求导数: 1 dtx011

== dx 22

0x0 x2(t)0 x(t) x÷÷

0 1 Tx 12 tp(x)=limlim=lim x 0 x T x 0T xT

2dt1== 22Tdx x0 x(t)

2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s,2s,5s的正弦信号,问幅值

误差将是多少?

解:H( A(

)=)=

1j +1

1

=

1Y(

=

0.35 j+1X ) 2

+(0.35 )

2

=

1 0.7 + ÷

7

当T=1s时,A( 当T=2s时,A( 当T=5s时,A(

1

)=0.41,即AY

=0.41Ax,误差为59%

2

)=0.67,误差为33% )=0.90,误差为8%

3

2.3求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos100t 45,通过传递函数为H(s)=

o

()

1

0.05s+1

的装置后所得到的稳态响应。

解: 利用叠加原理及频率保持性解题

x(t)=0.5sin10t+90o+0.2sin100t+45o A(

()()

)=

11+

2

1

=

1+(0.005

)

2

( )= arctg(0.005 )

1

=10,A( )=1, ( 1)

2.86o

x(t1)=0.5 1×sin10t+90o 2.86o ,

()

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2

=100 ,A(

2

)=0.89 , ( 2)= 26.57o

y(t2)=0.2 0.89×sin100t 26.57o+45o

y(t)=0.5sin10t+87.14o+( 0.178)sin100t+18.43o

2.7将信号cos t输入一个传递函数为H(s)=在内的输出y(t)的表达式。

解: x(t)=cos( t)=sin H(s)=

()

()()

1

的一阶装置后,试求其包括瞬态过程2s+1

( t+90)

o

1

,A( s+1

1+( 1+(

)=

1+(

)

2

, = arctg( )

y(t)=

))

2

2

sin( t+90o arctg( cos( t arctg )

))

=

2.8求频率响应函数

3155072

1+0.01j 1577536+176j

2

的系统对正弦输入

x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。

解: 写成标准形式 H(

2n

n

)=

j +1j

2

+2

j +

2

n

1

=0.01j +1

∴ A(

(1256)2

22

+2 1256 j +12562

2

)=

1+62.8 0.01 1

1

62.8 ÷1256

2

176

+

1577536

2

2

=1.69 0.99=1.7 对正弦波,ux=

A2

=

1.7 10

2

=12

2

41 n

和2

S+1.4 nS2+

1.5

2.9试求传递函数分别为2

S+1.4 nS2+

2n2n

的两个环节串联后组

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成的系统的总灵敏度(不考虑负载效应)

解: H( H1(

)=H1( )×H2( ) )=

1.53

=,S1=3

3.5S+0.57S+1

2n

241 n

H2( )=2

S+1.4 nS+

,S2=41

S=S1×S2=3 41=123

2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,则时间 单常数应去多少?若用该系统测试50Hz正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?

解: 由振幅误差

E=

|A0 AI|A

=1 0=1 A( AIAI

)

5%

∴ A( 即 A(

) )=

95%

1+( 1

=95% ,

)

2

2

+2 100t=0.95, =5.23 10 4s

4

当 =2 f=2 50=100 ,且 =5.23 10s时

A( )=

1

+5.23 10 100

4

2

98.7%

∴ 此时振幅误差E1=1 98.7%=1.3%

( )= arctg(5.23 10 4 100 )

9.3o

2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz,阻尼比

=0.14,问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时,其振幅比A( )和相角差 (

各为多少?若该装置的阻尼比可改为 =0.7,问A(

解: 作频率为400Hz的正弦力测试时 A(

)

)和 ( )又将作何种变化?

)=

1

n

÷÷

2

1

+4

2

2

n

÷÷

2

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=

1

2

400 2 2 400

÷ +4 (0.14) ÷ 1 800800

2

1.31

2 ÷÷

n ( )= arctg 2 1 ÷÷ n 400

2 0.14 ÷

800

= arctg2

400 1 ÷ 800

10.6 当阻尼比改为 =0.7时 A(

o

)=

1

2

400 2 2 400

÷ +4 (0.7) ÷ 1 800800

2

0.97

400 2 0.7 ÷

800 43o

( )= arctg2

400 1 ÷ 800

即阻尼比变化时,二阶振荡系统的输出副值变小,同时相位角也变化剧烈,相位差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后,测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3,试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解: 最大超调量

1

2

M=e 即 =

÷÷

=1.5

0.13

1 ÷+1 ln1.5

2

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且 Td= ∴ 2

=6.28

12

d

d

= n

=

2

1 6.281

n

=

2

=

(0.13)

2

1.01

系统的传递函数 H(s)=

Y(s)=kXsS

22 S

2+

n

+1

n

=

3

S

2

(1.01)2+2 0.13×S1.01

+1

该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由H(j

)=Y( K)X =

2

j

÷2÷ (j )1

+ +n

n =

K

1

+2j n÷ n ∴ H(j

Kn)=

2

=3

0.26j 1 ÷n÷ +2j

n

d

为有阻尼固有频率

M=0.5, 2

d

=

T

=1 ÷ M=e

2

÷

=

1 2

=0.215 lnM÷

+1

d

=

n

2

,∴ n

=

d

1.02

2

= S=3

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∴H(s)= 2

nS2

+2 nS+

2×S

n

=1.04

S2

+0.44×S+1.04 3 A(

1n)=

34

2

=6.98 ( =

n

时代入得)

A( )=

1o2

, ( )= 90

(

n)= arctg

=

2

y(t)=6.98sin 1.02t

4.1解 : =2 m时,

单臂,U R

y=

4RU0 0

USg×R× y=

4R

U0

2 120 2 10 6

Uy=4 120

*3=3 10 6(V)

双臂,U R

y=

2RU0 0

USg×R× y=

2R

U0

2 120 2 10 6

Uy=2 120

*3=6 10 6(V)

: =2000 m时,

单臂,U R

y=

4RU0 0

USg×R× y=

4R

U0

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2 120 2000 10 6

Uy=4 120

*3=3 10 3(V)

双臂,UR

y=

2RU0 0

USg×R× y=

2R

U0

2 120 2000 10 6

Uy=2 120

*3=6 10 3(V)

双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

4.4解:UR

y=

RU0 0 USg×R× y=

R

U0

Uy=Sg×(Acos10t+Bcos100t)×Esin10000t

=Sg×AEcos10tsin10000t+Sg×BEcos100tsin10000t

=

12St+sin9990t)+1

gAE(sin100102

SgBE(sin10100t+sin9900t)U)=14jS100101001099909990

y(fgAE[ (f+2 ) (f 2 + (f+2 + (f 2 )]

+14jS101001010099009900gBE[ (f+2 (f 2 )+ (f+2 )+ (f 2

4.5解:xa=(100+30cos t+20cos3 t)(cos ct)

=100cos2000 t+30cos1000 tcos2000 t+20cos3000 tcos2000 t

=100cos2000 t+15(cos3000 t+cos1000 t)+10(cos5000 t+cos1000 t)

Xa(f)=50[ (f+10000)+ (f 10000)]+7.5[ (f+10500)+ (f 10500)]

+7.5[ (f+9500)+ (f 9500)]+5[ (f+11500)+ (f 11500)]+5[ (f+8500)+(f4.10 解:H(s)=

1 s+1=1RCs+1=1

10 3s+1

8500)]

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H( )=

1

10 3

j +1

A( )=1+( )

2

=

1+(10 3

)

( )= arctan( )= arctan(10 3 )

Uy=10A(1000)sin(1000t+ (1000))=10 0.707sin(1000t+450)=7.07sin(1000t+450

)

4.11 解:A( )=

1+( )

2

( )= arctan( )

=10时,

A(10)=

1

+(0.05 10)

=0.816

(10)= arctan(0.05 10)=26.56°

(100)

=100时,

A=

1+(0.05 100)

=0.408

(100)= arctan(0.05 100)=78.69°

y(t)=0.5 0.816cos(10t+26.56°)+0.2 0.408cos(100t 45°+78.69°)=0.408cos(10t+26.56°

)+0.0816cos(100t+33.69°

)

5.1 t)=

e th(;(t 0, >0) 0;(t<0) R+

)

x( )=

h(t)×h(t+ )dt=

+

e te

(t+ dt

=

+

e

e

2 t

dt=

e2

5.2 x(t)=A1sin(

1t+

1

2

+A2sin(

2t+

2

2

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由同频相关,不同频不相关得:

RA2

1

A22

x( )=2cos 1 +2

cos 2

5.3:由图可写出方波的基波为x1(t)=

4

sin( t

2

)

Rxy( )=

2

cos(

2

)

5.4: Sxy(f)=H(f)Sx(f)

H(f)=Sxy(f)/Sx(f)

Sxy(f)=F[Rxy( )]

Sx(f)=F[Rx( )]=F[Rxy( +T)]=F[Rxy( )]ej T

H(f)=e

j T

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知:

2x

=Rx(0)=Acos0=A

x

rms

=2x

=A

5.7:由对称性性质:

F{sinc2(t)}=1 f

2

<f<

2

2

=

df

=

sinc

2

(t)dt

2

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ng14.html

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