实验报告-卡尔曼滤波

数字信号处理实验报告

姓名： 专业: 通信与信息系统 学号: 日期：2015.11

实验内容

任务一：

一连续平稳的随机信号x?t?，自相关函数rx????e?t，信号x?t?为加性噪声所干扰，噪

声是白噪声，测量值的离散值z?k?为已知，Ts?0.02s，-3.2，-0.8，-14，-16，-17，-18，-3.3，-2.4，-18，-0.3，-0.4，-0.8，-19，-2.0，-1.2，-11，-14，-0.9，-0.8，10，0.2，0.5，-0.5，2.4，-0.5，0.5，-13，0.5，10，-12，0.5，-0.6，-15，-0.7，15，0.5，-0.7，-2.0，-19，-17，-11，-14，自编卡尔曼滤波递推程序，估计信号x?t?的波形。

任务二：

设计一维纳滤波器。

（1）产生三组观测数据：首先根据s?n??as?n?1??w?n?产生信号s?n?，将其加噪（信噪比分别为20dB，10dB，6dB），得到观测数据x1?n? ，x2?n? ，x3?n? 。

2，i?1 3的AR模型参数。（2）估计xi?n? ，，假设信号长度为L，AR模型阶数为N，

分析实验结果，并讨论改变L，N对实验结果的影响。

实验任务一 1. 卡尔曼滤波原理

1.1 卡尔曼滤波简介

早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。它用状态空间法描述系统，由状态方程和量测方程所组成，即知道前一个状态的估计值和最近一个观测数据，采用递推的算法估计当前的状态值。由于卡尔曼滤波采用

递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很多领域，并取得了很好的结果。卡尔曼滤波一经出现，就受到人们的很大重视，并 在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统。卡尔曼滤波具有以下的特点:

（1）算法是递推的，且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。

（2）用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的，即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。

（3）卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。

1.2 卡尔曼滤波的状态方程和测量方程

假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程和量测方程（输出方程）表示为

xk?Ak?1xk?1?wk?1yk?Ckxk?vk

其中，xk是状态变量；wk?1表示输入信号是白噪声；vk是观测噪声；yk是观测数据。

为了推导简单，假设状态变量的增益矩阵A不随时间发生变化，wk，vk都是均值为零的正态白噪声，方差分别是Qk和Rk，并且初始状态与wk，vk都不相关，?表示相关系数。即：

2wk:E?wk??0,?w?Qk,?wk,wj?Qk?kjvk:E?vk??0,??Rk,?vk,vj?Rk?kj2v

其中

? kj???1k?j

?0k?j1.3 卡尔曼滤波的递推算法

卡尔曼滤波采用递推算法来实现，其基本思想是先不考虑输入信号wk和观测噪声vk的影响，得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。因此，卡尔曼滤波器的关键是计算出加权矩阵的最佳值。

当不考虑观测噪声和输入信号时，状态方程和量测方程为

xk?Akxk?1yk?Ckxk?CkAkxk?1?'???'?

显然，由于不考虑观测噪声的影响，输出信号的估计值与实际值是有误差的，用yk表示

~yk?yk?yk

为了提高状态估计的质量，用输出信号的估计误差yk来校正状态变量

?'?????? ?xk?Akxk?1?Hk?y?y?Ax?Hy?CAxk?1k?1??kkkkkk??k??????~~?'其中，Hk为增益矩阵，即加权矩阵。经过校正后的状态变量的估计误差及其均方值分别用xk和Pk表示，把未经校正的状态变量的估计误差的均方值用Pk'表示

~xk?xk?xkT????????Pk?E??xk?xk??xk?xk??

????????T???'???'???xk?xk??Pk?E??xk?xk?????????????~?卡尔曼滤波要求状态变量的估计误差的均方值Pk为最小，因此卡尔曼滤波的关键即为通过选择合适的Hk，使得Pk取得最小值。首先推导状态变量的估计值xk和状态变量的的估计误差xk，然后计算x的均方值Pk，通过化简Pk，得到一组卡尔曼滤波的递推公式：

??????x?Ax?Hy?CAxkk?1k?1??kkkkk?????1?'T'TH?PCCPC?R ?kkkkkkk?P'?APAT?Qkk?1kk?1?k'??Pk??I?HkCk?Pk~~???假设初始条件Ak，其中x0?E?x0?，PCk，Qk，Rk，yk，xk-1，Pk-1已知，0?var?x0?，那么递推流程如下：

??

xk-1，Pk-1?P'kHkxk，Pk

?2. 卡尔曼滤波递推程序编程思想

题目分析

（1）由于信号x?t?为加性噪声所干扰，可知yk?xk?vk，所以Ck?1

2（2）又因为噪声为白噪声，所以Rk??v?Svv?0??1

（3）因为rx????e?t，所以

?mSxx?z???m??m????r?m?zxx??em????1m???mz?m??ezm????2m?0m?m??e?mz?mm?0m???ez??11?e?1?e?1z1?e?1z?11?e?1z1?e?1z?1

????z?1?1?1由此可知，Bz?，即，可得到：，因为抽样??????xn?exn?1?wn?1A?ek?1?11?ez间隔Ts?0.02s，所以：Ak?e?Ts?e?0.02。 x?n?，所以

（4）因此w?n??x?n?1??e?Ts2Qk??w?rww?0??E?w?n?w?n???1?e?2T

因此Qk?1?e?0.04

编程分析

由上面的分析可知初始条件Ak，在仿真中假设x0?0，则x0?0，Ck，Qk，Rk，yk已知，

?P0?1，由以上参数可得卡尔曼实际递推公式

???????0.02?0.02x?ex?Hy?exkk?1k?1??kk?????1?''H?PP?1?kkk?P'?e?0.04P?1?e?0.04k?1?k'??Pk??I?Hk?Pk??

将得到的公式代入前面分析的递推公式，即可进行迭代得到结果xk。

3. MATLAB源代码

根据以上分析，编写matlab程序如下：

%%

%---------------卡尔曼滤波----------------- %-----说明

%X(k+1)=Ak*X(k)+W(k); %Y(k)=Ck*X(k)+V(k) %% clear;clc; %基本参数值

Ak=exp(-0.02);Ck=1; Qk=1-exp(-0.04);Rk=1; %初始值设置 X0=0;P0=1; %观测值y(k)

Y=[-3.2 -0.8 -14 -16 -17 -18 -3.3 -2.4 -18 -0.3 -0.4 -0.8 -19 -2.0 -1.2 ...

-11 -14 -0.9 0.8 10 0.2 0.5 2.4 -0.5 0.5 -13 0.5 10 -12 0.5 -0.6 -15 -0.7 15 ...

0.5 -0.7 -2.0 -19 -17 -11 -14]; %数据长度 N=length(Y); for k=1:N

if k==1 %k=1时由初值开始计算 P_(k)=Ak*P0*Ak'+Qk;

H(k)=P_(k)*Ck'*inv(Ck*P_(k)*Ck'+Rk); X(k)=Ak*X0+H(k)*(Y(k)-Ck*Ak*X0); I=eye(size(H(k))); P(k)=(I-H(k)*Ck)*P_(k);

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nfht.html