上海市嘉定区2014届高三数学一模试卷（理科 - 含答案）

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

数学试卷（理科）

2014年1月

一. 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数y?log2(x?2)的定义域是_____________．

2．已知i是虚数单位，复数z满足z?(1?3i)?1，则|z|?_______． 3．已知函数y?f(x)存在反函数y?f则f?1?1(x)，若函数y?f(x?1)的图像经过点(3,1)，

(1)的值是___________．

2*4．已知数列{an}的前n项和Sn?n（n?N），则a8的值是__________．

5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20?cm，则此圆锥的体积为________cm．

234???，则tan?????____________．

4?5?a1x2y2?0，且双曲线的右焦点与7．已知双曲线2?2?1（a?0，b?0）满足

b2ab6．已知?为第二象限角，sin??抛物线y?43x的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

8．分别从集合A?{1,2,3,4}和集合B?{5,6,7,8}中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是_________．

9．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，点C在直线y?4 B(?7,3)，上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则OG?OC的最小值为__________．

2?r?10．若lim??存在，则实数r的取值范围是_____________．

n??2r?1??11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x?y?0与x?3y?0的距离之和等于4，

则P到原点距离的最小值为_________．

12．设集合A?{(x,y)(x?4)?y?1}，B?{(x,y)(x?t)?(y?at?2)?1}，

若存在实数t，使得A?B??，则实数a的取值范围是___________．

2??ax?2x?1,x?0,13．已知函数f(x)??是偶函数，直线y?t与函数f(x)的图像自左 2???x?bx?c,x?0至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|?|BC|，则实数t的值为________． 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二

2222n级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作

等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的

1 / 4

作图方法，得到三级分形图（图（3））；?；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、?、 n级分形图．则n级分形图的周长为__________．

??

图（1） 图（2） 图（3）

二. 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

????15．设向量a?(x?1,1)，b?(3,x?1)，则“a∥b”是“x?2”的??????（ ）

2??16．若?x?2?展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

x??A．180 B．120 C．90 D．45

17．将函数y?sin2x（x?R）的图像分别向左平移m（m?0）个单位，向右平移n

（n?0）个单位，所得到的两个图像都与函数y?sin?2x?n????则m?n ?的图像重合，

6?的最小值为?????????????????????????????（ ） A．

2?5?4? B． C．? D．

63318．设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]?D，使得函数f(x)满足：①f(x)

在[a,b]上是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，则称区间[a,b]是函 数f(x)的“和谐区间”．下列结论错误的是???????????????（ ） A．函数f(x)?x（x?0）存在“和谐区间” B．函数f(x)?e（x?R）不存在“和谐区间”

x24x(x?0）存在“和谐区间” 2x?1?x1?D．函数f(x)?loga?a??（a?0，a?1）不存在“和谐区间”

8??C．函数f(x)?三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，正三棱锥A?BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点． （1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

2 / 4

（2）求该三棱锥的体积V．

A

B D

E

C

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知函数f(x)?2sinxcosx?23cosx?3，x?R． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC中，若f(A)?1，AB?AC?22，求△ABC的面积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点?1,（1）求椭圆C的方程；

???3??在椭圆C上． 2???（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d?(2,1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|?|PB|为定值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分．

已知函数f(x)?x?22m． ?2（m为实常数）

x（1）若函数y?f(x)图像上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数m的值；

3 / 4

（2）若函数y?f(x)在区间[2,??)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；

（3）设m?0，若不等式f(x)?kx在x???1?,1?有解，求k的取值范围． 2??

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分．

数列{an}的首项为a（a?0），前n项和为Sn，且Sn?1?t?Sn?a（t?0）．设

bn?Sn?1，cn?k?b1?b2???bn（k?R?）．

（1）求数列{an}的通项公式；

*（2）当t?1时，若对任意n?N，|bn|?|b3|恒成立，求a的取值范围；

（3）当t?1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{cn}为等比数列，且a，t，

k成等差数列．

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

（理科）

参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

4 / 4

y213121．(2,??) 2． 3．2 4．15 5．16? 6．? 7．x??1 8． 9．9

2274n?17?4??1??4?10．(??,?1]???,??? 11．22 12．?0,? 13． 14．3???

4?3??3??3?二．选择题（每小题5分，满分20分）

15．B 16．A 17．C 18．D

三．解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（1）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以?AEF就是异面直线AE与

． ????????????????????（2分） CD所成的角（或其补角）

在△AEF中，AE?AF?22，EF?1， ????????????（1分）

12所以cos?AEF?2?． ??????????????????（2分）

8222所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos． ???????（1分）

8（2）作AO?平面BCD，则O是正△BCD的中心， ?????????（1分）

3连结OE，OE?， ???????????????????????（1分）

32322所以AO?AE?EO?， ?????????????????（1分）

3所以，V?1132323?Sh???4??． ????????????（2分） 33433

20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

（1）f(x)?2sinxcosx?3(2cosx?1)?sin2x?3cosx2x?2sin?2x?2?????， 3? ??????????????????（2分） 所以，函数f(x)的最小正周期为?． ??????????????????（1分） 由2k??得k???2?2x??3?2k???2（k?Z）， ???????????????（2分）

5??， ????????????????（2分） ?x?k??（k?Z）

1212??5???,k???（k?Z）． ?????（1分） 1212?所以，函数f(x)的单调递增区间是?k??（2）由已知，f(A)?2sin?2A???1? ??1，所以sin?2A???， ?????（1分）

3?32?????4??5??因为0?A?，所以?2A??，所以2A??，从而A?． ?（2分）

4233336又AB?AC?|AB|?|AC|?cosA?2，，所以，|AB|?|AC|?2， ??????（1分）

??5 / 4

??

所以，△ABC的面积S?1122． ????（2分） ?|AB|?|AC|?sinA??2??2222

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C的焦点在x轴上且长轴为4， 故可设椭圆的方程为（）， ???????????（1分） 因为点在椭圆上，所以， ??????????（2分） 解得， ????（1分）

所以，椭圆的方程为． ?????????????（2分） （2）设（），由已知，直线的方程是， ??（1分） 由 （*） ?????????（2分） 设，，则、是方程（*）的两个根， 所以有，， ??????????????（1分） 所以，

（定值）． ????????????（3分）

所以，为定值． ????????????????????（1分） （写到倒数第2行，最后1分可不扣） 22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）设，则，

????????????????（1分） ， ??????????????（1分） 当时，解得；当时，解得． ????（1分）

所以，或． ????????????????（1分） （只得到一个解，本小题得3分） （2）由题意，任取、，且， 则，??（2分） 因为，，所以，即， ??????（2分） 由，得，所以．

所以，的取值范围是． ??????????????????（2分） （3）由，得，

因为，所以， ????????????????（2分） 令，则，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，当且仅当（）．??（1分） 因为，所以图像开口向下，对称轴为直线， 因为，故当，即时，；?（4分） 当，即时，． ????????（5分） 综上，当时，； 当时，． ?????????????（6分） 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为 ①

6 / 4

当时， ②， ①—②得，（）， ??????????????????（2分） 又由，得， ??????????????????（1分） 所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）．??（1分） （2）当时，，，， ???????????（1分） 由，得， （*） ????（1分） 当时，时，（*）不成立； 当时，（*）等价于 （**） 时，（**）成立．

时，有，即恒成立，所以． 时，有，．时，有，． ???（3分）

综上，的取值范围是． ??????????????????（1分） （3）当时，，， ???（1分） ， ???（2分）

所以，当时，数列是等比数列，所以 ???（2分） 又因为，，成等差数列，所以，即，

解得． ?????????????????????????（1分） 从而，，． ??????????????????（1分） 所以，当，，时，数列为等比数列．??（1分）

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