集合及函数教案 - 图文

课题 集合的含义及其表示（一） 课型 概念课 授课时间 2012.04.05 使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用教 知识与技能 数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念， 学 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认过程与方法 目 识特殊与一般的辩证关系 标 情感态度与价值观 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 重点 集合概念、性质；“∈”，“ ?”的使用 难点 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 学生活动 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一学生思考、讨论、些集合的例子吗? 回答 如：自然数的集合 0，1，2，3，?? 回顾思 如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的考，积极解集。 联想 如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 如：生活中的“物以类聚,人以群分” 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要 学习的内容. （二）研探新知 教师给出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会 常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所 有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程 2x?5x?6?0的所有实数根；(8)不等式x?3?0的所有解；(9)国兴 中学2004年9月入学的高一学生的全体. 观察思考 思考：这9个实例的共同特征是什么? 分析、比1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，? 较和鉴集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，? 别，积极讨论 2、元素与集合的关系 a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ， a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 a?A 例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？ （1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中 的字母（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8） 满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程x2?x?1?0的实数解 评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能 思考， 指出它的属性。 回答 3、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任教师活动 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 教具 集合概念的理解 何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 （2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合 （3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 有理数集Q 正整数集 N*或 N+ 实数集R 整数集Z 5、集合的分类原则：集合中所含元素的多少 ①有限集 含有限个元素，如A={-2，3} ②无限集 含无限个元素，如自然数集N，有理数 2③空 集 不含任何元素，如方程x+1=0实数解集。专用标记：Φ （三）巩固练习 1.教材练习A、B 学生 总结 点评:数学中有许多规律存在,我们以后将不断去探索研究. 2332.由实数x,－x,｜x｜,x,?x所组成的集合，最多含（ ） （A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素 23.求数集{1，x，x-x}中的元素x应满足的条件 （四）回顾反思 1、集合的概念 积极调动2、集合元素的三个特征 思维 其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，独立完成它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对练习 于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 3、 常见数集的专用符号. （五）作业布置 《零失误》第一课时 学生说一说 集合的含义及其表示（一） 板书 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 集合的概念及其表示（二） 课型 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 概念课 授课时间 2011.04.06 掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 正确表示一些简单集合 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 集合的表示方法 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方 学生思法。 考、讨论、例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆} 回答 由“maths中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s} 回顾思由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k} 考，积极注：（1） 有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合： 联想 {51，52，53，?，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，?} （2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一 个元素。比如：?与 ???不同，?∈??? （3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元 素的顺序。 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例:不等式x?1??2的解集可以表示为：{x?R|x?1??2}或 观察思考 分析、比{x|x??3,x?R} 较和鉴别，积极“中国的直辖市”构成的集合，写成{xx为中国的直辖市}； 讨论 “maths中的字母” 构成的集合，写成{xx为maths中的字母}； “平面直角坐标系中第二象限的点”{（x,y）| x<0且y>0} 22“方程x+5x-6=0的实数解” {x∈R| x+5x-6=0}={-6，1} 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三 4 角形}；{大于10的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 思考， 3、图示法： 回答 文氏图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有 关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合学生 的元素. 总结 数轴法：{x∈R|3

课题 集合的基本关系 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.09 了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解与空集的含义。 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 一、引入课题 学生思1.复习(1)元素与集合的关系——属于与不属于的关系;(2)集合的表示考、讨论、方法 回答 2.实数有相等关系、大小关系，如6=6，6?8，6?2 ，等等.类比实数之回顾思间的关系你会想到集合之间的什么关系？ 考，积极（给出课题） 联想 二、新课教学 观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ （1）A={本校高中一年级一班全体同学},B={本校高中一年级全体同学}； （2） A={1、2、5}，B={1、2、3、4、5}； （3）C={x(x?1)(x?2)?0}，D={-1，-2}. 可以发现：（1）和（2）中集合A中的任何一个元素都是集合B的 元素；（3）中，集合C与D的元素完全相同都是-1和-2. 1.子集：（1）概念：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A叫做集合B的子集， 记作：A?B(或B?A) 观察思考 读作：A包含于B，或B包含A 分析、比(2)图示语言： 较和鉴B 别，积极 A 讨论 （3）性质： a.任何一个集合都是它本身的子集，即A?A。 b.空集是任何集合的子集，即??A。 c.如果A?B,B?C,那么A?C 如果集合A中存在着不少集合B的元素，那么集合A不包含于B， 思考，

回答 2.真子集：如果集合Ａ是集合Ｂ的子集，并且Ｂ中至少有一个元素不属 于Ａ，那么集合Ａ是集合Ｂ的真子集。 记作：A??B（或B??A） 读作：“A真含于B”（或B真包含A） 说明：A?学生 ?B，说明存在元素y?B,且y?A 总结 性质：（1）空集是任何非空集合的真子集。即A??,则???Ａ。 （2）传递性：如果A??B,B??C,那么A??C 思考：与实数中的结论“若a?b,且b?a,则a?b”相类比，在集合中， 你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若点评:数学中有许A?B,且B?A,则A?B. 多规律存3. 集合相等：一般地，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，在,我们反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合以后将不A等于集合B,记作：A=B. 断去探索研究. ?A?B说明：A?B?? B?A? 4.集合之间的关系：对于任意集合A和B 三、例题讲解 例1写出集合{a},{a,b},{a,b,c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的 真子集。 积极调动结论：集合A中元素的个数记为n，则它的 思维 n 子集的个数为：2独立完成nn真子集的个数：2-1，非空真子集个数：2-2 练习 例2.若集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},这样的集合有哪些？总结规 律 四、归纳小结，强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实学生说一数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其说 表示方法； 五、作业布置 《零失误》1.2.1 或B不包含A.分别记作A赽B,或B?A 板书 集合的基本关系 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力

课题 交集与并集 知识与技能 课型 概念课 授课时间 2011.04.09 1.理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 教具 集合的交集与并集 “是什么”，“为什么”，“怎样做” 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思考，积极联想 观察思考 分析、比较和鉴别，积极讨论 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 教 学 目 标 过程与方法 情感态度与价值观 重点 集合的交集与并集的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 思考（P9思考题），引入并集概念。 新课教学 1、 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B 读作：“A并B” B A A？ 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} Venn图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 例题1求集合A与B的并集 ① A={6，8，10，12} B={3，6，9，12} ② A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3} （过度）问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。 2、交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。 记作：A∩B 读作：“A交B” 即： A∩B={x|∈A，且x∈B} 交集的Venn图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。 例题2求集合A与B的交集 思考， 回答 学生 总结 点评:数学中有许多规律存若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B 在,我们若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B 以后将不补充： 断去探索（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=? 研究. （2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z nm?1 (3)集合A?{n|?Z}，B?{m|?Z}，则A?B?__________22 5 (4)集合A?{x|?4?x?2}，B?{x|?1?x?3}，C?{x|x?0，或x?} 2 那么A?B?C?_______________,A?B?C?_____________;积极调动1、 提高内容： 思维 （1）已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，独立完成练习 且X?A??,X?B?X，试求p、q； （2）集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A?B={-2，0，1}，求 p、q； 学生说一（3）A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A?B ={3，7}，说 求B ③ A={6，8，10，12} B={3，6，9，12} ④ A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3} 拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集(用彩笔图出) B A B B A(B) A A B A 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集 3、例题讲解 例3(P12例1)：理解所给集合的含义，可借助venn图分析 例4 P12例2）：先“化简”所给集合，搞清楚各自所含元素后，再进行运算。 4、 集合基本运算的一些结论： A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A 若A∩B=A，则A?B，反之也成立 若A∪B=B，则A?B，反之也成立 板书 交集与并集 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力

课题 全集与补集 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.12 了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对的观点. 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 补集的有关运算 教具 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思考，积极联想 观察思考 分析、比较和鉴别，积极讨论 思考， 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 补集的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 一、 创设情境 1．复习引入：复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集. 2．相对某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题 ——全集和补集。 二、 新课讲解 请同学们举出类似的例子 如：U＝{全班同学} A＝{班上男同学} B＝{班上女同学} 特征：集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合，可以用文氏图表示。我们称B是A对于全集U的补集。 1、 全集 如果集合S包含我们要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集。全集通常用字母U表示 2、补集（余集） 设U是全集，A是U的一个子集（即A?U），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作“A在U中的补集”，简称集合A的补集，记作e即e? UA，UA??x|x?U,且x?A补集的Venn图表示： 说明：补集的概念必须要有全集的限制 练习：A??1,2?,U1??1,2,3?,U2??1,2,3,4?，则痧4?。 ?，U2A??3，U1A??3 eUAU A 3、基本性质 ①A?(CUA)?U，A?(CUA)??， CU(CUA)?A ②痧UU??，U??U ③CU(A?B)?CUA?CUB，CU(A?B)?CUA?CUB 注：借助venn图的直观性加以说明 三、 例题讲解 例1(P13例3) 例2(P13例4) ①注重借助数轴对集合进行运算②利用结果验证基本性质 四、 课堂练习 1．举例，请填充（参考） (1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则eSA＝____________. (2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则eSB＝___________. (3)若S＝{1，2，4，8}，A＝?，则eSA＝_______. 2(4)若U＝{1，3，a＋2a＋1}，A＝{1，3}，eUA＝{5}，则a＝_______ (5)已知A＝{0，2，4}，eUA＝{－1，1}，eUB＝{－1，0，2}，求B＝_______ 2(6)设全集U＝{2，3，m＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，eUA＝{5}，求m. 2(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x－5x＋m＝0，x∈U}，求eUA、m. 师生共同完成上述题目，解题的依据是定义 例(1)解：eSA＝{2}评述：主要是比较A及S的区别. 例(2)解：eSB＝{直角三角形或钝角三角形}评述：注意三角形分类. 例(3)解：eSA＝3评述：空集的定义运用. 回答 学生 总结 2点评:数例(4)解：a＋2a＋1＝5，a＝－1±5评述：利用集合元素的特征. 例(5)解：利用文恩图由A及eUA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝学中有许{1，4}. 多规律存2例(6)解：由题m＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2 在,我们2例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6 以后将不2当m＝4时，x－5x＋4＝0，即A＝{1，4} 2断去探索又当m＝6时，x－5x＋6＝0，即A＝{2，3} 研究. 故满足题条件：eUA＝{1，4}，m＝4；eUB＝{2，3}，m＝6. 评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想. 五、 回顾反思 本节主要介绍全集与补集，是在子集概念的基础上讲述补集的概念， 并介绍了全集的概念 1.全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部 元素，通常用“U”表示全集.在研究不同问题时，全集也不一定相同. 积极调动2.补集也是一个相对的概念，若集合A是集合S的子集，则S中所有不思维 独立完成属于A的元素组成的集合称为S中子集A的补集（余集），记作eUA，即练习 eUA={x|x?S,且x?A}. 当S不同时，集合A的补集也不同. 六、作业布置 学生说一用集合A，B，C的交集、并集、补集表示下图有色部分所代表的集合 说 板书 全集与补集 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

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课题 集合单元小结（一） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.12 归纳集合子、交、并、补的基本题型，能解决一些综合问题 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 运用所学理论解决综合问题 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 归纳基本题型 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 一、创设情境 集合是数学是的一个重要概念，它不仅跟高中数学的绝大部分内容学生思都有联系，更在于集合思想当今已经渗透到自然科学的各个领域．因此考、讨论、回答 让学生掌握集合知识不仅是数学教学本身的需要，同时也成了提高学生回顾思素质的一部分.由于集合这一节教材概念较抽象，出现的符号术语比较考，积极多，致使部分学生一时难以适应，解题中常常出现因不能理解题意而造联想 成的错误，为了使学生能顺利地学好这一节内容，教学中应当注意： ①正确进行集合中符号语言的转译，熟练运用集合与集合的关系解题； ②借助数轴和文氏图等图形思考有利于集合运算； ③不要忘掉空集的特殊性，空集是任何集合的子集； ④集合中元素的确定性、互异性、无序性是解题的依据，注意解题后的 检验； ⑤对于含字母的题目，要充分注意字母的取值范围，必要时进行分类讨 论； 集合作为数学中很重要的基础内容，是会考和高考的必考内容.试题 一般有两种类型：第一种是集合知识本身；第二种是集合语言与其它数 学知识的综合运用.高一数学的目的是以完成第一种类型为主的，鉴于高观察思考 一学生数学知识的局限并不宜过多补充，应对学生正确使用集合语言，分析、比规范书写格式等方面严格要求.这样做对以后运用集合思想解第二类型较和鉴的习题是有益的. 别，积极讨论 从近几年的考题看，通常用列举法或描述法给出集合后考查空集与 全集的概念；元素与集合、集合与集合之间的关系；集合的交、并、补 运算，集合的运算是重点考查内容．在解集合问题时，常将集合化简或 转化为熟知的代数、三角、几何问题，同时涉及到数形结合、方程与不 等式、化归等数学思想的应用，集合作为数学问题解决的工具．另外定 义新运算是一个新的命题背景． 思考， 回答 二、师生探究 考点题型1 集合与元素的关系判定 由集合中元素的确定性知，对于一个集合，它的元素必须是确定的，特别是对于描述法表示的集合，一定要抓住集合的公共属性和本质特征，灵活应用． 学生 总结 例1（２００４镇江统测）已知集合A?x?N?2?x?2,则必有 ( ) 2?AＡ．?1?A Ｂ．0?A Ｃ．2?A Ｄ． 点评:数[试题解析] 在集合Ａ中x?N，则在?2?x?2中有x?0,1，选Ｂ 学中有许[规律说明] 此类问题主要有两类，一是元素和集合之间的关系；二是集多规律存合与集合之间的关系．关键在于确定集合的元素，并真正认识集合中元在,我们素的属性．然后依据集合的有关概念，特别是集合中元素的三要素。对以后将不断去探索于用描述法给出的集合?xx?P?，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以研究. 及它所具有的性质P；重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解 决问题。 [变式延伸] （２００４南通二模）设集合P?{x|x?2m?1,m?Z}, Q?{y|y?2n,n?Z},若x0?P,y0?Q,a?x0?y0,b?x0y0,则 （ ） 积极调动思维 A．a?P,b?Q B．a?P,b?P 独立完成练习 C． a?Q,b?P D．a?Q,b?Q [详解]集合Ｐ表示所有的奇数，Ｑ表示所有的偶数 x0?P,则x0是奇数，y0?Q,则y0是偶数 学生说一说 ∴a?x0?y0是奇数，b?x0y0是偶数，则a?P，b?Q，选Ａ ?? 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 板书 集合单元小结（一） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

课题 集合单元小结（二） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.13 归纳集合子、交、并、补的基本题型，能解决一些综合问题 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 运用所学理论解决综合问题 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 归纳基本题型 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 考点题型2 集合之间的包含关系和交、并、补运算 若对于任意的x?A，总有x?B，则A?B；若A?B且B?A，学生思考、讨论、则A?B；若存在一个元素x?A，得x?B，则A?B． 回答 这是证明或判断一个集合，特别是无限集合，包含与相等关系的一回顾思般性方法。 考，积极例２（２００４南京９月调研）已知集合A={x?N|1

培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 集合单元小结（三） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.14 归纳集合子、交、并、补的基本题型，能解决一些综合问题 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 运用所学理论解决综合问题 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 归纳基本题型 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 考点题型4 集合运算与方程的解 以集合形式出现的方程问题。此类问题主要分两类：(1)不含参数的一般可直接求解；(2)含参数问题，往往是等价转换集合的表示或化简集合，然后依据方程理论进行分类解决． 学生活动 学生思考、讨论、回答 2回顾思例４(2001年武汉市联考)设A?xx?4x?0，考，积极22B?xx?2(a?1)x?a?1?0B 联想 （１）若A?B?B，求a的值；（２）若A?B?B，求a的值． [试题解析] 化简集合A，得A＝{一4，0} （１）由A?B?B，则有B?A，可知集合B或为?，或为?0?，??4?， ??4,0?． ①若B＝?，由??4(a?1)2?4(a2?1)?0，解得a??1 2 ②若0?B，代入得a?1?0，则a?1，或a??1 2 当a?1时，B?xx?4x?0＝??4,0?＝A，合题意； 2 当a??1时，B?xx?0＝?0?A，也合题意． 2 ③若?4?B，代入得a?8a?7?0，解得a?1，或a?7 当a?1时，②中已讨论，合题意； 观察思考 2 当a?7时，B?xx?16x?48?0＝??4,?12?，不合题意． 分析、比 由①、②、③得a?1，或a??1． 较和鉴 (2)因为A?B?B，所以A?B，又A＝{一4，0}，而B至多只有两别，积极个根，因此应有A＝Ｂ 讨论 由(1)知，a?1． [规律说明] 明确A?B?B和A?B?B的含义，根据问题的需要，将 A?B?B和A?B?B，转化为等价的关系式B?A和A?B是解决 本题的关键．同时，在包含关系式B?A中，不要漏掉B??的情况． [变式延伸]１．如果方程ax?b?0的解集为A，cx?d?0的解集为B， 利用A，B表示： （１）（ax?b）（cx?d)?0的解集；（２）（ax?b）（cx?d)?0的 解集． 思考， [详解]首先必须对问题的实质有一个清楚的认识，当方程ax?b?0，回答 或方程cx?d?0 ??????????

有一个成立时，方程（ax?b）（cx?d)?0就成立，所以(1)的解集是A与Ｂ的并集． 当ax?b?0与cx?d?0都不成立时，才能使（ax?b）（cx?d)?0成立，所以(2)的解集是A，B两集合补集的交集． x(ax?b)(cx?d)?0?xax?b?0?xcx?d?0＝A?B 学生 总结 x(ax?b)(cx?d)?0?xax?b?0?xcx?d?0 ＝痧UA?UB 2?[变式延伸]２．设A?xx?(p?2)x?1?0,x?R，若A?R??， 求实数p的取值范围。 点评:数[详解]本题等价于二次方程x2?(p?2)x?1?0无正实根，再分成有根学中有许和无根讨论 多规律存?由A?R??，得A??，或A??，且x?0 在,我们①当A??时，??(p?2)2?4?0，解得?4?p?0 以后将不②当A??时，方程有两个根非正根 断去探索2???(p?2)?4?0研究. 则?，解得p?0，综合①②得p??4 ?x1?x2??(p?2)?0[变式延伸]３．设A??(x,y)y2?x?1?0?，B??(x,y)4x2?2x?2y?5?0?， *C??(x,y)y?kx?b?，是否存在k,b?N，使得(A∪B)∩C=?，证明此 结论. [详解] ∵(A∪B)∩C=?，∴A∩C=?且B∩C=? 积极调动?y2?x?1222∵? ∴kx+(2bk－1)x+b－1=0 思维 y?kx?b?独立完成222∵A∩C=? ∴Δ1=(2bk－1)－4k(b－1)<0 222∴4k－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b－16>0,即b>1 ① 练习 ?4x2?2x?2y?5?02∵? ∴4x+(2－2k)x+(5+2b)=0 y?kx?b? 2∵B∩C=?，∴Δ2=(1－k)－4(5－2b)<0 学生说一2∴k－2k+8b－19<0,从而8b<20，即b<2.5 ② 说 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 2??4k?8k?1?0, ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?. ??????????????????? 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 2??k?2k?3?0板书 集合单元小结（三） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

课题 集合单元小结（四） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.15 归纳集合子、交、并、补的基本题型，能解决一些综合问题 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 运用所学理论解决综合问题 教具 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思考，积极联想 观察思考 分析、比较和鉴别，积极讨论 思考， 回答 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 归纳基本题型 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 考点题型5 含有n个元素的集合的子集的个数 含有n个元素的集合的子集的共有2个；真子集共有2?1个：非空真子集共有2?2个．用这一结论，可以判断一类集合的个数．这一点也可以通过具体的例子验证． 例5．已知M = {1，2，3，4，5}，集合A?M，集合A中的任一元素a满足条件：若a∈A，则6 – a∈A，试写出所有满足条件的集合A. [详解] 依题意集合A中的元素个数可以是1，2，3，4，5， 若A中只有一个元素，则A = {3}； 若A中有两个元素，则A = {1，5}或{2，4}； 若A中有三个元素，则A = {1，3，5}或{2，3，4}； 若A中有四个元素，则A = {1，2，4，5}； 若A中有五个元素，则A = {1，2，3，4，5}. [变式延伸]下列命题中正确命题的个数是（ ） ①A∪B = B∪C?A = C；②A∪B = B?A∩B= A；③α∈B?α∈B∩A；④A?B?A∪B = B；⑤α∈A?α∈A∪B. A．2个 B．3个 C．4个 [详解]由A∪B = B可知A?B，∴A∩B= A； 由A?B可得出A∪B = B； D．5个 nnn由α∈A可得出α∈A∪B但不能得出α∈B∩A； 而A∪B = B∪C可能是A∩C = ?，如B = R，A = Z，B = U Z，满足A∪B = B∪C，但不能得到A = C. 正确的是②④⑤，选B. 考点题型6 集合中的图形应用问题 集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段. 例6 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( )． Ａ．10％ Ｂ．12％ C．15％ Ｄ． 27％ [试题解析]这是一个小型应用题．把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助文氏图解法． 解：不妨设调查了100户农户， U＝{被调查的100户农户}， A＝{100户中拥用电冰箱的农户}， Ｂ＝{100户中拥有电视机的农户}， C＝{１00户中拥有洗衣机的农户}， 由图知，A?B?C的元素个数为49+85+44—63—25＝90． 则eU(A?B?C)的元素个数为100—90二10． 答案：Ａ [规律说明] 一般此类题利用文氏图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的关系更直接的显示，进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言，通过解方程和限制条件的运用解决问题。 [变式延伸]２．某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求(1)只乘电车的人数；(2)不乘电车的人数；(3)乘车的人数；(4)不乘车的人数；(5)只乘一种车的人数． [详解] 设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为s人，只乘一种车的人数为t人，如图所示：(1)x?66人，(2)＝y?36人，(3)z＝98人，（４）s?22人，（５）t?80人 三、回顾反思 1．解题时要特别关注集合元素的三个特性，特别是互异性，要进行解题后的检验． 2．空集?在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉． 3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． 4．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． 板书 集合单元小结（四） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

学生 总结 点评:数学中有许多规律存在,我们以后将不断去探索研究. 积极调动思维 独立完成练习 学生说一说 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 映射与函数 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.18 使学生了解映射的概念及表示方法；了解象、原象的概念；了解一一映射的概念. 以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）； 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 映射的概念和函数的概念 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 在映射的基础上理解函数的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 Ⅰ.引入新课 A求正弦BA开平方B学生思31我们已学过一些对应的例子： 9考、讨论、-330①坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 22回答 454-2②任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应3回顾思60 11-1Ⅱ．讲授新课 考，积极901联想 一、对应：（设A，B分别是两个集合） (1)(2) A求正弦BA开平方BA求平方BA乘以2B 311019-3301 122-1202452 43-242032-24601 135-12936 -39001(1) (2)(4)(3) 二、映射的定义及相关的概念A求平方BA乘以2B 11.映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中 111 -12的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包23 42B的对应法则-24括集合A、B以及A到f）叫做集合A到集合B的映射 记 359作： 36-3f:A?B 2.象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a?A,b?B，如果元观察思考 (4)(3)素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 分析、比较和鉴3.一一映射（两个特点）： 别，积极1?对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射） 讨论 2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射） 即集合B中的每一个元素都有原象。 三、用映射刻划的函数定义 1.函数的近代定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f： A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B. ⒉函数的三要素：原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C?B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”， 有时简记作函数f(x). 思考， 3.已学函数的定义域和值域: 回答 k②反比例函f(x)?(k?0):定义域?x|x?0?, 值域?x|x?0?; x 2③二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0):定义域R 学生 22??4ac?b?4ac?b?总结 y|y?a?0值域：当a?0时，?y|y?；当时，??? 4a?4a? ?? Ⅲ．例题讲解： 例1：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ ①A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射 +点评:数②A=N B={0,1} 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射 * 学中有许③A=Z B=N法则：求绝对值 不是映射（A中没有象） 多规律存④A?{x|x?2,x?N},B?N，f:x?小于x的最大质数 在,我们以后将不111⑤设X?{0,1,2,3,4},Y?{0,1,,,}f:x?x取倒数 断去探索234研究. 例2、下面哪一个图形可以作为函数的图象（ ） y y y y O x O x O x O x 积极调动 (A) (B) (C) (D) 思维 例3：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 独立完成(x?3)(x?5)y2?x?5 （定义域不同） ①y1?练习 x?3 ②y1?x?1x?1 y2?(x?1)(x?1) （定义域不同） 2③f1(x)?(2x?5) f2(x)?2x?5 （定义域、值域都不同） 学生说一说 Ⅴ．课时小结 Ⅵ．课后作业 ①一次函数f(x)?ax?b(a?0):定义域R, 值域R; 映射与函数 板书 设计 对应?对一???映射?非空数集????函数 后 记

培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力

课题 定义域 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.19 要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 求函数定义域的基本法则 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 求函数定义域的基本法则 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思考，积极联想 11．f(x)? x?2 1解：x?2?0 即 x ? 2 ∴函数f(x)?的定义域是：?x|x?2? x?2 2。 f(x)?3x?2 22? ?解：3x+2≥0,即x≥?∴函数f(x)?3x?2的定义域是：?x|x??? 33?? 1 3。f(x)?x?1? 2?x ?x?1?0?x??1 解：? ? ? 观察思考 ?2?x?0?x?2分析、比∴函数f(x)?3x?2的定义域是：?x|x??1且x?2? 较和鉴别，积极4?x2?1 4．f(x)?讨论 2解：4?x?1 即：?3?x?3 2 ∴函数f(x)?4?x?1的定义域为：{x |?3?x?3} 2x?3x?4 5．f(x)? x?1?2 ?x2?3x?4?0?x??4或x??1解：?x??3或?3?x??1或x?4 ????x??3且x?1 ?x?1?2?0思考， x2?3x?4∴函数f(x)?的定义域为：{x|x??3或?3?x??1或x?4} 回答 x?1?2 教师活动 一、复习： 1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素 今天研究的课题是函数的定义域—自变量x取值的集合（或者说：原象的集合A）叫做函数y=f(x)的定义域。 二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。 例:求下列函数的定义域： 学生 总结 点评:数(x?1)0∴函数f(x)?的定义域为：x|x??1或?1?x?0 学中有许x?x多规律存1在,我们8。y?x?2?3? 3以后将不3x?7断去探索??x?2?3?077?x?R7 即 x? 解：? ??研究. x??333x?7?0??3? 7?1? ∴函数y?x?2?3?的定义域为：?x|x?R,x??? 33? ?3x?711 9、若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)?f(x?)44 的定义域。 积极调动13思维 ??5?1?x??1??x???独立完成44??3?x?3 解： ???413544练习 ??1?x??1???x?44??4 1133?? ∴函数y?f(x?)?f(x?)的定义域为：?x|??x?? 4444? ?学生说一10、设f(x)的定义域是[?3，2]，求函数f(x?2)的定义域。 说 解：要使函数有意义，必须：?3?x?2?2得：?1?x?2?2 ∵ x≥0 ∴ 0?x?2?2 0?x?6?42 x?0x?0116．f(x)? 解： 1??0? x??1 1x11?x??1121??01?1x1?x1??∴函数的定义域为：?x|x?R且x?0,?1,?? 2???x?1?0?x??1(x?1)07．f(x)? 解： ? ?? x?x?0x?x??x?0?? 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 ∴函数f(x?2)的定域义为：x|0?x?6?42 三、小结： 求（整式、分式、根式）函数定义域的基本法则。 板书 定义域 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

??课题 函数的解析式 教 学 目 标 重点 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.20 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 要求学生学会利用换元法、定义法、要求学生学会利用换元法、定义法、待定系难点 待定系数法等方法求函数解析式 数法等方法求函数解析式 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 一、复习：函数的三种常用表示方法。 学生活动 学生思?0(x?0)f(1)?2;f(?1)?0;f(0)??考、讨论、?提问1、已知f(x)??? (x?0)则： 回答 f{f[f(?1)]}???1?x?1(x?0)回顾思?2考，积极2、已知f(x)=x?1 g(x)=x?1求f[g(x)] 联想 2解：f[g(x)]=（x?1）?1=x+2x 二、提出问题：已知复合函数如何求 1．若f(x?1?x?2x),求f(x)。 2 解法一（换元法）：令t=x?1则x=t?1, t≥1代入原式有 f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1 ∴f(x)?x2?1 （x≥1） 22解法二（定义法）：x?2x?(x?1)?1∴f(x?1)?(x?1)?1 2 x?1≥1 ∴f(x)=x?1 (x≥1) 1x 2．若f()? 求f(x) x1?x 1 1111 解：令t? 则x?(t?0) 则f(t)?t?∴f(x)= 1t?1观察思考 xtx?11?分析、比t较和鉴(x?0且x?1) 别，积极例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8 求f(x) 讨论 ?a2?92解：（待定系数法） ∵af(x)+b=a(ax+b)+b=ax+ab+b ∴? ?ab?b?8 ?a?3?a??3解之? 或 ? ∴f(x)=3x+2或f(x)=?3x?4 ?b?2?b??4 例三、已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式。 解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1 ? ?k2?4?k??2?k?21则? 或 ? ??思考， b??b?1(k?1)b??1???3?回答 学生 总结 点评:数学中有许多规律存例五、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D在,我们再回到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。 以后将不 解：如图 当P在AB边上运动时, PA=x 断去探索2 D P C 研究. 当P在BC边上运动时 PA=1?(x?1) 2 当P在CD边上运动时PA=1?(3?x) 当P在DA边上运动时PA=4?x x(0?x?1)? P ?x2?2x?2(1?x?2)? ∴y?? 2(2?x?3) A P B 积极调动?x?6x?10?(3?x?4)思维 4?x?独立完成补充： ?13?3?12?21．设f(x?x)?x?x, g(x?x)?x?x 求f[g(x)]。 练习 11313解：f(x?)?(x?)?3(x?) ∴f(x)?x?3x xxx 11g(x?)?(x?)2?2 ∴g(x)?x2?2∴f?g(x)??x6?6x4?9x2?2 学生说一xx说 11?1?x222．已知 f()?x?1?x (x>0) 求f(x) () ∴f(x)?2x?1或f(x)??2x?1 311?x2f() 例四、g(x)?1?2x,f?g(x)?? (x?0) 求2x21?t解一：令t?1?2x 则x? 2(1?t)211?3?1?23?2t?t144?15 ?∴f(t)? ∴f()?221(1?t)1?2t?t21?1?4411?()21114?15 解二：令 1?2x? 则 x? ∴f()?1242()24x23．已知 f(2x?1)?x?2x 求f(x) x 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 板书 函数的解析式 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

课题 函数的表示方法（1） 知识与技能 课型 概念课 授课时间 2011.04.21 教 学 目 标 过程与方法 情感态度与价值观 1．进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式；3．培养抽象概括能力和解决问题的能力． 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 映射的概念和函数的概念 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 在映射的基础上理解函数的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 1．二次函数的形式： 学生活动 学生思（1）一般式：f?x??ax2?bx?c ?a,b,c?R,a?0?； 考、讨论、（2）交点式：f?x??a?x?x1??x?x2?，其中，x1,x2分别是f?x?的图回答 象与x轴的两个交点的横坐标； 回顾思2（3）顶点式：f?x??a?x?x1??y1，其中?x1,y1?是抛物线顶点的坐标； 考，积极2．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。例如，求二次函联想 数解析式的基本步骤是： （1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）； （2）代入已知条件，列方程（组）； （3）通过解方程（组）确定未知系数； 3．分别求满足下列条件的二次函数f(x) 的解析式： （1）图象与x轴的两交点为(2,0)，(5,0)，且f(0)?10； （2）图象的顶点是(?1,2)，且经过原点。 答案：（1）f(x)?x2?7x?10；（2）f(x)??2x2?4x。 例1：函数f(x)在闭区间[?1,2]上的图象如下图所示，则求此函数的解 析式． 【解】由图象可知， y 当?1?x?0时，f(x)??x?1； 观察思考 ?11当0?x?2时，f(x)??x， 分析、比0 2较和鉴?1 2 x ?x?1,?1?x?0,别，积极??1 所以f(x)??1 讨论 ?x,0?x?2.? ?22 例2：（1）已知f(x)?x?4x?3，f(x?1)； 2 （2）已知f(x?1)?x?2x，求f(x)． 22【解】（1）f(x?1)?x?2x；（2）f(x?1)?x?4x?3。 点评: 已知f(x)的解析式，求f[g(x)]时，将f?x?中的x用g(x)代 替，这时f[g(x)]中的g(x)相当于f?x?中x一个取值；已知 f[g(x)]的解析式，求f(x)时，常用配凑法或换元法； 思考，

回答 程x?km?表示为时间t?h?（从A地出发是开始）的函数，再把车速 vkm/h表示为时间t?h?的函数． 150 ?2.5(h)， 【解】从A地到B地所需时间为60学生 150总结 ?3(h)， 从B地到A地所需时间为50 所以，当0?t?2.5时，x?60t； 当2.5?t?3.5时，x?150； 当3.5?t?6.5时，x?150?50(t?3.5)??50t?325； 60,0?t?2.5,0?t?2.5,??60t,点评:数??v??0,2.5?t?3.5, 2.5?t?3.5,所以，x??150,学中有许?50,3.5?t?6.5.??50t?325,3.5?t?6.5.多规律存??在,我们1．若f(3x)?2x2?1，则f(x)的解析式为 。 以后将不22（答案：f(x)?x?1） 断去探索92．已知f(x)?3x?1，g(x)?2x?3，则f[g(x)]? ， 研究. g[f(x)]? 。 答案：f[g(x)]?6x?8， g[f(x)]?6x?1。 112复合函数 例4: 已知f(x?)?x?2?1，求函数f(x)的解析式。 xx 【解】（答案：f(x)?x2?3） 积极调动例5．已知一个函数的解析式为y?x2，它的值域为[1,4]，这样的函数思维 有多少个？试写出其中两个函数。 独立完成 解决例5这类问题，可以先写出自己熟悉的一个函数，然后再改变练习 2定义域。如本题可先写出满足条件的函数y?x,x?[1,2]，注意到函数 图象关于y轴对称，设D是[?2,?1]的任意一个子集，则形如 y?x2,x?D?[1,2]的函数都满足条件。 221、已知a,b为常数，若f(x)=x+4x+3，f(ax+b)=x+10x+24，则5a－学生说一b=_________. 说 22．已知一个函数的解析式为y?x?2x，它的值域为[?1,3]，这样的 函数有多少个？试写出其中两个函数． 答案：(1)5或－1。(2)无数个，如定义域为[1,3]，[?1,1]等。 板书 函数的表示方法（1） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

例3．某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的路 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 函数的表示方法（2） 知识与技能 课型 概念课 授课时间 2011.04.22 教 学 目 标 过程与方法 情感态度与价值观 1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域； 2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系； 3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题． 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 映射的概念和函数的概念 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 在映射的基础上理解函数的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 1．下列函数中，与y?x?2(x?2)相同的函数是（ D ） 学生思考、讨论、x?22x?2回答 ) A．y?x?2 B．y?x?2 C．y? D．y?(回顾思x?2x?2考，积极联想 2．下列图象中，表示函数关系y?f(x)的是（ A ） y y y y O x O x O x O x D B A C 23．作出函数y?x?2x?1,x?[?1,3)的图象。 y 2 2? 解：y?(x?1)?2,x?[?1,3) 0 1 3 x 观察思考 例1：（1）若设函数f(x)?x?1，则此函数的 ?1 分析、比B 较和鉴定义域为 ，f(x?1)? ，函数 别，积极讨论 y?f(x?1)的定义域为 。 （2）若函数y?f(x)的定义域为[1,3)，则函数y?f(x?1)的定义域 为 。 解：（1）由x?1?0得x?1，∴f(x)的定义域为[1,??)， f(x?1)?(x?1)?1?x，∴y?f(x?1)的定义域为[0,??)。 思考， （2）从（1）的解决可以体会，（1）中函数y?f(x?1)的定义域实际可以由x?1?1求出。从形式上看，函数y?f(x)的定义域为[1,3)，即“f”后面的“（ ）”内的范围为[1,3)，故y?f(x?1)的定义域应由1?x?1?3得到，即0?x?2。 例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。已知窗户的外框的周长是l，矩形的水平边的长是x，求窗户的采光面的面积y与x的函数解析式，并指出函数的定义域。 ??【解】由题意AB?x，CD?2l?x?x，AD??2x， 2xx?()22?2，即y???4x2?lx。 ∴y?x?8222D 由问题的实际意义可知： l?x??x?0?2l??0?x?，解得。 ?l?x?x2??2?0???2所以，y与x的函数解析式是 ?C A x B l2lx，函数的定义域是(0,)。 822??kx?73．若函数f(x)?2的定义域为R，求实数k的取值范围． kx?4kx?3y?x2?【解】由题意知，方程kx?4kx?3?0 ① 无实数解， （1）若k?0，则方程①即3?0，无实数解； 2??4?k?0（2）若k?0，则“方程①无实数解”等价于?， 2??(4k)?4k?3?0?解得0?k?33，综上所述，实数k的取值范围为[0,)。 44回答 学生 总结 点评:数学中有许多规律存在,我们以后将不断去探索研究. 积极调动思维 独立完成练习 学生说一说 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 板书 函数的表示方法（2） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

课题 函数的图象 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.25 要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 映射的概念和函数的概念 教具 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思考，积极联想 观察思考 分析、比较和鉴别，积极讨论 思考， 回答 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 在映射的基础上理解函数的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 1．函数的图象：将函数f(x)自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0))，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数y?f(x)的图象． 2．函数y?f(x)的图象与其定义域、值域的对应关系：函数y?f(x)的图象在x轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在y轴上的射影构成的集合对应着函数的值域． 【精典范例】 例1：画出下列函数的图象： 2（1）f(x)?x?1； （2）f(x)?(x?1)?1,x?[1,3)； （3）y?5x，x?{1,2,3,4}； （4）f(x)?x． 【解】 y y O O x x 点评:函数图象可以由直线或曲线（段）构成，也可以是一些离散的点．画函数的图象，必须注意图象的范围、图象经过的关键点、图象的变化趋势等． 例2：画出函数f(x)?x?1的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较f(?2),f(1),f(3)的大小； （2）若0?x1?x2（或x1?x2?0，或|x1|?|x2|）比较f(x1)与f(x2)的大小； （3）分别写出函数f(x)?x2?1（x?(?1,2]）， f(x)?x2?1（x?(1,2]）的值域． 【解】（1）f(1)?f(?1)?f(3) （2）若0?x1?x2，则f(x1)?f(x2)； 若x1?x2?0，则f(x1)?f(x2)； 若|x1|?|x2|，则f(x1)?f(x2)． 点评: 函数的图象能形象地反映函数的性质（定义域、值域、函数值的变化趋势等）． 追踪训练一 1．根据例1（2）中的图象可知，函数f(x)?(x?1)2?1,x?[1,3)的值域为 [1,5) ； 2. 直线x?1与抛物线y?x2?1的交点有 1 个；直线x?a(a?R)与抛物线y?x2?1的交点可能有 1 个； 2y O x x23. 函数f(x)?x与g(x)?的图象相同吗？答： 不同 ． x板书 函数的图象 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

学生 总结 点评:数学中有许多规律存在,我们以后将不断去探索研究. 积极调动思维 独立完成练习 学生说一说 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力

课题 函数的值域 教 学 目 标 重点 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.26 要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。 要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 教师活动 一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。 提出课题：函数的值域 二、新授： 1．直接法（观察法）： 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思x例一、求下列函数的值域：1? y? 2? f(x)?5?1?x 考，积极x?1联想 xx?1?111??1??0 ∴y?1 解：1? y? ∵x?1x?1x?1x?1 x即函数y?的值域是 { y| y?R且y?1}（此法亦称部分分式法） x?1 2? f(x)?5?1?x ∵1?x?[0,??) ∴f(x)?[5,??) 即函数y =f(x)?5?1?x的值域是 { y| y≥5} 2．二次函数法： 2例二、1?若x为实数，求 y=x+2x+3的值域 22解：由题设 x≥0 y=x+2x+3=(x+1)+2, 当 x=0 时 ymin=3 函数无 2最大值 ∴函数 y=x+2x+3的值域是{ y| y≥3} 2?求函数 y?2?4x?x2的值域 222解：由 4x?x≥0 得 0≤x≤4在此区间内 (4x?x)max=4 (4x?x)min=0 观察思考 2∴函数y?2?4x?x的值域是{ y| 0≤y≤2} 分析、比较和鉴3．判别式法（△法） 别，积极x2?5x?6例三、求函数y?2的值域 讨论 x?x?6 2解一：去分母得 (y?1)x+(y+5)x?6y?6=0 (*) 22当y?1时∵x?R ∴△=(y+5)+4(y?1)×6(y+1)≥0,由此得 (5y+1)≥0 1 ??51 检验 y?? 时 x??5?2（代入(*)求根） 65 2?(?) 5 1∵2?定义域 { x| x?2且 x?3} ∴y?? 思考， 5回答 再检验 y=1 代入(*)求得 x=2 ∴y?1 学生 总结 4．换元法 例四、求函数y?2x?41?x的值域 2解：设 t?1?x 则 t≥0 x=1?t 点评:数222代入得 y=f (t )=2×(1?t)+4t=?2t+4t+2=?2(t?1)+4 ∵t≥0 ∴y≤4 学中有许三、小结： 多规律存1．直接法：应注意基本初等函数的值域 在,我们2．二次函数法：应特别当心“定义域” 以后将不3．△法：须检验 4．换元法：注意“新元”的取值范围 断去探索5x?4研究. 例4: 求函数y?的值域。 x?1 【分析】解析式的分子、分母都含变量，我们应设法减少变化的地方； 5x?45(x?1)?99 ??5?【解】y?， x?1x?1x?1 95x?4?0，∴y?5，即函数y?∵的值域为(??,5)?(5,??)． x?1x?1积极调动例5．求函数y?x?1?2x的值域。 思维 121独立完成【解】令u?1?2x （u?0），则x??u?， 22练习 11 2 当u?0时，y??(0?1)?1?， 22 1 ∴函数y?x?1?2x的值域为(??,]． 2学生说一 例4中我们减少了x的个数后就可以求出函数的值域，该方法我们称说 cx?d为分离常数法，容易知道：形如y? (c?0,bc?ad)的值域为 1x2?5x?6综上所述，函数y?2的值域为 { y| y?1且 y??} 5x?x?6(x?2)(x?3)x?36解二：把已知函数化为函数y? ??1?(x?2)(x?3)x?3x?311(x?2) 由此可得 y?1 ∵x=2时 y?? 即 y?? 551x2?5x?6∴函数y?2的值域为 { y| y?1且 y??} 5x?x?6 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 ax?bc{y|y?}；例5通过换元解决根号的问题我们称这种方法为换元法。 a板书 函数的值域 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

课题 函数的概念和图象（1） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.27 1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法． 2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 函数的概念和图象 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 函数的概念和图象 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 1． 函数的定义：设A,B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对学生思考、讨论、于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，回答 回顾思这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y?f(x),x?A．其中输入考，积极联想 值x组成的集合A叫做函数y?f(x)的定义域，所有输出值y的取值集 合叫做函数y?f(x)的值域。 【精典范例】 例1：判断下列对应是否为函数： x?y,其中y为不大于x的最大整数，（1） x?R,y?Z; 2（2）x?y,y?x,x?N,y?R； 观察思考 （3）x?y?x，x?{x|0?x?6}，y?{y|0?y?3}； 分析、比1较和鉴（4）x?y?x，x?{x|0?x?6}，y?{y|0?y?3}． 别，积极6【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数讨论 字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A中的x即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。 点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、 “惟一”。 例2：求下列函数的定义域： x?4 ；（1）f(x)? （2）1?x?x?3?1； x?2思考， 回答 【解】（1）(?4,?2)?(?2,??)；（2）[?3,1]；（3）[?1,2)?(2,??)。 点评: 求函数y?f(x)的定义域时通常有以下几种情况： 学生 总结 ①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； ②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集 合； 点评:数③如果f(x)为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0学中有许多规律存的实数的集合； 在,我们④如果f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部以后将不断去探索分式子都有意义的实数的集合。 研究. 例3：比较下列两个函数的定义域与值域： 22（1）f(x)=(x+2)+1，x∈{－1,0,1,2,3}；（2）f(x)?(x?1)?1． 【解】（1）函数的定义域为{?1,0,1,2,3}∴函数值域为{2,5,10,17,26}； （2）函数的定义域为R，∵(x?1)2?1?1，∴函数值域为[1,??)。 积极调动思维 点评:对应法则相同的函数，不一定是相同的函数。 独立完成追踪训练一 练习 1. 对于集合A?{x|0?x?6}，B?{y|0?y?3}，有下列从A到B 11的三个对应：①x?y?x ；②x?y?x；③x?y?x；其中 23学生说一是从A到B的函数的对应的序号为 ① ② ； 说 3 2. 函数f(x)?的定义域为(??,?3)?(?3,1)?(1,??)； （3）f(x)?x?1?1． 2?x 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 |x?1|?23. 函数f(x)=x－1（x?z且x?[?1,4]）的值域为{?2,?1,0,1,2,3}． 板书 函数的概念和图象（1） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

课题 函数的概念和图象（2） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.28 1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法． 2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 函数的概念和图象 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 函数的概念和图象 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 一、复习引入： 学生思1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 考、讨论、2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 回答 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到回顾思描最少的点却能显示出图象的主要特征？ 考，积极二、讲解新课：函数的表示方法 联想 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等 式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 222 例如，s=60t，A=?r，S=2?rl,y=ax+bx+c(a?0), y=x?2(x?2)等等都是用解析式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要 是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，学生的身高 单位：厘米 观察思考 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 分析、比身高 125 135 140 156 138 172 167 158 较和鉴数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，别，积极列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 讨论 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中 我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图 象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋 势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 思考， 回答

三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元，买 x?{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 Dy=5x，x?{1,2,3,4}. 它的图象由4个孤立点A (1， 5) B C(2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示 B A 例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0

课题 函数的概念和图象（3） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.04.29 1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法． 2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 函数的概念和图象 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 函数的概念和图象 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 x?0,?x学生思例3 画出函数y=|x|=?的图象. x?0.考、讨论、??x回答 解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角回顾思平分线，如图所示. 考，积极说明：①再次说明函数图象的多样性； 联想 ②从例4和例5看到，有些函数在 y 它的定义域中，对于自变量x的不同取 xx?0值范围，对应法则不同，这样的函数通y=1x<0 x常称为分段函数.注意分段函数是一个 函数，而不是几个函数. ③注意：并不是每一个函数都能作x 出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet） ?1，x是有理数，y函数D(x)=?,我们就作不出它的图象. ?0，x是无理数. 例4作出分段函数y?x?1?x?2的图像 观察思考 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，x分析、比即： 较和鉴别，积极??(2x?1)x??2讨论 ?3y?x?1?x?2=??2?x?1 ?2x?1x?1 ? 1 例5作出函数y?x?的图象 x 列表描点： 思考， 回答 {6QK4PLOM2GN-5510-2N'G'M'O'-4L'P'K'Q'-6 K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0， -5.2)(-4.0， -4.3)(-3.0， -3.3)(-2.0， -2.5)(-1.0， -2.0)(-0.4， -3.0)(-0.3， -4.0)(-0.2， -5.0)QPOGNMLK(0.2， 5.0)(0.3， 4.0)(0.4， 3.0)(1.0， 2.0)(2.0， 2.5)(3.0， 3.3)(4.0， 4.3)(5.0， 5.2) 补充： 1．作函数y=|x-2|(x＋1)的图像 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形． 解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时， 19y?(x?2)(x?1)?x2?x?2?(x?)2? 24当x＜2时，即x-2＜0时， 19y??(x?2)(x?1)??x2?x?2??(x?)2?24. 654??1?9x?2??x????2?4 ∴y??? 21?9???x?2x?????24???这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 2． 作出函数y?|x2?2x?3|的函数图像 解：2321-6-4-22468-1-2-3-48642-10-5510-2-4-6?x2?2x?3y??2??(x?2x?3)的图象 x2?2x?3?02x步骤：（1）作出函数y=?2x?32x?2x?3?0（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x?2x?3|的图象 2 板书 函数的概念和图象（3） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

学生 总结 点评:数学中有许多规律存在,我们以后将不断去探索研究. 积极调动思维 独立完成练习 学生说一说 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 函数的单调性（1） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.05.05 1．理解函数单调性概念；2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；3．提高观察、抽象的能力．； 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 证明一些简单函数在某个区间上的单调性 重点 证明一些简单函数在某个区间上的单调性 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 学生活动 1．单调增函数的定义： 学生思 一般地，设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A． 考、讨论、回答 回顾思 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有考，积极f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调增函数，I称为联想 y?f(x)的单调增区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词； ⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义： 一般地，设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A． 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调 减函数，I称 观察思考 分析、比为y?f(x)的单调 减 区间． 较和鉴3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；别，积极讨论 而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。（填＂上升＂ 或＂下降＂） 4．函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设x1?x2 ； （2） 比较f(x1),f(x2)大小 ； 思考， 回答 (3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ . 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间： 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）y??x2?2； 学生 1总结 （2）y?； x ?x2?1, x?0（3）f(x)??． ??2x?2, x?0 【解】 点评:数（图略） 学中有许多规律存（１）函数y??x2?2的单调增区间为(??,0)，单调减区间为(0,??)； 在,我们1以后将不（２）函数y?在(??,0)和(0,??)上分别单调减，即其有两个单调断去探索x研究. 减区间分别是(??,0)和(0,??)． ?x2?1, x?0（３）函数f(x)??在实数集R上是减函数； ?2x?2, x?0? 二．证明函数的单调性： 3积极调动例2：求证：函数f(x)= －x+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数 思维 证明：设x1，x2∈R且x1x1，x2+x1x2+x1>0 所以f(x1) －f(x2)>0即f(x1)>f(x2) 学生说一所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减 说 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 函数的单调性（1） 板书 1．单调增函数的定义 2．单调减函数的定义 设计 3．函数图像与单调性 4．函数单调性证明的步骤 后 记

课题 函数的单调性（2） 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.05.06 1．理解函数单调性概念；2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；3．提高观察、抽象的能力．； 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 证明一些简单函数在某个区间上的单调性 重点 证明一些简单函数在某个区间上的单调性 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 学生活动 一、利用图像写函数的单调区间？ 我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升学生思和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间考、讨论、回答 就是函数的单调减区间． 回顾思追踪训练 考，积极联想 33331．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是（A．(A－∞，．(－∞，]B ]） B．[B．，＋∞[，＋∞)) 4444 33333333A．(－∞，A．(－∞，]]B．[，＋∞B．[)，＋∞)．(－∞，－C．(C－∞，－]]D．[D－．[－，＋∞，＋∞)) 44 44 44 44 3333R[－C．(－∞，－C．若函数(－∞，－]f(x])是D．D．，＋∞[－)，＋∞)2. 上的增函数，对于实数a,b，若a?b?0，则有(A ) 4444 (A)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) (B)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) (C)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) (D)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) 23. 函数f(x＋1)＝x－2x＋1的定义域是[?2,0]，则f(x)的单调递减区 间是__[?1,1]______． 观察思考 分析、比较和鉴?x?1，x?04. 函数y=?的单调减区间为(－∞，0). 别，积极?x?1，x?0?讨论 ax?11(a?)在(?2,??)上的单调性. 5．讨论函数f(x)? x?22ax?2a?1?2a ? ax?1x?2解：f(x)? x?2ax?2a?1?2a1?2a ?1?? x?2x?2 1?2a ?1?x?2思考， ?x2?02 a设?2?x1?x2，则(x2?2)(x1?2)?10,?x11?2a?∴f(x2)?f(x1)x2?2?x1?21?2a1?2a(x1?x2)???(1?2a)x2?2x1?2(x2?2)(x1?2) (x1?x2)(x1?x2)?(1?2a)∵?0 (x2?2)(x1?2)(x2?2)(x1?2)当a?1ax?11(a?)在时，f(x2)?f(x1)，此时函数f(x)?2x?22(?2,??)上是单调减函数； 当a?1ax?11(a?)在时，f(x2)?f(x1)，此时函数f(x)?2x?22(?2,??)上是单调增函数； 如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集： 6: 函数y?1在其定义域(??,0)?(0,??)上是减函数吗？ x分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的x1,x2，并加以说明． 【解】 该命题是假命题；例如x1??1,x2?1时， f(x1)??1,f(x2)?1，显然x1?x2且f(x1)?f(x2)，所以＂函数y?1在其定义域x(??,0)?(0,??)上是减函数＂是不成立的． 点评: 1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域； 2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。 板书 函数的单调性（2） 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

回答 学生 总结 点评:数学中有许多规律存在,我们以后将不断去探索研究. 积极调动思维 独立完成练习 学生说一说 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 复杂函数的单调性证明 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.05.07 1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题． 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 映射的概念和函数的概念 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 在映射的基础上理解函数的概念 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 一．较复杂函数的单调性证明： 学生活动 学生思12例1：判断函数f(x)?x?(x?(0,??))的单调性，并用单调性的定考、讨论、x回答 义证明你的结论． 回顾思12【证明】函数f(x)?x?(x?(0,??))是增函数．证明如下： 考，积极11x22联想 f(x1)?f(x2)?x1?x2??设0?x1?x2，则 x2x1 11 x?x2f(x1)?f(x2)?x12?x2???(x1?x2)(x1?x2)?12 x2x1x1x2 1x?x2 ?x2)(x1??x2)??(x1??1)，x1x2 1x2 1∵0?x1?x2，∴x1?x2?0，∴f(x1)?f(x2)?0， x1?x2??0， x1x2 12即f(x1)?f(x2)，∴函数f(x)?x?(x?(0,??))是增函数． x 1说明：本题中的函数f(x)可视作函数y?x2和y??的和，这两个函 x数在(0,??)内都是增函数，f(x)也是增函数．由此可见：如果两个函观察思考 分析、比数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。 较和鉴二．证明函数的单调性： 别，积极例2：求证：函数f(x)?1?x2?x在R上是单调减函数． 讨论 22f(x1)?f(x2)?1?x1?1?x2 ?(x1?x2)【证明】设 x1?x2，则 2 x2x12x?x21??(x1?x???(x1)2)(1?x2) 2222221?11??x1x1??1?x2x2f(x1)?f(x2)?1?x1?1?x2?(x1?x2) 222 x12?x2x?1?x?x?1?xx?x112212??(x1?x2)?1)?(x1?x2)?(x1?x 22)(222221?x1?1?x1?x1?1?x221?1?x21?x ∵x1?x2，∴x1?x22?0； 2x1?1?x1?x2?1?x2思考， ?(x1?x2)222?x21?x1?0，同理x2?1?x2?0， ∵x1?|x1|?1?x1，∴1?回答 1?x12?x12 2f(x1)?f(x2)，∴f(x)?1?x?x在R上是单调减函数． 例３：(1)若函数f(x)?4x2?mx?5?m在[?2,??)上是增函数，在 (??,?2]上是减函数，则实数m的值为 ； （2）若函数f(x)?4x2?mx?5?m在[?2,??)上是增函数，则实数m学生 总结 的取值范围为 ； （3）若函数f(x)?4x2?mx?5?m的单调递增区间为[?2,??)，则实 数m的值为 ． 解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是x??2 m即???2即m?16； 点评:数8学中有许mm?16???2（２）由题意可以知道即； 多规律存8（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是x??2即在,我们m以后将不???2即m?16； 断去探索8追踪训练一 研究. 1. 函数f(x)是定义域上单调递减函数，且过点(?3,2)和(1,?2)，则 |f(x)|?2的自变量x的取值范围是（ B） (A)(?3,??) (B)(?3,1) (C)(??,1] (D)(??,??) 2. 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与 3f()的大小关系是 小于等于 ． 积极调动43. 函数y=|x+1|的单调递减区间为[－1，+∞)单调递减区间(－∞，－思维 1] 独立完成已知函数单调性，求参数范围： 练习 例4: 已知函数y?f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有 f(x?d)?f(x)，求满足f(1?a)?f(2a?1)的a的取值范围． 【解】∵d?0时，f(x?d)?f(x)，∴函数y?f(x)是减函数， 2学生说一 ∴由f(1?a)?f(2a?1)得：1?a?2a?1，解得a?， 3说 2 ∴a的取值范围是(??,)． ∴x1?1?x1?x2?1?x2?0，∴f(x1)?f(x2)?0，即22 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 3注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为(?1,1)的a的范围又怎样了呢？ 板书 复杂函数的单调性证明 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记 课题 函数的最值 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.05.09 1．了解函数的最大值与最小值概念；2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；3．能求一些常见函数的最值和值域． 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 理解函数的最大值和最小值的几何意义 教具 学生活动 学生思考、讨论、回答 回顾思考，积极联想 观察思考 分析、比较和鉴别，积极讨论 思考， 回答 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 求一些常见函数的最值和值域 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 1．函数最值的定义： 一般地，设函数y?f(x)的定义域为A． 若存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，则称f(x0)为y?f(x)的最大值，记为ymax?f(x0)； 若存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，则称f(x0)为y?f(x)的最小值，记为ymin?f(x0)； 2．单调性与最值： 设函数y?f(x)的定义域为?a,b?， 若y?f(x)是增函数，则ymax? f(a) ，ymin? f(b) ； 若y?f(x)是减函数，则ymax? f(b) ，ymin? f(a) ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数y?f(x)，x???4,7?的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】由图可以知道： 当x??1.5时，该函数取得最小值?2；当x?3时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：(?1.5,3)和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(?4,?1.5)、(4,5)和(6,7)

二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： 2（1）y?x?2x； 1（2）f(x)?，x??1,3?． x【解】 学生 （１）y?x2?2x?(x?1)2?1∴当x?1时，ymin??1； 总结 1（２）因为函数f(x)?在x??1,3?上是单调减函数，所以当x?3时 x 11函数f(x)?取得最小值为． x3点评:数追踪训练一 学中有许1. 函数f(x)?x2?mx?4(m?0)在(??,0]上的最小值（A ） 多规律存在,我们(A)4 (B)?4 (C)与m的取值有关 (D)不存在 以后将不断去探索32. 函数f(x)??x2?x?2的最小值是 ０ ，最大值是 ． 研究. 2 3. 求下列函数的最值： (1)f(x)?x4?1,x?{?1,0,1,2}；(2)f(x)?3x?5,x?[3,6] 析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的 积极调动方法有时和求函数值域的方法是相仿的． 思维 解：(1)f(1)?f(?1)?2;f(0)?1;f(2)?17 独立完成练习 所以当x?0时，ymin?1；当x?2时，ymax?17； (2)函数f(x)?3x?5是一次函数，且3?0 学生说一故f(x)?3x?5在区间[3,6]上是增函数 说 所以当x?3时，ymin?14；当x?6时，ymax?23； 板书 函数的最值 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 课题 利用单调性写函数的最值 教 学 目 标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 课型 概念课 授课时间 2011.05.10 1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题． 初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系 通过积极参与数学学习活动,培养独立思考和合作学习的习惯 难点 理解函数的最大值和最小值的几何意义 教具 设计意图 使学生大概了解激发了学生的学习热情． 培养学生观察、分析能力，从相异的事物中得出普遍性的规律的能力 重点 求一些常见函数的最值和值域 方法 直观演示、引导发现法 教学过程 教师活动 学生活动 含参数问题的最值： 学生思2例３: 求f(x)?x?2ax，x?[0,4)的最小值． 考、讨论、回答 【解】 回顾思f(x)?(x?a)2?a2，其图象是开口向上，对称轴为x?a的抛物线． 考，积极联想 ①若a?0，则f(x)在[0,4)上是增函数，∴?f(x)?min?f(0)?0； 2②若0?a?4，则?f(x)?min?f(a)??a； ③若a?4，则f(x)在[0,4)上是减函数，∴f(x)的最小值不存在． 点评: 含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能 解了我们再进行讨论！ 利用单调性写函数的最值？ 观察思考 我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[a,c]上是图像连续分析、比的，且在[a,b] 是单调递增的，在[b,c]上是单调递减的，则该函数在区较和鉴别，积极讨论 x?b[a,c][a,c]间上的最大值一定是在处取得；同理，若函数在区间上 是图像连续的，且在[a,b] 是单调递减的，在[b,c]上是单调递增的，则 该函数在区间[a,c]上的最小值一定是在x?b处取得． 思考， 回答 1 １．函数f(x)?的最大值是 ( D) 1?x(1?x) 4534(A) (B) (C) (D) 学生 5443总结 222. y=x+x?1的最小值为( C ) 3A.0 B. C.1 D不存在. 4 23. 函数f(x)?ax?2ax?1(a?0)在区间[?3,2]上的最大值为4，则点评:数学中有许3多规律存a?________． 8在,我们以后将不?x?3(x?0)断去探索4.函数f(x)??的最大值为 5 . 2?5?x(x?0)研究. 25．已知二次函数f(x)?ax?2ax?1在??3,2?上有最大值4，求实数a 的值． 解：函数f(x)?ax2?2ax?1的对称轴为x??1， 积极调动3当a?0时，则当x?2时函数取最大值4，即8a?1?4即a?； 思维 8当a?0时，则当a??1时函数取得最大值4，即1?a?4，即a??3 独立完成练习 3所以，a?或a??3。 8 学生说一说 追踪训练 培养学生的想象能力， 鼓励学生观察、分析 培养学生的探究能力和动手操作能力 培养学生的应用能力 板书 利用单调性写函数的最值 设计 例1 例2 例3 例4 例5 后 记

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