四边形全章教案 - 图文

3.1.1 平行四边形的性质和中心对称图形

教学目标：

1 使学生了解四边形及与四边形有关的一些概念. 2 掌握平行四边形的概念和性质.

重点：平行四边形的性质的理解； 难点：平四边形性质的运用. 教学过程

一创设情景，导入新课 观察下面图形：思考：这些物体中都有什么形状？（四边形）

这节课我们学习-----第3章，四边形，在这一章中，将学习平行四边形和中心对称，以及特

殊四边形的性质和判定，最后还要学习多边形的内角和与外角和.这节课学习

3.1.1 平行四边形的性质和中心对称.

二 合作交流，探究新知

1 四边形的定义

（1）上面四边形有什么特点？（有四条边，四个顶点） （2）什么叫四边形？

在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形. 定义中为什么要强调：“同一平面内”？你知道原因吗？（交流）

花边图案窗户的花边

电梯图标 如图（最好是用四只笔代替四条线段做成这个图形）中的四条线段是首尾相接的，但他们没有组成四边形.

（3）什么叫四边形的边、顶点、对角线、内角、对角、对边？

组成四边形的各条线段叫四边形的边.每相邻两边的公共端点叫四边形的顶点.连接不相邻两顶点的线段叫四边形的对角线.四边形相邻两边组成的角叫四边形的内角，简称角.相对的两个角叫对角.相对的边叫对边.

（概念不板书，只在图上标注出来，减少记忆负担.）

A（4）怎样表示四边形？

D角用各个顶点的字母按顺序来表示，上图中的四边形可以表示为：四A边形ABCD.

对角线考考你：上面图形中，哪些角是对角？哪些边是对边？ 2平行四边形的概念和性质 B（1） 平行四边形的概念 边做一做

请你把纸对折，在上面画一个三角形，并剪下来，这时你就有两个三角形了.你用这两个三角形拼四边形，看看能拼出多少种形状？ 如图：

C顶点

这些图形只有两种类型;一种是对边不平行的，另一种是两组对边分别平行的.（你知道平行的原因吗？）

我们把两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. AD如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作： ABCD.读作：平行四边形ABCD. 考考你：如果四边形ABCD是平行四边形，则AB与CD，AD

BC与BC的位置有怎样的关系？如果要判断四边形ABCD是平

行四边形，需要判断四边形ABCD的对边具有什么特点呢？ (2)平行四边的性质

思考：①.平行四边形的对边除了相等之外，还有怎样

AD的关系?说说你的理由

1∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC 2∴∠1=∠3, ∠2=∠4, 43又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA BC∴AB=CD,AD=BC

② 平行四边形的对角有什么关系？ ∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,

∵∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD 由此，我们可以得到平行四边形有什么性质？ 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等. 用式子表达为：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC,AD=BC, ∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD

三应用迁移，巩固提高

平行四边形性质的运用 （1）动脑筋：

如图，直线l1与l2平行，AB、CD是l1与l2之间的任意两 条平行线，试问：AB与CD是否相等？为什么？ ∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD

你能用一句话来表达这个结论吗？ 夹在两条平行线间的平行线段相等.

考考你：上图中，若AB∥CD,AD∥BC,那么你能得到什么结论？

估计学生会想到：AB=CD,极有可能忽视，AD=BC.

(2)讲解例1 ，一块平行四边形的草地，其中草地的一条边为5m，相邻的另一边为7m，求这块平行四边形草地的周长.

例2 如图，在 ABCD中，E,F是对角线AC上的 两点，且AE=CF， 求证：（1）△ABE≌△CDF, (2) AF=CE

ADl1l2BCD5A7BCAEFDCB四 课堂练习，巩固提高 P 72 1,2

五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？

这节课的重点是平行四边形的概念和性质.利用平行四 边形的概念可以判定一个四边形是平行四边形.

作业：P 84 A 1,2 ,3

3.1.1平行四边形的性质和中心对称图形（2）

教学目标

1 使学生进一步掌握平行四边形的性质-----平行四边形的对角线相等. 2 了解中线对称图形的概念，知道平行四边形是中心对称图形.

教学重点、难点：

重点：平行四边形与对角线有关的性质以及理解中心对称图形的概念. 难点：平行四边形性的运用以及中心对称图形的概念的理解

教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：

（1）什么叫平行四边形？

有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. （2）怎样理解这个概念呢？

从概念知道：一方面，如果一个四边形是平行四边形那么这个四边形的对边一定平行.另一方面，要判断一个四边形是平行四边形，只要判定这个四边形的两组对边分别平行就可以了. （3） 平行四边形有什么性质？ 平行四边形的对边相等， 对角相等. （4）这个性质是利用什么道理得到的？

利用全等三角形的性质得到的

A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC AD1∴∠1=∠3, ∠2=∠4, 24O又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA 3BC∴AB=CD,AD=BC

B ∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,

∵∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD

平行四边形还有什么性质呢?这节课我们继续学习-----3.1.1平行四边形的性质和中心对称(2)

二合作交流,探究新知

1 平行四边形对角线具有的性质 探究活动:

（1）量一量P 72 图3-10中的线段OA、OC、OB、OD的长，并比较OA、OC、OB、OD的大小,由此你能得到什么结论？ 估计学生会想到：（1）平行四边形的对角线互相平分,（3）平行四边形的对角线的交点是每条对角线的中点.(3)平行四边的对角线不一定相等. （2）你知道平行四边形的对角线为什么互相平分吗？ ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC

∴∠1=∠3, ∠2=∠4, 又∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA ∴OA=OC,OB=OD (3)请你用语言把平行四边形的这条性质叙说出来.

平行四边形的对角线互相平分.

即：如果四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD. 2 中心对称图形的概念

做一做：用硬纸板作一个平行四边形ABCD，画出它的两条对角线，交点记作O，用图钉把点O固定，并且描下平行四边形ABCD的轮廓，表上相同的字母，把平行四边形绕点O旋转180o

思考点A会旋转到什么位置（点C的位置），点B、C、D会转到什么位置呢？

请你做一做就知道了. 想一想：

平行四边形还具有什么性质？（平行四边形绕着对角线的交点旋转180o能和原来的位置重合.）

在平面内如果一个图形G绕一个点O旋转180o，能和原来的图形重合,那么图形G叫做中心对称图形.点O叫对称中心.此时也称图形G关于点O对称.原来的图形叫原像，新图形交在这个旋转下的像. 考考你： AD（1）在刚才的旋转过程中， ABCD的四个顶点A、B、C、D的像分别是___、_____、____、_______

边AB、BC、CD、AD的像分别是_____、_____、_____、_____ 对角线AC、BD的像分别是___、_____、_____、_____ （2）平行四边形是中心对称对称图形吗？

OBC三 应用迁移，巩固提高

例1如图：已知 ABCD的对角线AC和BC相交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC与F，求证：OE=OF.

先让学生独立做，做完后交流

DAF估计学生会有下面做法：

2BO431EC（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, OD=OB

∴∠1=∠2, ∵OF⊥AD,OE⊥BC, ∴∠OFD=∠OEB ∴△OFD≌△OEB, ∴OE=OF

(2) ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, OD=OB

∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4

∴△OFD≌△OEB, ∴OE=OF

请学生交流这两种做法是否正确？（找出第2种做法的错误：在没有证明点O,E,F在一条直线上时，是不能利用∠3=∠4的，因为还不知道这两个角是不是对顶角） 变式训练：

如图，一条直线经过 ABCD的对角线的交点O，与AD交于DAF点F，与BC交于点E，（1）求证：OE=OF

（2）当这条直线绕点O旋转时，OE=OF吗？为什么？ O例2 在 ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，△AOB的

C周长为15，AB=6,求AC=BD的值 EB解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2OA,AC=2OB,

∵OA+OC=15-6=9, DA∴AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=2 ?9=18 三 课堂练习，巩固提高 P 74 1,2,3, O四反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获/

C(1)平行四边形的性质，（2）中心对称图形的概念. B五、作业：P85A组： 4，5 P 87 B组：2

3.1.2 中心对称图形（续）

教学目标 1 进一步了解中心对称图形的概念，会识别一个图形是不是中心对称图形；

2 了解中心对称图形的性质.

3 通过生活中的中心对称图形，让学生感受几何美，激发学习数学的热情.

重点、难点：重点：中心对称图形的识别和性质 难点：中心对称图形的识别。 教学过程

AD一创设情景，导入新课

1 复习：平行四边形有什么性质？

（1）平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。

（2）平行四边形是中心对称图形。对角线的交点是它的对称中心。

2 什么叫中心对称图形？ 把一个图形G绕着某一点旋转1800，如果它得到的像与原来的图形G重合，那么图形G叫做中心对称图形,点O叫对称中心。

3 欣赏下面中心对称图形：

BOC杠铃

剪纸

这些

图标商标花边图案美吗？（美极了） 商标中心对称图形能给人以美的享受，那么中心对称图形有什么性质呢？怎样识别一个图形是不是中心对称对称图形？这节课我们继续学习---3.1.2 中心对称图形（续）（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 中心对称图形的识别 观察P75图形：

（1）下图中的三个“风车”，哪个是中心对称图形？哪个不是中心对称图形？

（2） 下图中的（1）、（2）、（3）分别是三块桌布的中间图案，哪个是中心对称图形？哪个不是中心对称图形？

你根据什么来判定一个图形是不是中心对称图形？

根据定义，把一个图形绕某点旋转180 o，如果能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。

2 中心对称图形的性质

A（1）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，现在擦掉大部分，只留下点D和点O,你能

O找到点B吗？ BC连结DO，并延长DO到B使OB=OD,则B就是要求的

点。

DDO你怎么想到这样作呢？

ABCD绕点O旋转180 o后，点B的像是点D，点D的像是点B，线段OB的像

是OD，线段OD的像是OB。∠BOD=180 o 因此B、O、D三点在一条直线上。 （2）在平面内把点D绕点O旋转180 o后得到点B,此时称点D和点B关于点O对称。也称点D和点B在这个对称下的一对对

O应点。 B（3）如果点D和点B关于点O称中心对称，你能得到什么？ 估计学生知道：点B、D、O在一直线上。点O是BD的中点。

（4）如图，已知圆上有两个个点A、C、点A和点C关于圆心对称，你能用找到圆心吗？

估计学生会想到：连结AB，取AB的中的O，则点O就是圆心。 你怎么想到这样作呢？

因为圆是中心对称图形，圆心是对称中心，而点A、C是对应点，它的中

C点是对称中心即圆心。

（5）通过上面问题，你能说说中心对称图形有什么性质吗？

DA中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。

三 应用迁移，巩固提高 1 中心对称图形的识别 P 76 说一说 1 ，2，3

1题 字母Z,X,N是中心对称图形。 2题 图（1）图（2）是中心对称图形。 3 题学生自由发挥。

补充：1等边三角形是中心对称图形吗？如果是请指出对称中心。

估计有些学生会认为等边三角形是中心对称图形，两条角平分线的交点是对称中心。教师可以作一个模型演示给学生看。

2在一次游戏当中，小明将下面上图的四张扑克牌中的一张旋转180 o后，得到下图图，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？ 2 中心对称图形在证明问题中的应用

已知:如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线ADEEF，分别交AB，CD于点E，F。 求证：OE=OF

O解： ∵平行四边形是中心对称图形，O是对称中心，EF经过点O，分别交AB、CD于E、F。

FB∴点E、F是关于点O的对称点。∴OE=OF

C

四 课堂练习，巩固提高 P 76 1， 3

1题，认识线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点。

3 让学生知道正多边形中变数为偶数的是中心对称图形，对称中心由两条对角线的交点确定。

五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？

中心对称图形的性质：中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。

六、作业P 85 6 ,7 ,8

3.1.3 平行四边形的判定

教学目标：

1 通过画图探索平行四边形的判别方法，通过对平行四边形判定方法的说理过程，培养学生的分析能力以及逻辑推理能力.

2 会利用对角线的关系和一组对边的关系判定一个四边形是不是平行四边形.

重点、难点

重点：利用对角线的关系和一组对边的关系判定平行四边形. 难点：平行四边形判定方法的应用.

教学过程

一 创设情景，导入新课

1 复习：平行四边形有哪些性质？ 板书：

?边：对边平行且相等? 平行四边形?角：对角相等?对角线：互相平分?2 小明同学想用两根竹片做一个凉衣架，为了平行他需要做成平行四边形，如图所示，钉子

应钉在哪里呢？（应钉在两根竹板的中点处）

钉在两根竹板的中点处就能得到平行四边形吗？这节课我们来学习 -----3.3.1 平行四边形的判定.（板书课题）

二 合作交流，探究新知

1 利用对角线的关系判定平行四边形. 讨论上面问题：

上面问题其实是一个这样的数学问题：如图，已知：OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？ 解：∵OA=OC,OB=OD,（已知） ∠AOD=∠BOC（对顶角相等） ,DA∴△AOD≌△BOC（边角边）

O∴∠OAD=∠OCB,（全等三角形对应角相等）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.同理：AB∥DC

B∴四边形ABCD是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平

行四边形）.

你能把上面的结论用语言表示吗？

平行四边形的判定方法1 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 即：如果OA=OC,OB=OD，那么四边形ABCD是平行四边形.

A考考你：给你一块刻度尺，能画一个平行四边形吗？

画法：（1）画线段AB,取线段AB的中点O.

(2) 过O画直线MN，在直线MN上取线段OB=OD. （3）连结：AB,BC，CD，AD.

则四边形ABCD就是要画的四边形. 2 利用一组对边的关系判定平行四边形 CB（1）提出问题：只给你一块刻度尺，你能在算式格子上画出平行四边形吗？试试看. （2）请学生介绍方法：

画法：①在两条平行的格子上分别取线段AD=BC， DA②连结AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD就是平行四边形.

1（3）这样画出的的四边形是一定是平行四边形吗？ 342这个问题就是：已知四边形ABCD中，AD=BC,AD∥BC,

B那么四边形ABCD为什么是平行四边形？（交流讨论） C∵AD∥BC（已知）

∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AC=CA(公共边)

∴△ADC≌△CBA(边角边)

∴∠3=∠4（全等三角形对应角相等） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 你能用一句话把上面的结论描述出来吗？

平行四边形的判定方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 即：若AD=BC,AD∥BC，则 四边形ABCD是平行四边形.

CD三 应用迁移，巩固提高

1 平行四边形判定方法1的应用

例1 已知：如图，在 ABCD的对角线AC上取两点

DEAOFBCE,F，使得点E和点F关于对角线是交点O对称，连结EB，FB，FD，求证：四边形EBFD是平行四边形. (1)读题，

（2）发散思维:问：①从点E和点F关于对角线是交点O对称，你可以得到什么结论？（OE=OF）依据是什么？②由四边形ABCD是平行四边形你会得到什么结论？（对边相等,对角相等,对角线互相平分）

③利用什么方法来判定四边形DEBF是平行四边形最简单呢？（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

D（3）学生完成解题过程. B2 利用一组对边的关系判定四边形是平行四边形

例2 已知：如图，在 ABCD的边AB，DC上分别取一个点E,F，使得AE=

AC11AB，CF=CD，连结AF,CE.求证：（1）四边形AECF33EDFC是平行四边形,（2）AF=CD

（1） 读题

（2） 发散思维：思考①由四边形ABCD是平行四边形你能得到

什么结论？（对角线互相平分的四边形是平行四边形）②

从AE=

AEB11AB，CF=CD，你会得到什么结论？（AE=CF）33③你认为用平行四边形那条判定方法判定四边形AECF是平行四边形最好呢？（用

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

（3） 学生独立完成解题过程

（4）变式练习：如果连结BF，DE，四边形DEBF还是平行四边形吗？为什么？

四课堂练习，巩固提高

1 已知：如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连结EB，EC，求证：四边形ABEC是平行四边形. A2 如图，AD∥BC,ED∥BF，且AF=CE,

EF求证：四边形ABCD是平行四边形.

D五 反思小结，拓展提高 这几课你由什么收获？

平行四边形三个判定方法：（1）利用两边关系：两组对边分别平行

的四边形是平行四边形.（2）利用对角线的关系：对角线互相平分的四

边形是平行四边形,(3)利用一组对边的关系：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

BC六作业：P 85 9, 10

3.1.3 平行四边形的判定（2）

教学目标

1 使学生感受平行四边形的判定方法“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的形成过程；

2 能综合运用平行四边形的判定方法和性质解决简单的推理问题，提高分析问题和解决问题的能力

重点、难点：

重点：“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的形成过程和运用

难点：平行四边形的判定和性质的综合运用. 教学过程

一创设情景，导入新课

1 复习：

（1）平行四边形有什么性质？ 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. （2）你学了哪些判定四边形是平行四边形的方法？ ①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形；

③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2 做一做

同桌的两位同学合作，将四只笔首尾相接，组成一个四边形.你能否拼成一个平行四边形？试试看.(有的同学能拼成平行四边形，有的同学不能)

为什么有的同学能拼成平行四边形，有的同学不能拼成平行四边形呢？ 这节课我们继续学习----3.1.3 平行四边形判定（2）（板书课题） 二合作交流，探究新知

1 平行四边形的一个判定方法的形成过程

（1）交流结果：刚出有的同学能拼成的四边形是平行四边形，有的同学拼成的四边形不是平行四边形.这是为什么呢？请你们比较一下你拼成的四边形相对的两只笔的长度有什么关系？（有的同学四只笔是相等的，有的不是.） （2）教师演示和分析：

四条边都不相等只有一组对边相等两组对边分别相等有三条边相等

我们发现有两只笔一样长的做对边，另两只笔也一样长做另一组对边拼成的四边形是平行四边形.

A（3）大胆猜想：

1从上面拼图和分析你发现了什么结论？

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2即：已知：如图AD=BC,AB=DC那么四边形ABCD为什么是平行

CB四边形？

（4）证明结论

两组对边分别相等的四边形为什么是平行四边形呢？你能说明理由吗？ 解：∵AD=BC,AB=DC(已知)，AC=CA(公共边)

∴△ABC≌△CDA(边边边)

∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形） （5）得出结论

有两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D即：∵ AD=BC,AB=DC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2 平行四边形的判定方法归纳： （1）思考：

①两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，说明理由，如果不是，画出图形. ②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，说明理由，如果不是，画出图形

（2）现在你学会了几种平行四边形的判定方法？ 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

有两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

FACE三 应用迁移，巩固提高

DB1 做一做

（1）把一张纸片连续对折四次，再画

一个三角形，剪下来，这时你有四个全等的三角形了.你能有这四个全等三角形拼成一个大三角形吗？

方法：把四个三角形重合，先把一个三角形以AC为轴翻折再以AC的中垂线为对称轴作轴反射，得到△FAC，同样的方法得到△DAB, △EBC,这样的四个三角形就拼成了一个大三角形.

（2）图中有几个平行四边形？说明理由. 图中有三个平行四边形， FABC, ? ADBC, ABEC

理由：从拼图情况可以知道:

∵AB=CF,AF=BC, ∴四边形FABC是平行四边形. 同样的道理四边形ADBC, ABEC都是平行四边形. 2 正确选择平行四边形的判定方法解题. D例 如图，已知E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,

E且AF=CE，DF=BE，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平F行四边形.

BA（1）独立思考

（2）交流解法

估计学生会想到下面方法：方法1 证明△ADF≌△CBE,从而得出AD∥BC，AD=BC 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.

方法2 证明△DFC≌△AEB,从而得出DC∥AB,DC=AB. 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.

C四 课堂练习，巩固提高

P 82 练习 1，2

五 反思小结，拓展提高

这节课你有何收获？ A 、平行四边形的判定方法：

①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边

形；

③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B、平行四边形判定方法与性质有什么区别？

六、作业：P 87 A 组：11,12 B组： 1,2

3.1.4三角形的中位线

教学目标

1了解三角形的中位线的概念.

2探索三角形的中位线的性质，通过探索活动培养学生细心操作、大胆猜想、严格推理的好习惯.

3 会利用三角形中位线性质解决实际问题.并由此让学生感受数学的应用价值，从而提高学习数学的热情.

DEBAFC教学重点、难点：

重点：三角形中位线的性质及运用. 难点：三角形中位线性质的运用.

一 创设情景，导入新课

1 （1）什么叫中心对称图形？中心对称图形有什么性质？

把一个图形G绕点O旋转180 o能和原来的图形重合，这个图形叫中心对称图形. 中心对称图形上一对对应点的连线段必过中心，且被中心平分.

（2）如图，平行四边形ADBC是中心对称图形吗？如果是，对称中心在哪里？ （3）如果AC的中点为F，则F的像在哪里呢？F、F的像以及点E是否在一条直线上.为什么？

2 五一放假的时候，小明和小亮去乡下老家玩，发现村头有一水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘两端点A、B之间的距离．可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出AB间的距离？小明和小亮商量了一会，他们不愧是数学高手，有办法了？你知道是什么办法吗？

我们先来学习------3.1.4三角形的中位线（板书课题）

二 合作交流，探究新知

1 三角形中位线概念

（1）如上图，连结△ABC的两条边AB、AC的中点的连

线段EF叫三角形的中位线.你能说说什么叫三角形的中位线吗？ 连结三角形两条边中点的线段叫三角形的中位线. （2）一个三角形有几条中位线？

（3）三角形的中位线与三角形的中线相同吗？ 2 三角形中位线的性质 探究：

（1） 量一量，上图中中位线EF和边BC的长.它们有什么关系？ （2） 用三角板和直尺把边直线BC平移，看看能否和直线EF

重合？ D（3） 你发现了什么？

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

AEBFDCAEHBFC推理：

已知：如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点. 求证：EF∥BC，EF=

1BC. 2AEBCFD交流讨论：

估计学生会想到下面方法：

方法1 把△ABC绕点E旋转180o.则点A的像是点B，点B的像是点A，点C的像是点D，设点F的像是点H,H、F必经过点E,连结,AD、BD、EF、

1CD，则EF=EH=HF

2∵CE=DE, AE=EB, ∴四边形ADBC是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

A∴AC∥DB, AC=DB (平行四边形的对边分别平行且相等) ∵HB=

11DB,FC=AC 22EBFD∴HB=FC ∴四边形HBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是

1平行四边形）.∴HF=BC，（平行四边形的对边相等）∴EF=BC

2C方法2

过点C作AB的平行线交EF的延长线于D ∵CD∥AB，(所作)

∴∠A=∠ACD（两线平行，内错角相等） 又AF=FC，∠AFE=∠CFD ∴△AFE≌△CFD (ASA)

∴ AE=CD(全等三角形的对应边相等) 又AE=EB(已知)， ∴BE=CD(等量代换)

∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 方法3 ：

如图，延长EF到D使FD=EF,连接AD、EC、CD. ∵AF=FC ,EF=FD,

∴四边形AECD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) ∴AE=CD=BE，AB∥CD

∴四边形EBCD是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴ED=BC(平行四边形的对边相等) ∴EF=

11ED=BC. 22(4) 形成结论：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 即：∵EF是△ABC的中位线，∴EF=

1BC. 2三应用迁移，巩固提高

1 实际运用

导入新课问题2

解：如图，小明和小亮取点C连结CB，CA，找到CA，CB的中点D，E，量出DE的长，就知道了AB的长.

这是因为DE是△ABC的中位线，所以 AB=2DE

2几何中的运用

例 顺次连结四边形ABCD各边中点E，F,H,M，得到四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？

解：连结AC，∵MH是△DAC的中位线， ∴MH∥AC，MH=AC（三角形的中位线性质）

DH同理：EF∥AC，EF=AC

∴四边形EFHM是平行四边形(有一组对边平行是四边形是平行四边形) 四课堂练习，巩固提高 P 83 1,2,3, MCFB五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？

（1） 三角形中位线和三角形中线的概念别弄错了. AE（2） 三角形中位线的性质.

六、作业：P 87 A组：13,14 B组 ：3,4,5,6

3.2.1 菱形的性质

目标：

1、 知识与技能：了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；掌握菱形的性质，并能运用菱

形的性质进行简单的计算；了解菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。

2、 过程与方法：经历探索菱形的性质的过程，在操作活动和观察与分析过程中发展学生的

主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会推理论证的基本方法。

3、 情感、态度与价值观：通过对菱形与平行四边形关系的探讨，体会集合的思想，培养学

生的观察能力和学习兴趣，并从中认识菱形的图形美。 重点：菱形的概念及性质。 难点：菱形的性质及应用。 教学过程： 一、 创设问题情景，导入新课

1、 课件展示两幅图片（中国结、建筑物），引导学生欣赏、观察、研究、发现，引入课

题——菱形。

2、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 3、菱形与平行四边形的关系比较。（学生发言分析） 4、你还能举出有关菱形的生活实例吗？ 二、观察分析，合作探究

1、 你能说出平行四边形具有哪些性质吗？你认为菱形具有这些性质吗？（学生交流讨

论回答）

师生共同整理：①、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;

②、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.

2、 菱形是有一组邻边相等的特殊的平行四边形，它有没有不同于平行四边形的特殊性

质呢？ （1）、学生动手操作：画出并裁剪一个菱形，然后折叠，感受菱形的轴对称性。 （2）、学生合作讨论：菱形的四边之间有何关系？菱形的两条对角线还有什么特点？你

能说出理由吗？ （3）、老师折纸，师生共同分析。 （4）、展示推理过程和结论。

③、菱形的四边都相等；

④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴； ⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 3、 菱形的面积的求法：（课件展示）如图，菱形ABCD被它的两条对角线分成四个直

角三角形，它们全等吗？为什么？如果知道了菱形ABCD的两条对角线的长度，你能算出菱形ABCD的面积吗？（让学生思考交流）然后师生共同分析并展示推演过程。并一起总结结论：菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。

三、实际应用，巩固新知

1、 展示书中例1：学生思考回答，然后展示解答过程。 2、 学生独立完成书91页练习，师生一起订正。 四、归纳小结，教学反思：

1、你对菱形知多少？请你谈一谈。

★ 从概念上来谈——

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

● 从性质上来谈——

①、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心; ②、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分. ③、菱形的四边都相等；

④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴； ⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

※ 从计算上来谈——

菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。即：设菱形的两对角线长分别

为a，b，则它的面积S=

1ab. 2D 五、强化训练，综合拓展：

1、书93页 习题3.2 A 1、2

2、操作题：你能把有一个内角为72°的菱 形ABCD分成4个等腰三角形。

A ）72° C

3.2.2菱形判定（1）

教学目的：

1、理解并掌握菱形的定义及性质；会判定一个四边形或平行四边形是菱形； B

2、会用这些定理进行有关的论证和计算；

3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。 教学重点：菱形的判定方法。 教学难点：定理的证明方法及运用。 教学程序

一、复习提问：

1．什么样的平行四边形是菱形？ 2．菱形有什么性质？

3．有哪几个方法来判定一个四边形是矩形？ 二．新课讲解

设问：（1）菱形的定义能否作为菱形的判定？有哪两个条件？

B（2）有什么方法来判定一个四边形是菱形？

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

AOCD提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？ 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD， 求证：平行四边形ABCD是菱形。

分析：我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD，得平行四边形ABCD是菱形。（I板书证明过程。）

方法二：四边相等的四边形的菱形。

设问：如何证明这个命题呢？（让学生思考并证明） 几何证言表达：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形。

小结：（1）菱形判定方法，填写下表。

菱形的定义 菱形判定方法一（定义） 判定方法1 判定方法2 应具备两个条件 练习：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ） （2）对角线互相平分的四边形是菱形。（ ）

（3）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形。

（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ） 综合应用练习

(1)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

四．作业布置

3.2．3菱形的判定（2）

教学目的：

1、理解并掌握菱形的定义及性质；会用这些定理进行有关的论证和计算； 2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。 教学重点：菱形定义及其性质。 教学难点：性质的证明方法及运用。 教学程序： 一．引入新课

1．提问：我们已经学习了矩形的性质，矩形有哪些性质呢？ 2．矩形有哪些判定方法？ 二．新课讲解

设问：菱形的定义是什么？它能否作为菱形的判定？有哪些条件？ （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）性质1：（几何语言表达）已知：在菱形ABCD，求证：AB=BC=CD=DA。 （3）性质2：（让学生思考，然后板书证明过程。）

设问：菱形除了用平行四边形的方法求面积外，还有没有其它办法呢？（简间写出推理

的过程。）

（4）菱形的面积公式：

S菱形?1?对角线?对角线2

例题讲解：（补充例题）分析解题过程并板书。

（1）跟踪练习1，矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表。 矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表、填图：

性 质 判 定 矩 形 菱 形 三．本课小结：

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件） 性质1：菱形的四条边都相等；

性质2：菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 四．作业布置 P94 A 3\\4 B1\\2

3.3矩形（1）第一课时

教学目标：

知识与技能目标：

1．掌握矩形的概念、性质和判别条件.

2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力. 过程与方法目标：

1．经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.

2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想. 情感与态度目标：

1．在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.2．通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美.

教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握. 教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用. 教学方法： 分析启发法

教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件. 教学过程设计：

一. 情境导入： 演示平行四边形活动框架，引入课题. 二．讲授新课：

1. 归纳矩形的定义： 问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？（学生思考、回答.）

结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 2．探究矩形的性质：

（1）. 问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？（学生思考、回答.） 结论：矩形的四个角都是直角.

（2）. 探索矩形对角线的性质：

让学生进行如下操作后，思考以下问题：（幻灯片展示） 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

①. 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

②.当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？

③.当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？ （学生操作，思考、交流、归纳.） 结论：矩形的两条对角线相等. （3）. 议一议：（展示问题，引导学生讨论 解决.）

①. 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.

②. 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？

（4）. 归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）

矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形是轴对称图形. 例解：（性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能.） A D 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=OA=4 厘米.求BD与AD的长. O （引导学生分析、解答.） B C 探索矩形的判别条件：（由修理桌子引出） （1）. 想一想：（学生讨论、交流、共同学习）

对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？ 结论：对角线相等的平行四边形是矩形.

（理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程.） （2）. 归纳矩形的判别方法：（引导学生归纳） 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 三．课堂练习：（出示P98随堂练习题，学生思考、解答.） 四．新课小结：

通过本节课的学习，你有什么收获？

（师生共同从知识与思想方法两方面小结.） 五．作业设计：P99习题3.3第1、2、3题. 板书设计: 4. 矩 形 三.矩形的判别条件： 例1 矩形的定义： 前面知识的小系统图示： 矩形的性质： 课后反思：在平行四边形及菱形的教学后。学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证一些矩形的特殊性质。一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决。总的看来这节课学生掌握的还不错。当然合情推理的能力要慢慢的熟练。不可能一下就掌握熟练。

3.3 矩形（2）

教学目标

1 使学生掌握矩形的对称性，并会利用矩形的对称性解简单的几何问题。 2 感受矩形的对称美，

3 通过折纸发现矩形的轴对称性，培养学生动手操作的能力，感受知识的产生过称。

重点、难点：

重点：矩形的对称性的产生过程及应用 难点：矩形的轴对称性的证明和应用。

教学过程

一 创设情景，导入新课

1 复习：

（1）什么叫轴对称图形？怎样判断两点A,B关于直线l对称。

如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形.

连结A、B，如果直线l垂直AB且平分AB，那么点A、B关于直线l对称。

（2）什么叫矩形？矩形和平行四边形对比，共同的性质是什么？矩形独特的性质是什么？

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形和平行四边形共同的性质是：对边平行、对角相等，对角D线互相平分。

M矩形独特的性质是：矩形的对角线相等，矩形是四个角是直角。

（3）怎样判断一个四边形是矩形？

A 如果一个四边形是平行四边形，可以判断其中有一个角是直A 角或对角线相等。

B 如果一个四边形有一个角是直角，或对角线相等，可以判断它是平行四边形

2 矩形具有哪些对称性呢？这节课我们来学习这个问题。

A lB DMFCNOAEBFCNoEB二 合作交流，探究新知

1 矩形的轴对称性

（1）做一做：在纸上画一个矩形ABCD，把它剪下来。 ①先沿着矩形的对角线所在直线折叠，观察对角线两旁的部分能否重合？由此你发现什么？（矩形的对角线所在直线不是矩形的对称轴）

②怎样折叠才能使折痕两旁的部分互相重合呢？试试看，你有几种方法？由此你发现了什么？

矩形是轴对称图形，过每一组对边的中点的直线都是矩形的对称轴。

（2）想一想：矩形为什么是轴对称图形，过每一组对边中点的直线为什么都是矩形的对称轴？你能说出理由吗？（交流讨论）

分析：设E、F、M、N分别是AB,CD，AD,BC的中点。要判断矩形关于直线EF对称，只需要判断点A、点B关于直线EF对称就可以了，怎样判断点A、点B关于直线EF对称呢？（交流讨论）（只需要判断直线EF垂直平分线段AB，）怎样判断直线EF垂直平分线段AB呢？（

（∵四边形ABCD是矩形，∴OA=

11AC=OB=BD, 2211AC=OB=BD,（矩形的对角线相等且互相平分） 22又∵E是AB的中点 ∴EF垂直平分AB），你能写出证明过程吗？ 解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=

∵E是AB的中点 ∴EF垂直平分AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）

∴ 点A、B关于直线EF对称，同理：点C、D关于直线EF对称， ∴矩形关于直线EF对称，同理：矩形关于直线MN对称。

（3）得出结论：矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。

（4）矩形是中心对称图形吗？为什么？(因为矩形是平行四边形，所以矩形也是中心对称图形) 。

结论： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 2 矩形的两条对称轴把矩形分成的四个小矩形的关系.

观察：矩形的对称轴把矩形分成了四个小矩形，这四个小矩形全等吗？为什么？

∵矩形关于直线EF、MN对称，所以四边形AEOM，EBNO,NOFC,FOMD能够完全重合。因此这四个矩形全等。

三 应用迁移，巩固提高

例 如图，矩形ABCD被它的两条对称轴EF、MN，其中E、F、M、N分别在边AB、DC、AD、BC上，连结ME，EN，NF，FM.,试问：四边形MENF是什么样的四边形？（交流讨论）

估计学生不难发现四边形MENF是菱形但要讲出道理会有一定的困难，教师引导学生分析： 要判断四边形MENF是菱形，思路1可以先判断四边形ABCD是平行四边形，再判断MN⊥EF,或者判断一组邻边相等。思路2 判断四条边相等。

解：方法1 ∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，

∴OF=OE,OM=ON ∴ 四边形MENF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

∵MN⊥AD,AB⊥AD, ∴MN∥AB,

∵EF⊥AB, ∴EF⊥MN, ∴四边形MENF是菱形。（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）

方法2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，

∴ MF=ME=NE=NF, ∴四边形MENF是菱形(四条边相等的四边形是菱形) 方法3 连结AC,BD，∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD关于EF,MN对称， ∴E,N,F,M分别是边AB,BC，CD，DA的中点。MF=ME

A∴FN∥DB, FN＝DB,ME∥DB,ME=DB ∴四边形MENF是平行四边形

E∴四边形MENF是菱形 ODFC四 课堂练习，巩固提高

1 如图，EF是四边形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ） A

B1113 B C D 543106cm,BC=

3cm,则四边形ENFM的

DMAFCN2 矩形ABCD的两条对称轴为EF，MN，其中E、F、M、N分别在AB、DC、AD、BC上，连结ME,EN,NF,FM,AB=

EB周长和面积各是多少？

五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？

矩形的性质：（1）与平行四边形相同的性质有哪些？独特的有哪些？ （2）矩形具有哪些对称性？

矩形的判定：如果一个四边形是平行四边形，怎样判定它是矩形？

如果一个四边形的对角线互相垂直，或者邻边相等。怎样判定它是矩形，

六 作业：P 102 2,3

3.4 正方形(一)

教学目标:：

1、 能说出正方形的定义和性质。会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。 2、 通过一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间

的区别与联系。

3、 在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情。 教学重点：正方形的定义和性质。 教学难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题。 教学过程：

一、 创设问题情境，搭建研究平台

在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？

正方形四条边相等；正方形四个角是直角；正方形的面积等于边长的平方；正方形是轴对称图形，也是中心称图形。

生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但对已学过的平行四边形，矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥妙吗？

二、 讲授新课

把平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，让一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形。

请同学们给出正方形的定义： 一组邻边相等的矩形叫做正方形；一个角为直角的菱形叫做正方形；一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形叫正方形。

我们从它的定义可以发现，正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形；也是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的平行四边形，所以正方形也是特殊的平行四边形，即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。

做一做：把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片。请你说明其中的道理。

学生活动：通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形。

类比平行四边形、矩形、菱形、的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结。

学生活动：（讨论后发现）

边：正方形四条边都相等；对边平行； 角：正方形四个角都是直角；

对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质。在利用这些性质解决问题时，要根据需要选择相应的结论，做到“对症下药”。

应用举例：

【例4】求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 师生共析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形。

已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O。 求证：△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC﹦BD,AC⊥BD ∴AO＝BO＝CO＝DO.

∴△ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形. 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 。 拓展讨论：

1、 图中有多少个等腰直角三角形。

2、 正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴。

解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ADC。且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。

连接正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有四条对称轴。这进一步体现了它既有矩形的性质，同时也具有菱形的性质。

补充题：已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。

求证：DECF是正方形。

证明：DE⊥AC ∠DEC=90° DF⊥BC ∠DFC=90° 四边形DECF是矩形 ∠ACB=90° CD平分∠ACB DE⊥AC DE=DF DF⊥BC 四边形DECF是正方形

三、随堂练习 课本 P104练习2 四、课时小结

图 形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性 质 对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角 五、课后作业 习题3.4 1

3.4 正方形(二)

教学目标:：

1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关

的论证和计算。

2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，

逐步掌握说理的基本方法。

3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。 教学重点：掌握正方形的判定条件。

教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。 教学过程：

一、 创设问题情景，引入新课

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。

1、怎样判断一个四边形是矩形？ 2、怎样判断一个四边形是菱形？

3、怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？ 二、讲授新课

1、探索正方形的判定条件：

学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。

（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形； （3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一

组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。

2、正方形判定条件的应用

【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。 （1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 师生共析：

（1） 是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内

角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。

（2） 真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判

定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。

（3） 假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，

所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。

（4） 假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD

不是正方形。

（5） 真命题。

方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形

是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。

方法二，对角线平分 平行四边形 菱 形 对角线垂直 正方形 平行四边形 对角线相等 矩 形 方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。

总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。

【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。

师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。

像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。

解：将△ADF旋转到△ABC， 则△ADF≌△ABG

∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形，

∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°

∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF

【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。 画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。

2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。 3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.

则四边形ABCD就是所要画的正方形. 证明：∵AO=CO,BO=DO

四边形ABCD是平行四边形。

又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。 ∵AC⊥BD

∴平行四边形ABCD是菱形。

∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。

说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.

三、随堂练习 课本P104练习3。

通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。 四、课时小结

师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。

五、课后作业 习题3.4 2、3

补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB

解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全

等，但条件不够.

∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.

证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. ∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ∴ △AEF≌△AEH.

3.4正方形(三)

教学目标

知识与技能：

了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法． 过程与方法：

经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 情感态度与价值观：

培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 重难点、关键

重点：探索正方形的性质与判定．

难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．

关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容． 教学准备

教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架． 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容． 学法解析

1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，?在取得一定的经验的基础上，认知正方形．

3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点． 教学过程

一、合作探究，导入新课 【显示投影片】

显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）． 【活动方略】

教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：

1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？?四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3．正方形具有哪些性质呢？

学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．?正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．

实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．

教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：

学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：

正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形． 正方形性质：

（1）边的性质：对边平行，四条边都相等． （2）角的性质：四个角都是直角．

（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．

【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点． 二、实践应用，探究新知 【课堂演练】（投影显示）

演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，?且分别与OA、OB相交于M、N．

求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．

思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，?就可以了． 【活动方略】

教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．

学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题． 证：（1）?∵四边形ABCD是正方形， ∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，

∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，

又∵∠1=?∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON， ∴△CON≌△BOM，∴BM=CN． （2）由（1）知△BOM?≌△CON， ∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，

∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．

演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=求证：△CEF是直角三角形．

1AD，F为AB的中点，4

思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质． 【活动方略】

教师活动：用投影仪显示演练题2，?组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．

学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．

证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a． ∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得： 22222222222

EF+CF=（AE+AF）+（CB+BF）=（a+4a）+（16a+4a）=25a， 222222

CE=CD+DE=（4a）+（3a）=25a，

222

∴EF+CF=CE．

由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．

【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力． 三、继续探究，学习新知 【问题牵引】 教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．

学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下： 判定方法：

1．是矩形，并且有一组邻边相等． 2．是菱形，并且有一个角是直角． 【投影显示】

例4 ?求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题． 【活动方略】

教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证． 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足． 学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、?△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 四、随堂练习，巩固深化

1．课本P104 练习1，2，3． 2．【探研时空】 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．

请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．

思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为5，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，?宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；?另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和5，高为2和

455；其二，两组对边分别为1和25，高为4?和

255；其三，两

组对边分别为2和25，高为2和

255；其四，两组对边分别为4和5，高为1和

455，?图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为5、2、25；?另一个的四条边长分别为1、3、5、5，图形略．

【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题． 五、课堂总结，发展潜能 【问题提出】

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．

1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示） 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 六、布置作业，专题突破 1．课本P104 习题3.4 B、1、2 2．选用课时作业优化设计

作业优化设计

【驻足“双基”】

1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，?面积是________．

2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，?则∠AFC=________．

3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）． A．

1111 B． C． D． 2345 4．四条边都相等的四边形一定是（ ）

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对

5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A?向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．

【提升“学力”】

6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，?请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．

【聚焦“中考”】

7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：DE=DF．

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，?请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

8题图 7题图

8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C?按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？

9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）

答案:1．2+22-1 2．112.5° 3．A 4．B

5．提示：证△ADM≌△AKB 6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果 7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多） 8．3 9．叙述有道理即可．

3.5 梯形

教学目标 ： 1 通过具体情景，了解梯形的概念，及梯形的分类。

2 探索并掌握梯形的性质和判定方法。 3 会利用梯形的性质解与梯形有关的问题。

教学重点、难点：重点：梯形的定义、性质、判定。 难点：梯形的性质判定的运用。

教学过程

一 创设情景，导入新课

1 复习：什么叫平行四边形？什么叫菱形？什么叫矩形？

有一个角是直角D平行四边形四边形AB菱形有一组邻边相等C矩形

2 观察下面图形：

它们是什么形状？（梯形）什么叫梯形？梯形有什么性质？怎样判定一个四边形是梯形？这节课我们来学习这些内容----- 3.5 梯形（板书课题）

二 合作交流，探究新知

1 梯形的定义

（1）观察下图,请你比较平行四边形和梯形有什么区别？(平行四边形有两组对边分别平行，梯形只有一组对边分别平行)

平行四边形梯形（2）你能给梯形下个定义吗？

一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫梯形。

平行的两边叫梯形的底（通常把较短的叫上底，较长的叫下底），不平行的两边叫腰，两底的公垂线叫高. 考考你：

上底判断下面说法是否正确？

腰（1）一组对边平行的四边形是梯形。 ( ) 腰高（2）只有一对边平行的四边形是梯形。 ( ) （3）一组对边平行但不相等的四边形是梯形。 ( ) 下底2 梯形的分类

观察下面梯形，它们有什么区别？（第2个两腰相等，第3个一腰和底垂直）

ADE（1）（2）（3）BC

两腰相等的梯形叫等腰梯形，一腰和底垂直的梯形叫直角梯形。板书：

两腰相等一组对边平行四边形另一组对边不平行一腰和等边垂直等腰梯形梯形直角梯形

3 等腰梯形的性质

A、性质1 想一想：

(1) 如图：△ABC中，AB=AC,如果作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么四边形

ABCD是等腰梯形吗？为什么？

∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,

∴△ADE是等腰三角形，∴AD=AE, ∴AB-AD=AC-AE, 即：DB=EC.又DE≠BC, ∴四边形DBEC是等腰梯形。

（2）上面梯形中哪些角是相等的？你能用一句话来表达这个结论

D吗？

A梯形同一底上的两个角相等。

但是这个梯形是从等腰三角形上截下来的，是不是所有的梯形同一

B底上的两个角相等呢？（交流讨论）

E（3）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC. 求证：∠B=∠C，∠BAD=∠CDA. 证明：作DE∥AB,交BC于E，

D则 ∠DEC=∠B，∵AD∥BC, ∴AB=DE, ∵AB=DC, ∴DE=DC.

A∴∠DEC=∠C, ∴∠B=∠C

∵∠A+B=180o,∠C+∠ADC=180o, ∴∠A=∠ADC.

B你还有别的方法吗？

FE估计学生会想到：

方法1 分别过A，B作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F。证明△ABE

≌△DCF,得到∠B=∠C

方法2分别过A，B作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F

如图，把三角形DEC沿着AD平移，使DF与AE重合， DC的像是AC，因为AD∥BC，∴点C的像是点C

∵AB=DC=AC,∴∠B=∠ACB, ∵∠ACB=∠C ∴∠B=∠C

''''CCADBEC'FC（4）归纳结论：梯形同一底上的两个角相等。

即：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠A=∠D,∠B=∠C 判定方法1

思考：在同一底上的两个角相等的梯形是不是等腰梯形呢？

已知：梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝∠CBA．求证：四边形ABCD是等腰梯形。 方法1 ：分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，

∵AD∥BC, ∴AE=DF, ∵∠B=∠C,∠AEB=∠DFC, ∴△AEB≌△DFC. ∴AB=DC ∴四边形ABCD是等腰梯形。

E方法2

分别延长腰BA，CD，设它们相交于点E

D∵∠B＝∠C，∴△EBC是等腰三角形

A∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠EDA＝∠C

∴∠EAD＝∠EDA, ∴△EAD也是等腰三角形。

CB∴EB=EC,EA=ED, ∴EB-EA=EC-ED,即：AB=DC.

归纳结论：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 B、性质2

上面问题中，如果作EM⊥BC分别交AD、BC于N、M,

E那么点A和D，点B和点C关于直线EM对称吗？为什么？

AD∵AD∥BC,EN⊥BC, ∴EN⊥AD, ∵△EAD,△EBC都是

M等腰三角形，∴EN平分BC，AD

∴点A和D，点B和点C关于直线EM对称

C由此你发现等腰梯形还具有什么性质？ B

等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的

对称轴，等腰梯形的两条对角线相等 三应用迁移，巩固提高

N例 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE是梯形的高． （1）AE与两底AB，DC的关系如何？

（2）设DC=2cm，AB＝4cm，DE=2cm，求腰DA的长．

解 （1）设M，N 分别是DC，AB的中点，则直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，从而

DM?11DC,AN?AB,MN?AB 22111AB?DC?(AB?DC) 222由于DE⊥AB，因此DE∥MN，从而四边形DENM是平行四边形，于是EN＝DM，所以,AE?AN?EN?DMC（2）由第（1）小题的结论得:

11AE?(AB?DC)??(4?2)?1cm

22∴DA?在直角三角形AED中：DE＝2cm，AE=1cm

AENB22?12?5(cm)

四 课堂练习，巩固提高 P 109 1,2

五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获

这节课注意学习了梯形的概念、分类、等腰梯形的性质以及判定方法。

六 作业：P111 A 1.2,3 B 1

3．6 多边形的内角和与外交和(1)

教学目标

1 通过具体情景了解多边形的概念，掌握四边形和多边形的内角和。 2 会利用多边形的内角和进行计算。

3 通过多边形内角和公式的推导过程，培养学生的发散思维能力，逐步提高推理的能力。

4 通过现实中抽象出多边形概念，让学生再次体会数学来源于生活，从而认识到数学的应用价值，提高学习数学的热情。

DC重点、难点

重点：多边形的概念，四边形和多边形的内角和 难点：多边形内角和公式的推到过程。

AB教学过程

一 创设情境，导入新课

1 三角形的内角和等于多少？（180?） 2 四边形的内角和等于多少呢？为什么？ 四边形的内角和等于360o，理由是：

连结AC，则四边形ABCD被分成了两个三角形，因此四边形的内角和等于一个三角形的内角和的2倍。即：2×180o=360o 由此得到:四边形的内角和等于360o 2观察下面图形，你能抽象出什么样的几何图形呢？

美国国防部五角大楼德国单车迷打造的怪异自行车

在日常生活中我们经常会见到五边形、六边形、八边形等等。今天我

A们学习-----3．6 多边形的内角和与外交和(1)（板书课题）

边二 合作交流，探究新知

顶点1 请你说一说什么叫多边形？

EB 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。对角线组成多边形的各条线段叫多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫多边形的顶点，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻角两边组成的角叫多边形的内角。简称多边形的角。

CD 说明：我们的课本今后说的多边形都是凸多边形，即：多边形总在

一条边所在的直线的同旁。 2 五边形的内角和

D如图，五边形的内角和等于多少呢？（交流讨论）估计学生会想到下面方法：

C方法1 E连结AD,AC，则五边形别两条对角线分成了三个三角形，所以五边形的内角和等于3×180o=540o

BA方法2

在五边形内取一点O，连结OA,OB,OC,OD,OE,则五边形被分

D成了五个三角形，但这五个三角形中以O为顶点的五个角不是五边形的内角和，所以五边形的内角和是：5×180o-360o=

C5×180o-2×180o=（5-2）×180o=540o EO引导学生把点O 移到五边形的边上或者外面。 方法4

BA在AB上取点O，连结OE,OD,OC.则五边形被分成了四个三角

形，但以O为顶点的四个角不是五边形的内角，这四个角的

D和等于一个平角。所以五边形的内角和等于： 4×180o-180o=（4-1）×180o=540o

C方法5 E取在五边形外取点O

连结OA,OB,OC,OD,OE得到了4个三角形，这四个三角形的内角

BA中，哪些不是多边形的内角？这些角的和等于多少？ O∠OED,∠EOA,∠AOB,∠BOC,∠COD,∠ODE,这些角不是多边形OD的内角，它们刚好是一个三角形的内角和。所以五边形的内角和

等于4×180o-180o=540o

C归纳：这些方法的共同特点是什么？ E取点O,将点O与五边形的各个顶点连结起来构成三角形，把多边形的内角和转化成三角形的内角和。

BA3 多边形的内角和

根据方法2，(在多边形内取点O , 把点O与多边形 各个顶点连结)请你填写下表 图形 三角形个数 不是多边形的内角的和 多边形的内角和 六边形 七边形 n边形 归纳：n边形的内角和等于（n-2）×180o 三 应用迁移，巩固提高

例1 如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与 ∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找以找这个规律，你发现的规律是（ ） A ∠A=∠1+∠2, B 2∠A=∠1+∠2, C 3∠A=2∠1+∠2, D 3∠A=2(∠1+∠2)

180o??1 180o??2 解：∵∠ADE=,∠AED=

22180o??1 180o??2 ∴∠A=180o-(∠ADE+∠AED)=180o--

22 =

BAC12DE1(∠1+∠2) 2例2 （1）十边形的内角和等于______.

(2) 如果十边形的每一个内角都相等，那么每一个内角等于____.

三 课堂练习，巩固提高 P 114 1,2

补充：

1 一个多边形的内角和不可能是( ) A 560o B 1080o C 720o D 1800o 2 一个多边形的内角和是2340o，这个多边形是____边形。 3 一个多边形的边数增加1，内角和增加多少呢？

四 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？

这节课我们学习了四边形的内角和和n边形的内角和，根据n边形的内角和公式，如果知道n就可以求出多边形的内角和，如果知道多边形的内角和就可以求出边数。

多边形的内角和公式我们是从五边形的内角和入手，然后把求法迁移到n边形，这种有特殊到一般的探究思路我们以后还会用到，请同学们用心领悟。

五 作业 P 117 A 1,2,3 B 1

3.6多边形的内角和与外角和（2）

教学目标

1 了解多边形的外角和的概念、掌握多边形的外角和公式。 2了解正多边形的概念。

3 了解四边形的不稳定性及生活中的运用。

4 通过多边形内角和的探索，让学生体验从特殊到一般的思考方法。

重点、难点

重点：多边形的外角的概念、多边形的外角和公式。难点：多边形外角和公式的推导过程。

教学过程

一 创设情境，导入新课

1 如图，AB∥DE,AC∥DF,那么∠A与∠D有什么关系？为什么？你能有一句话表达这个结论吗？

解：∠A=∠D，理由是：设AC与DE交于C， ∵AB∥DE,AC∥DF∴∠A=∠ACD=∠D

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且开口方向一致，那么这两个角相等。

2 四边形的内角和=_____,n边形的内角和=______.

3 什么叫三角形的外角？什么叫三角形的外角和？三角形的外角和等于______.

三角形的一边和另一边的延长线组成的角叫三角形的外角，三角形的每一个内角的外角（共三个）的和叫三角形的外交和，三角形的外角和等于180o

4 类似地，多边形一边和另一边的反向延长线组成的角叫多边形的外角，在每个顶点处取这

BADCEFD1BE2CA3F个多边形的一个外角，它们的和叫多边形的外角和。

5 我们知道多边形每多一条边，多边形的内角和就多180o，外角和多多少度呢？你猜猜看. 你的猜想对吗？下面我们来学习——多边形的内角和与外角和（2）

二 合作交流，探究新知

1 特殊多边形的外角和

（1）等边三角形的每一个内角等于_____,每一个外角等于____,外角和等于______,

D1BE2A3CF3B2C4DA14ADE1B2F3CE65A15D2C34B(2) 正方形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和A等于_____, 14(3) 如果无边的每个内角是相等的，这个五边形的每一个内角等D于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。

（3）如果六边形的每个内角是相等的，这个六边形的每一个内

3角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。 B

C从上面的多边形看到，边数增加，外角和并没有增加，都是360 o，2但这些多边形的是特殊的，是否任意的多边形内角和都等于360 o呢？

2 普通多边形的外角和 （1）四边形的外角和

如图，四边形ABCD的四个外角∠1+∠2+∠3+∠4=?用什么方法来求？

方法1 量出这4个角的度数，然后相加，看等于多少？请你量一量P 113 图3—87 中的四个外角。

方法2 我们知道四边形的四个内角的和是360 o，四个外角与四个内角有什么关系呢？为了表达方便，我们把四个内角也用数字表示。（交流），估计学生会想到： A∵∠1+∠5=180 o，∠2+∠6=180 o，∠3+∠7=180 o 145∠4+∠8=180 o D8∴∠1=180o-∠5，∠2=180o-∠6，∠3=180o-∠7，∠4=180o-∠8，∠1+∠2+∠3+∠4=4?180o-（∠5+∠6+∠7+∠8）=4?180 o-360o

736=360o BC2方法3 :画OA∥BC,OB∥AB,则∠2=∠AOB,画OC∥AD,则∠1=∠

BOC,画OD∥CD,则∠4=∠COD,∠3=∠AOD,

D∵∠AOB+∠∠BOC+∠COD+∠AOD=360o,

C∴∠1+∠2+∠3+∠4=360o.

OAB(2) n边形的外角和等于多少呢？（交流讨论）

∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____ ∴ n边形的内角和加外角和等于 ________ ∵ n 边形的内角和等于 ___________

∴ n 边形的外角和等于n ? 180o – (n-2) ? 180o ＝360o 归纳：n

边形的外角和等于360o

3 正多边形的概念

观察下面多边形，它们的角和边有什么特点？（边都相等，角也都相等）

在平面内，边都相等、角也都相等的多边形叫正多边形。 4 四边形的不稳定性 动脑筋：

四条边都相等的四边形（即菱形）它的四个角一定相等吗？ 观察下面菱形,它们的四条边都是相等的，但只有中间一个的四个角是相等的。

这个例子告诉我们四边形的四条边的长度不改变，但形状可以改变，这叫四边形的不稳定性。

四边形的不稳定性在生活中既有好处也有害处， 伸缩门就是利用了四边形的不稳定性，一些建筑物就要防止四边形的不稳定性，如下图的木桥栏杆加些斜条，就是为了防止四边形的不稳定性。

三 应用迁移，巩固提高

例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角 和等于360°， 所以：(n－2)·180=5×360 解得：n=12

答:这个多边形是12边形.

四 课堂练习，巩固提高

1 一个多边形的每一个外角都等于45o，这个多边形是几边形？它的每一个内角等于多少度？

2 正12边形的每一个内角等于多少度？每一个外角等于多少度？

3 下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？

五 反思小结，拓展提高 这节课我们学习了什么？ 六 作业P 117---118 A 3.4 B 2.3

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