有关斐波那契数列及性质的研究

有关Fibonacci数列及性质的研究

摘要：本文由Fibonacci数列的模型展开讨论，推导出?Fn?数列的通项公式；进而利用

?Fn?数列的递推公式、数学归纳等多种方法，探讨了?Fn?数列各项之间的联系，归纳总结了?Fn?数列所具有的14条基本性质，在其基础上，又给出了Fibonacci数列与黄金分割数之间的密切联系，得到了三条重要性质，这些性质无一不体现了?Fn?数列的变化规律。最后，作为性质的应用，结合例题我们阐述了?Fn?数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。

关键词：Fibonacci数列;通项公式;性质;黄金分割

在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，Fibonacci数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用Fibonacci 数列表示，而且本质上就是Fibonacci数列，可见Fibonacci数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究Fibonacci数列非常必要。

本文通过探讨Fibonacci数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与Fibonacci数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。

1. Fibonacci数列的由来

斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？

问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：

月 份

1 2 3 4 5 6 7

8

9 10 11 12

13 89

小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

大兔子数（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。

仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列?Fn?：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55??，人们就把它称为Fibonacci数列，而将这个数列中的每一项称为“Fibonacci数”。

2. 生活中常见的Fibonacci数列数学模型:

假如我们把?Fn?设为Fibonacci数列，不难发现数列?Fn?是由递推关系式：

F1?F2，F3?F1?F2，??，Fn?Fn?1?Fn?2?n?3? ??? 所给出的一个数列。从而，

我们就可以轻而易举地算出两年，三年??以后的兔子数。为了便于探讨该数列具有的若干性质和变化规律，我们首先给出几个与Fibonacci数列相关的数学模型，然后对Fibonacci数列展开讨论。

2.1 覆盖问题

例1 用1?2的骨牌覆盖2?n的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？ 解 设有an种不同的覆盖方法，将棋盘水平放置，考虑最后一个骨牌的放法：若垂直放置，则有an?1种不同的覆盖方法；若水平放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有an?2种不同的覆盖方法。于是，由加法原理得：an?an?1?an?2 ，其初值为a1?1，a2?2,因此，an?Fn?1 ?n?2?。

例2 用1?1和1?2两种骨牌覆盖1?n的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？ 解 设覆盖方法有bn种，考虑最后一块骨牌：若是1?1的，则有bn?1种覆盖方法；若是1?2的，则有bn?2种覆盖方法。所以，bn?bn?1?bn?2，其初值为b1?1，

b2?2，于是，bn?Fn?1 ?n?2?。

2.2 爬楼梯问题

例3 某人爬有n个台阶的楼梯，一步可以迈一个或两个台阶，问这个人有多少种不同的爬楼方法？

解 设爬n个台阶有cn种方法。考虑最后一步：若最后一步迈一个台阶，则前n?1个台阶有cn?1种方法；若最后一步迈两个台阶，则前n?2个台阶有cn?2种不同的方法。于是，由加法原理得：cn?cn?1?cn?2，易知其初值c1?1，c2?2，从而cn?Fn?1 ?n?2?。

2.3 0-1序列问题

例4 由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个0-1序列的长度，若果0100011011是一个长度为10的0-1序列，求长为n的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数。

解 设这样的序列有en个，考虑最后一个数，如果最后一位是0，则只要前

n?1位任何两个1不相邻即可，因此，满足要求的序列有en?1个。若最后一位是

1，则倒数第二位是0，于是只要前n?2位任何两个1不相邻即可，因此满足要求

1

的序列有en?2个，由加法原理得：en?en?1?en?2，由初值e1?2,e2?3得

en?Fn?2，当然也可以写成en?Fn?Fn?1 ?n?2?。

例5 求长为n的0-1序列中既不含有010也不含有101的0-1序列的个数。 解 设这样的序列有gn个，以0和1结尾的这样的序列的个数分别用gn,0和

gn,1表示。则gn?gn,0?gn,1。

以0结尾的序列有如下两种：（1）??00

（2）??110

第一类中只要前n?1位既无010也无101即可，注意到前n?1位是以0结尾的，所以有gn?1,0个这样的序列；

第二类中只要前n?2位无010和101即可，因为前n?2位是以1结尾的，故有gn?2,1个这样的序列；

于是有: gn,0?gn?1,0?gn?2,1 ------① 同样，以1结尾的序列有如下两种：（1）??11

（2）??001

于是有： gn,1?gn?1,1?gn?2,0 ------② 由①+②得： gn?gn,0?gn,1?gn?1?gn?2 再由初值g1?1，g2?4，得：gn?2Fn?1 ?n?2?

2.4 一个几何上的例子

例6 半径为1的两个圆⊙O1, ⊙O2外切，l是它们的一条外公切线，依次作⊙O3和⊙O1、⊙O2、l均相切，作⊙O4和⊙O2、 ⊙O3、l均相切??，作⊙On?1与⊙On?1、⊙On、l均相切，求⊙On的半径的表达式。

解 作On?1R、OnS?l，过On?1作l的平行线分别交On?1R、OnS于P、Q,作

OnM?On?1R于M，则由OnM?On?1P?On?1Q，

可得 令

1rrnn?1?rrn?1n?1?rrnn?1.

1. 2Fnan?，则an?1?an?an?1且a1?a2?1，故an?Fn，从而rn?nr3．Fibonacci数列的性质 3.1 基本性质

为了方便讨论Fibonacci数列具有的若干性质和变化规律，本文首先从?Fn?的设g?x??F1x?F2x2?F3x3???Fnxn?? ------① 通项公式入手，对Fibonacci数列展开讨论. 由Fibonacci数列的递推公式???， 可得：g?x??x2?x ?F3x3???Fnxn??

2

=(F1?F2)x3?(F2?F3)x4???(Fn?1?Fn?2)xn??

?(F1x3?F2x4???Fn?1xn??)?(F2x3?F3x4???Fn?2xn??) ?x2g?x??x?g?x??x? ?(x2?x)g?x??x2 从而 g?x??xx ?21?x?x?1?5??1?5??1??1?x?x?????22?????A?B?0AB再设g?x??，则有? ??51?51?5??A?B??11?x1?x?222从而得 A?1,B??1

55????x111?? ——-② 所以 g?x????21?x?x5?1?51?5?x1?x??1?22??再利用

1?1?x?x2?x3?...?xn?...，并将②式展开得到： 1?x15g?x????????x?(?22??2)x2???(?n??n)xn?? -——③

?其中???2?1?5;???2?1?5

1?51?52将①和③比较可得数列?Fn?的通公式，也就是我们所要探讨的Fibonaccia数列的通项公式：

性质1 Fibonacci数列?Fn?的通项公式:

?1??1?Fn???5??2???5????n?1?5??（n≥1）

??????2??????n通过观察，我们知道Fibonacci数列中的每一项都是整数，但其通项却含有有理数，因此可见Fibonacci数列的与众不同之处。 利用Fibonacci数列的递推公式可以得到：

性质2 Fibonacci数列的前n项和：?Fk?Fn?2?F2

k?1n证明 由F1?F3?F2，F2?F4?F3，??，Fn?1?Fn?1?Fn，Fn?Fn?2?Fn?1.

可得：F1?F2?F3???Fn?Fn?2?F2

3

性质3 Fibonacci数列的奇数项和：?F2k?1?F2n

k?1n证明 由F1?F2，F3?F4?F2，F5?F6?F4，??，F2n?1?F2n?F2n?2

可得：F1?F3???F2n?1?F2n

性质4 Fibonacci数列的前n项平方和: ?Fk?1n2k?FnFn?1

证明 由 F12?F2F1，

F22?F2(F3?F1)?F2F3?F2F1，

F62?F3(F4?F2)?F3F4?F2F3，

??，

Fn2?Fn(Fn?1?Fn?1)?FnFn?1?Fn?1Fn

222可得：F1?F2???Fn?FnFn?1

利用数学归纳法还可以证明：

n性质5 Fibonacci数列的相邻项乘积之和：?21???FnFn?1?1??? FFkFk?1n?2?2?k?1证明 对n用数学归纳法证明，当n?1时，等式显然成立。

n?1假设n?1时结论成立，即?21???Fn?1Fn?1???. FFkFk?1n?1??2k?1n现证n时结论成立. ?k?1FF

kk?1n?1=?k?1FFkk?1?FnFn?1

=1??F2???

n?1?Fn?1Fn?1??FnFn?12=1??F2?? n?1?Fn?1Fn?1?2FnFn?1??22=1???22 ????2?1??????FFFFnFn?1?Fnn?1Fnn?1n??????2??21???Fn?2?FnFn?1?1?? ??2所以，对任意自然数n结论都成立 。

n个?????， 性质6 若连分数11?1?1?111??1?11?[1,1,1...,1,1]n个?????Fn?1那么?[1,1,1...,1,1]

Fn 4

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