利率期限结构下固定收益债券的定价_刘筱新

内蒙古农业大学学报(社会科学版)

JournalofInnerMongoliaAgriculturalUniversity(SocialScienceEdition)

2006年第4期(第8卷 总第30期)

No.4 2006(Vol.8 SumNo.30)

*

利率期限结构下固定收益债券的定价

p 刘筱新,唐万生

(天津大学管理学院,天津300072)

摘 要:本文研究了企业发行零息债券进行融资过程中的债券定价问题。假设无风险利率和债券息差过程是一个离散的马尔科夫过程,给出了此种条件下固定收益债券的定价模型。模型针对无风险利率的期限结构问题和利率的均值回归特性,利用模拟的方法得到远期瞬时无风险利率。并利用企业信用评级的方法,得到企业债券的信用矩阵。同时,考虑了破产下的债券补偿问题,从而得到企业固定收益债券的定价。关键词:债券定价;债券息差;马尔科夫链;破产概率;无风险利率

中图分类号:F830.91 文献标识码:A 文章编号:1009-4458(2006)04-0078-03

一、引言

固定收益证券)般也称为债券,它是一种要求借款人按预先规定的时间和方式向投资者支付利息和偿还本金的债务合同。企业债券和股票一样是企业进行市场融资的一种基本方式,并具有抵税、财务杠杆和防止企业控制权分散等股票所没有的作用。因此,在成熟的资本市场中,企业债券占有举足轻重的地位,企业债券市场和股票市场一起构成了证券市场的有机整体,两者互为补充,协调发展。经研究机构调查表明,美国企业在债券市场和股票市场融资的资本比例为7:3。然而在中国,由于无风险利率和债券息差的金融管制,企业债券的系统风险和非系统风险得不到应有补偿,所以,中国市场上的债券融资所占比例极小。但是,债券融资在企业调节资本机构,提高股东收益方面有着特殊作用,国内企业债券融资额必将在不远的将来大规模增长。

研究企业固定收益债券的方法有很多种,[1]最早提出了契约理论下债券定价问题,[2,3,4]论述了无风险利率和债券息差在符合马尔科夫性质下的定价模型,并将模型得到的价格数据与市场数据进行比较,忽略交易摩擦,在短时期内是比较符合,但是在长期债券定价中,误差比较大。问题产生的原因有两个:第一,无风险利率过程并不是完全的布朗运动,利率不能是负值,也不可能很大,而是具有均值回归性质的,也就是说,无风险利率应该是围绕某一个值上下波动的,在偏离这个值的情况下,具有向这个均值运动的趋势。这个均值,也就是市场均衡情况下资本的成本。第二,没有考虑到债券到期前企业破产的情况或者在考虑到企业破产时没有考虑到企业的清算价值,使得债券定价高于或低于其实际价值。

型。

本文在考虑了企业破产概率的情况下,利用利率期限结构和企业信用评级的方法,得到企业固定收益零息债券的定价模

二、传统模型与改进模型

传统的企业债券定价模型是根据预测现金流的折现方法,也就是净现值方法得到债券的交易价格。计算公式如下:

p=E

cm

+n=1(1+r)(1+r)N

(1)

这里N为债券发行的期数,c为每期期末的利息收益,m为最后一期的返回票面价格,r为投资者的期望收益率,也称为固定折现率。

传统的现金流定价模型没有考虑到由于企业经营状况及其它原因所产生的企业现金流折现率的变化、利率的期限结构以及企业破产概率下的偿还等问题,使企业债券的发行价格与实际价格有相当大的溢价,风险不能得到计算和控制,从而债券不具备投资和购买价值,企业债券的发行和流通推广,以及在二级市场上的交易受到障碍。所以,需要对企业债券定价模型做出修改,发现债券的真实价格。

假设一个企业需要债券融资而发行零息债券,任何含息债券都可以认为是在不同到期日下的零息债券的叠加,为了简化讨论,可以认为债券在持有期间是不支付利息的。债券建模时,使用离散的交易时间,根据债券的融资期限,划分为离散的交易期。同时得到无风险利率过程rn和债券息差过程Rn都是一个离散的马尔科夫过程。

*收稿日期:2006-05-26

作者简介:刘筱新(1982-),男,江苏南通人,天津大学管理学院研究生,研究方向:金融工程。

p 刘筱新 利率期限结构下固定收益债券的定价 经 济

由此可以得到,一个面值为1,发行N期的零息债券的发行价格:

p=N(2)

0(1+rn+Rn)

n=1

这里考虑了利率期限结构和债券息差的变化,所得到的每一期期望收益率是随时间而变的,但在这里假设企业在债券持有期间是没有破产的,没有考虑到企业破产时的情形。由于假设无风险利率过程、债券息差过程都是马尔科夫过程,且企业都存在着破产概率,所以,模型得到的零息债券当期价格与/真实价格0还是存在价差的,为了得到零息债券价格,需要利用马尔科夫过程的性质,对模型(2)作一些修改。

央行制定的无风险利率是根据整个经济环境动态调整的,同时,利率过程也有自身的期限结构,本文借用Pliska的利率二项式模型,利用二叉树的性质讨论利率过程。因为利率的变化不完全是随机游走的,而是均值回归型的,利率的变化应该在其均衡状态下的理论利率附近波动。同时,根据货币的时间价值,利率是不能为负,所以无风险利率是一个非负的均值回归的马尔科夫过程。

假设在每一期内的短时期(假设每一期划分为S个短时期),无风险利率以概率Pu=q向上变动一个利率变动单位(用d表示),概率Pd=1-q向下变动一个利率变动单位。如果变动可能性近似服从正态分布N(L,R2),可以得到在无风险利率状态转移概率

i-L

piu(r)=Pr{rn+1=i-d|rn=i}=1-5()

pid(r)=Pr{rn+1=i+d|rn=i}=5(

)(3)

现在开始对企业债券的定价重新进行建模。零息债券的当期价格就是到期日的票面价格的折现值,其间还要考虑破产状态下的风险补偿。

假设一个N期的零息债券,在债券发行期企业被评为k级:

p=

N

0(1-pnkM(R))

N

n=1

0(1+E(rn)+E(Rn))

+E

N

n

epn(R)

i=1

n=1

0(1+E(ri)+E(Ri))

(5)

其中pnkM是息差的n步概率转移矩阵的从状态k到状态M

的转移概率,代表在第n期破产的概率。

等式右边的第一个式子,计算了企业在债券融资期间未破产时的价值的现值,而第二个式子则对过高的风险补偿溢价做出向下调整,提高债券的现值,使之符合收益的期限结构。

E(Rn)可以由债券息差的概率转换矩阵计算得到,令d0,d1,,dM-1代表不同的企业级别所应补偿的息差,其中d0=0,可以得到

E(Rn)=Epnki(R)di,

i=1M-1

(6)

无风险利率是一个服从二项式模型的均值回归的马尔科夫过程。当企业债券是短期融资债券时,E(rn)可以通过列举所有可能求均值得到,但是当企业发行长期债券融资时,利率过程的可能性是以几何级数增长的,不可能得到规范的数学表达式,需要用蒙特卡洛模拟的方法求出期望。

求E(rn)算法如下:1、设定企业发行债券时的无风险利率r0,利率变动单位大小d,以及正态分布,N(L,R2),以及模拟次数k。

2、当债券未到第n期,在第j期,若rj=0,则rj+1=d;若rj=iX0,则rj+1以概率pid(r)达到i-d,以概率piu(r)达到i+d。重复S次。

3、当债券到第n期,得到了此时的无风险利率rn。4、重复过程2,3,模拟k次。5、求出均值,得到E(rn)。

综上所述,我们可以依据模型(5)和以及求得的变量rn,Rn,得到债券的发行价格。

pou(r)=1

可以从历史数据得到无风险利率在均衡状态下的理论值L和波动率R,其中略去利率可能为负值的情形。

对于债券息差过程,根据企业的经营状况的不同,企业评级机构据此为企业评级,从而指导投资者进行投资组合选择,并对不同的企业等级设定不同的企业债券息差,用于补偿风险。假设企业有M个等级,其中0代表无风险利率,1,2,,,M-1代表不同的企业风险等级,M代表企业破产G。对应于不同的企业风险等级,相应的得到不同的债券息差。可以得到一步转移概率矩阵,其中

Pij(R)=Pr{Rn+1=j|Rn=i}(4)代表企业等级从状态i到状态j的一步转移概率,在这里假定转换矩阵是平稳的,即不随时间改变,由评级机构的统计得来。

如果发行债券的企业在债券未到期前破产,那么,债券的到期收益不能预期支付。默顿等人研究企业破产问题时,假设破产企业在破产时刻是没有价值的,所有权益和资本已经耗尽。实际情况是,企业因为不能归还到期债务而申请破产或者被强制破产,企业的固定资产将被拍卖和收购,所得将用于债务的赔偿,所以,破产情况下的债券在破产日得到的赔偿是一个随机变量,不同行业的不同企业的固定资产是不一样的,且拍卖和收购价格也不尽相同。可以令这个随机变量的期望为e,在破产的当期归还。

三、数值例子

假设初始无风险利率r0=0.045,无风险利率的过程服从N(0.04,0.042),S=4,利率单位变动大小d=0.005。根据信用评级机构,企业破产时能收到的债券期望收益E=0.02,同时可以根据评级机构的统计数据,得到信用等级转换矩阵

0.95810.03530.00060.00120.00700.95650.02990.00440.00090.02270.9205G=

0.452

0.00020.00330.05950.86930.00030.00140.00670.077300.00220

0.00110.00240.004300

0.00220.01300

0.00060.00140.0002

0.00740.00260.00010.00060.05300.01170.01120.00180.80530.08840.01000.01060.06480.83460.04070.05200.02380.11240.64860.19790

1.和息差向量为(0.00360.00730.01430.02540.03690.06090.11430.755)T。从而可以到各个等级的零息债券的现值。

79

内蒙古农业大学学报(社会科学版) 2006年第4期(第8卷 总第30期)期限RISKFREEAAAAAABBBBBBCCC期限RISKFREEAAAAAABBBBBBCCC

10.95820.95470.95120.94380.93150.90740.84000.660060.78340.76220.73960.68580.55820.38950.19370.1770

20.91880.91190.90500.88970.86170.80710.65770.379470.75290.72780.70070.63500.48200.30870.16270.1843

30.88240.87190.86100.83780.78380.69970.48610.230780.72390.69480.66270.58450.41030.24470.14970.1903

40.84770.83380.81950.78660.71220.59010.34870.176590.69600.66270.62530.53400.34530.19700.14650.1947

50.81490.79730.77910.73640.63660.48470.25250.1668100.66940.63140.58870.48520.28840.16400.14790.1977

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可以发现,评价等级比较低的债券,如级债券,其现值有可能随时间的增长而增长。原因就是等级比较低的垃圾债券,它的期望收益率比较高,且有可能随着时间的增长而使等级变高的可能性增加,从而得到溢价收入,同时,低等级债券的提前破产概率很大,这部分的补偿因素也被考虑在内。

综上,本文以马尔科夫过程探讨企业固定收益债券的定价问题,考虑了无风险利率的期限结构和企业破产概率,同时,结合债券的风险计算了债券息差,考虑的方面比较全面,改进了传统净现值法的一些缺点,为固定收益债券的定价方法做了一个很好的参考和比较。t

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765.41亿美元(http://www.77cn.com.cn),而2005年10月15日中国人民银行决定上调境内美元存款利率到2.5%又无疑会对居民持有外汇产生积极作用,进而推动境内外汇储蓄额进一步增长。然而,我国唯一对外资开放的中国资本市场的国际化部分)))B股市场总市值不足100亿美元。由此可见,B股市场还不具备吸引闲置外汇资金、提高资金使用效率的功能,我们距离资本市场国际化还有相当大的距离,同时这也意味着外汇储蓄投资缺乏有效/出口0,因此合理利用外汇储蓄资源关系到我国资本市场的国际化进程。

针对我国资本市场的发展现状,实现资本市场国际化应该采取安全优先,兼顾效率的策略,选择由政府主导型向市场决定型转变的渐进式发展模式。首先,将B股市场作为我国资本市场国际化的桥梁,可以在政策指导下放开B股市场的准入限制,扩充市场容量以吸收机构投资者进入,在壮大B股市场的同时实现外汇储蓄的有效分流,提高外汇资金配置效率。其次,强化B股市场融资功能,使B股市场的交易对象不仅包括股票(B股),也可包括国债、公司债券以及以外币证券市场为投资对象的投资基金,条件成熟后进行外国证券境内上市的试点。这不仅可以更广泛地吸引多渠道资金进入中国资本市场,也有利于借鉴国外资本市场发展经验,推动我国资本市场国际化进程。最后,在资本市场全面开放阶段,建立与金融全球化相适应的监

管体系,在取消外汇管制和人民币可自由兑换前提下,使国内外证券机构平等竞争,鼓励外国企业到中国股票市场发行股票,允许国内投资者购买外国证券,最终实现依靠市场机制完成资本市场的国际化进程。

总之,从长期来看,人民币汇率的调整绝不是一蹴而就,它涉及到汇率制度、汇率形成机制和金融体系改革之间的协调和配合,这必然会使我国资本市场的发展面临更为严峻的挑战。因此在关注资本市场资源配置效率的同时,我们应该特别注意汇率变动给资本市场带来的影响,通过不断改善资本市场功能提高市场活力进而化解汇率风险,推动我国资本市场尽早融入国际资本市场体系。t参考文献:

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/neli.html