《1.1.2集合间的基本关系》导学案2

《1.1.2集合间的基本关系》导学案2

学习目标

了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．

学习过程

1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．

2．如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A＝B.

3．如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．

4．不含任何元素的集合叫做空集，记作?.

5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集． 对点讲练

知识点一：写出给定集合的子集

【例1】 (1)写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； (2)填写下表，并回答问题.

原集合 ? {a} {a，b} {a，b，c} 子集 子集的个数 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，?，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？

解 (1)不含任何元素的集合：?； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；

含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}； 含有三个元素的集合：{0，1，2}．

故集合{0，1，2}的所有子集为?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}．

其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集． (2)

原集合 ? {a} {a，b} {a，b，c} 子集 ? ?，{a} ?，{a}，{b}，{a，b} ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 子集的个数 1 2 4 8 nn这样，含n个元素的集合{a1，a2，?，an}的所有子集的个数是2，真子集的个数是2－1，非空真子集的个数是2n－2.

规律方法 (1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．

nnn

(2)集合A中有n个元素，则集合A有2个子集，有(2－1)个真子集，(2－1)个非空子集，

(2－2)个非空真子集．

变式迁移1 已知集合M满足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，写出集合M.

解 由已知条件知所求M为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．

知识点二：集合基本关系的应用

【例2】 (1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

(2)本例(1)中，若将“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？

解 (1)∵B?A，

①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.

n

??3?2m?1?②当B≠?时，有?m?1?4，

?2m?1?m?1?解得－1≤m<2， 综上得m≥－1.

(2)显然A≠?，又A?B，∴B≠?， 如图所示，

?2m?1?m?1?∴?m?1?4，解得m∈?. ?2m?1??3?规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．

(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．

(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．

变式迁移2 已知A＝{x|x－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若BA，求实数m所构成的集合M.

2

解 由x－5x＋6＝0得x＝2或x＝3.∴A＝{2，3}

2

由BA知B＝?或B＝{2}或B＝{3} 若B＝?，则m＝0； 若B＝{2}，则m＝

1； 21. 3若B＝{3}，则m＝

∴M＝?0,,?.

知识点三：集合相等关系的应用

2

【例3】 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，y}且A＝B，求x，y的值．

?11??23?解 方法一 ∵A＝B， ∴集合A与集合B中的元素相同，

?x?2x?x?y2∴?， 2或??y?y?y?2x1?x??x?0?x?0??4解得x，y的值为?或?或?

1?y?0?y?1?y???2验证得，当x＝0，y＝0时，

A＝{2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．

1?x??x?0??4∴x，y的取值为?或?

1y?1??y???2方法二 ∵A＝B，∴A、B中元素分别对应相同．

2??x?y?2x?y∴? 2??x?y?2x?y?x?yy?1?0(1)即? 2?xy2y?y?0(2)∵集合中元素互异，∴x、y不能同时为0. ∴y≠0.由（2）得x＝0或y＝

1. 2当x＝0时，由（1）知y＝1或y＝0(舍去)； 当y＝

11时，由（1）得x＝. 241?x??x?0??4∴?或?

1y?1??y???2规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解． 变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为?a,b.

解 由集合相等得：0∈?a,?b?,1?，也可表示为{a2，a＋b，0}，求a，?a??b?,1?，易知a≠0， a??∴

b22

＝0，即b＝0，∴a＝1且a≠a，∴a＝－1. a综上所述：a＝－1，b＝0. 课堂小结

1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“?”表示，集合、集合间的关系用“?”、“＝”或“”等表示．

2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，则此时{1}∈B，而不能是{1}B.

3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：

(1)当A?B时，A＝B或AB.

(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论． (3)解数集问题学会运用数轴表示集合． (4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示．

课时作业 一、选择题 1．下列命题

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A时，则A≠?.

其中正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B

2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3

A．{a|3

3．设B＝{1，2}，A＝{x|x?B}，则A与B的关系是( )

A．A?B B．B?A C．A∈B D．B∈A 答案 D

4．在以下六个写法中：①{0}∈{0，1}；②?{0}；③{0，－1，1}?{－1，0，1}；④0∈?；⑤Z＝{正整数}；⑥{(0，0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案 B 二、填空题

5．满足{0，1，2}A?{0，1，2，3，4，5}的集合A的个数是________． 答案 7

6．设M＝{x|x2－1＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，则a的值为________． 答案 ±1或0

7．若{x|2x－a＝0，a∈N}?{x|－1

答案 {0，1，2，3，4，5} 三、解答题

8．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a、b的值．

解 ∵A＝B且1∈A，∴1∈B.

若a＝1，则a＝1，这与元素互异性矛盾，∴a≠1. 若a＝1，则a＝－1或a＝1(舍)．

∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即b＝0.

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若ab＝1，则a＝b，得a＝1，即a＝1(舍去)． 2

2

故a＝－1，b＝0即为所求．

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