数字信号处理第二章作业评讲

1． 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。

(1)(3)x(n)?an(|a|?1)n(2)?1?x(n)???u(n)?2?x(n)?1n,(n?1)n?1?x(n)????u(?n?1)?2?(4)(5)(6)x(n)?nsin(?0n)x(n)?Arn,n?0(?0为常数）,0?r?1cos(?0n??)u(n) 解：(1) 由Z变换的定义可知：

?X(z)??an???n?1?z??n??an????nz?n???an?0nz?n??an?1nzn???an?0nz?n?az1?az2?11?az?1?a2?1(1?az)(1?az)(a?1)z?1a(z?)(z?a)a收敛域： az?1,且az1a?1 即： a?z?1a

极点为： z?a,z?

零点为： z?0,z??解：(2) 由z变换的定义可知：

X(z)??(n?????12)u(n)zn?n

??n?0(112)zn?n

?1?12

z?1收敛域： 111??1 即： z? 2z2 极点为： z?12 零点为： z?0

解:（3）

?X(z)???(1?1)nu(?n?1)z?n?n???2??(1n?nn???2)z ? ???2nzn ??2zn?11?2z

?1

1?1?12z 收敛域： 2z?1 即： z?12

极点为： z?12 零点为： z?0

?解： (4) X(z)??1?z?n n?1n??

??dX(z)n?1?dz??1?n?1n(?n)z??(?z?n?1)?1n?1z?z2|z|?1

?X(z)?lnz?ln(1?z)?lnz1?z

因为X(z)的收敛域和dX(z)dz的收敛域相同，故X(z)的收敛域为|z|?1。 极点为：z?0,z?1

解：(5) 设 y(n)?sin(?0n)?u(n)

则

?Y(z)??y(n)?z?n?zsin?0n???(z?ej?0)(z?e?j?0)，|z|?1而 x(n)?n?y(n) ∴

2X(z)??zd(z?1)sin?0dz?Y(z)?z(z?ej?0)2(z?e?j?,|z|?1

0)2因此，收敛域为 ：z?1

，

有

极点为： z?ej?0,z?e?j?0 （极点为二阶）零点为： z?1,z??1,z?0,z??

解：(6)

x(n)?A2e(reA2j?j?j?0)u(n)?znA2A2e?j?(re?j?0)u(n)?1?A??cos??zrcos(???0)?n? X(z)?ez?rej?0?e?j?zz?re?j?0?1?2zrcos?0?rz?12?2 则X(z) 的收敛域为 ： z?|r| 。

3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X(z)的z反变换1? (1) X(z)?1?1214zz?1, z??212

（1）（i）长除法：

1?X(z)?1?1214zz?1??211?12z?1

极点为z??1/2,而收敛域为：|z|?1/2, x(n)为因果序列，所以分子分母要 因而知

按降幂排列 1?

1?12z?112z?1?14z?2????

11?12z?1

??1212zz?1

?1?14z?2 14z?2

?2X(z)?1??12z?1?n14z???? ??n?01?????2??

?n?z所以：

1??x(n)????2??n?u(n)

（1）(ii)留数定理法： x(n)?122?j?111?12z?1czn?1dz, 设 c为

z?内的逆时针方向闭合曲线：

1z?12 当n?0时，

11?12z12?1zn?1?zn在c内有

z??一个单极点

??nn?z??1?????, n?0 则x(n)?Res??1?2??z???2???z??12

由于 x(n) 是因果序列 ，

故 n?0 时， x(n)?0

?1?所以 x(n)?????u(n)?2?n

（1）(iii)部分分式法：

1?1214zz?1 X(z)?1?12??211?12z?1?zz?12

因为 z?

n?1? 所以 x(n)?????u(n)?2?

4. 有一右边序列 x(n)，其 z 变换为

X(z)?(1?112z?1

?1)(1?z)(a) 将上式作部分分式展开(用 z?1表示)，由展开式求

x(n) 。

(b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 x(n) ,并说明所得到的序列与(a)

所得的是一样的。

解：(a) 因为X(z)?1??112z?1?21?z?1

且x(n)是右边序列

1? 所以 x(n)?(2????)u(n)

?2?n(b)

X(z)?(z?z122)(z?1)3z?1212 ?1?2(z??1

)(z?1) ?1?z?2?21z?12n

?1?则 x(n)??(n)???u(n?1)?2u(n?1)?2??1? ? ( 2 ???)u(n)?2?n

注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。 6. 有一信号y(n),它与另两个信号x1(n)和x2(n)的 关系是: y(n)?x1(n?3)?x2(?n?1)

?1??1? 其中x1(n)???u(n) ，x2(n)???u(n)

?3??2?n 已知Z[au(n)]?nn11?az?1 ，z?a

利用 z 变换性质求 y(n) 的 z 变换 Y(z) 。

解：根据题目所给条件可得：

? x1(n)???11?12z?1Z x2(n)???11?13z?1

?x1(n?3)???Zz1?312 z?z?112

Z?1 x2(?n)???X2(z)?11?13z z?1?13

?? x2(?n?1)?Zz1??113 z?3

z而 y(n)?x1(n?3) ? x2(?n?1)

所以 Y(z)?Z?x1(n?3)??Z?x2(?n?1)?

?1?z312?z?1z1??113

z??3z3(z?3)(z?12

)分析：

(1) 注意移位定理 ：?1 x(n)?X(z) x(?n)?X(z x(n?m)?zm)-mX(z) x(?n?m)?zX(z?1)

（2） y(n)?x1(n)*x2(n) 则 Y(z)?X1(z)X2(z) 。7. 求以下序列x(n)的频谱X(ej?)。 (1) ?(n?n0) (2) e?anu(n) (4) e?(??j?)nu(n) (5) e?anu(n)cos(?0n)

0解：

对题中所给的x(n)先进行z变换

再求频谱得：

(1) ???X(z)?Z?x(n)??n0 ?Z??(n?n0)? ?z

?X(ej?)?X(z)|z?ej??jn0?

?e(2)???X(z)?Ze??anu(n)?1?

?j?11?e?az?X(e)?X(z)|z?ej?11?e?a ?(3)???

e?j?X(z)?Ze??(??j?0)nu(n)?1?

?11?e?(??j?0)z?X(ej?)?X(z)|z?ej?11?e??

(4)??? ?

?j(???0)?eX(z)?Ze??anu(n)cos(?0n)?

?1?z1?2z?1?1e?acos?0?2e?acos?0?ze?2a

∴X(ej?)?X(z)|z?e

j??1?e1?2e?j??j?e?acos?0?2j?e?acos?0?ee?2a

9．求x(n)?R5(n)的傅里叶变换。 解：根据傅里叶变换的概念可得：

X(ej?)?DTFT?RN(n)? ??j? N?j??jN21N?1?1?en?0?j? n

?1?e1?e?ee??eejN2??e?e?jN2?

?j?21j?21?j?2N?1???j?????2??e?sinN?sin?,22? ? ?? ? ? 2k?,k为整数?N, ? ?2k????????

? 当??2k?时， X(ej?)? sinN?j??2?sin??2? ?

argX(e)?N?1???????argsinN?2?2???sin??2??

?N?1?2???????n? , N?2?

当N?5 时， 即可得到所需的 argX(ej?2?n?? ? Nj??n?1?

X(e) 和) 。10. 设X(ej?)是如下图所示的x(n)信号的傅里叶变换，

不必求出X(ej?)，试完成下列计算：

(a) X(ej0) (b)

??????X(ej?)d?

(a) X(e(b) j0)?j??x(n)en????j0?n?j??x(n)?6n???????X(e)d??????X(e)ej0d?

?2 ? x(0) ?4 ?11．已知x(n)有傅里叶变换X(ej?)，用X(ej?)表示下列信号的傅里叶变换。

(a) x1(n)?x(1?n)?x(?1?n)

解：

(a) DTFT?x(n)??X(ej?)

DTFT?x(?n)??X(eDTFT?x(1?n)??e?j?)

?j??j?X(e)

DTFT?x(?1?n)??ej?X(ej??j?)

DTFT[x1(n)?]Xe(?j??e ?2X(e?j?)cos?

)12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n?1)

(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；

(b) 求此系统的单位抽样响应；

(c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。

(a) 对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得： Y(z)?z?1Y(z)?z?2Y(z)?z?1X(z) H(z)?Y(z)X(z)?z1?z?1?1?z?2?z(z?a1)(z?a2)

零点为z=0，z?? 极点为z?a1?0.5?1?5??1.62 z?a2?0.5?1?5???0.62

因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。

（b） 因为 H(z)?z(z?a1)(z?a2)?1a1?a2?zz????z?a2??z?a1

??11???a1?a2?1?a1z?11?a2z?1? ???1n?nn?n??az?a?2z???1a1?a2?n?0n?0??1所以 h(n)?1a1?a2?an1?a2n?u(n)

式中 a1?1.62 , a2??0.62由于H(z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。 (c) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选

H(z)的收敛区域为

a2?z?a1，即

0.62?z?1.62，则

H(z)??zz???? a1?a2?z?a1z?a2?1中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果

序列。

所以 H(z)?1a1?a2?????1??n???a1zn?n??n?0a2zn?n???

则有h(n)?1a2?a1?a?n1u(?n?1)?a2u(n)nn?n

??0.447?(1.62)u(?n?1)?(?0.62)u(n)? 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。

15. 有一个用以下差分方程表示的线性移不变因果系统

2 y(n)?2ry(n?1)cos??ry(n?2)?x(n)

当激励x(n)?anu(n)时,求系统的响应。请用z变换来求解。 解:

已知x(n)?anu(n),

则 y(n)?2ry(n?1)cos??ry(n?2) ?au(n)n2

将上式进行Z变换，得：

Y(z)?2rzY(z)cos??rzY(z)?12?2

? 11?az?1

因此

Y(z)?1(1?2rz?1

2?2cos??rz1)(1?az?1) ?(1?rej?z?1)(1?re?j?z?1)(1?az?1)

?????(re?m?0j?)zm?m????j?l?l??(re)z??????l?0???k?k? ? ? ? az??k?0????

???m?0l?0?rk?0m?le(j?m?)lazk?(?l?m)

k令n?m?l?k，

则 Y(z)???????n?0l?0k?0rn?kej(n?2l?k)?azk?n

所以y(n)?????l?0k?0rn?kej(n?2l?k)?ak

18．下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，

求系统函数。当 b0?0.5,b1?1,a1?0.5时，求系统单

位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

解:由图示可得

x1(n)?x(n)?a1x1(n?1)

y(n)?b0x1(n)?b1x1(n?1)

则 y(n)?ky(n?1)?b0x1(n)?b1x1(n?1)?kb0x1(n?1)?kb1x1(n?2)

?b0x(n)?(a1b0?b1?kb0)x1(n?1)?kb1x1(n?2)

?b0x(n)?(a1b0?b1?kb0)x(n?1)

?a1(a1b0?b1?kb0)x1(n?2)?kb1x1(n?2) 由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

所以 a1b0?a1b1?ka1b0?kb1?0?k??a1

2则有

y(n)?a1y(n?1)?b0x(n)?(a1b0?b1?a1b0)x(n?1)

?b0x(n)?b1x(n?1)

即 Y(z)(1?a1z?1)?(b0?b1z?1)X(z)

所以 H(z)?Y(z)X(z)?b0?b1z1?a1z?1?1

当 b0?0.5,b1?1,a1?0.5 时：b0?b1z1?a1z?1H(z)??1?0.5?z?1?11?0.5z

?0.51?0.5z?1?z?1?11?0.5z

因为此系统是一个因果稳定系统 ; 所以其收敛

域为 z?0.5

?h(n)?0.5??0.5?u(n)??0.5?nn?1u(n?1)

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