黄冈中学初高中衔接教材 初高中数学衔接教材

黄冈中学

初高中数学衔接教材

{新课标人教A版}

第一部分如何做好初高中衔接

第二部分现有初高中数学知识存的“脱节”

第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

第四部分分章节讲解

第五部分衔接知识点的专题强化训练

第一部分，如何做好高、初中数学的衔接

● 第一讲如何学好高中数学●

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化

1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。

二不良的学习状态

1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。

3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。

5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。

三科学地进行学习

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

１

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。

2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。

第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”

２

３ 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a >

2 乘法公式：

⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

４ ⑵立方差公式：3322

()()a b a b a ab b -=-++

⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+

⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±

3 分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程ax b =解的讨论

①当0a ≠时，方程有唯一解b x a

=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解

③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5 二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6 不等式与不等式组

（1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

（4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

５ ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7 一元二次方程：2

0(0)ax bx c a ++=≠

①方程有两个实数根? 240b ac ?=-≥ ②方程有两根同号? 1200c x x a ?>???=>??

③方程有两根异号? 1200c x x a ?>???=

④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a +=-

= 2

22121212()2x x x x x x +=+-, 221212124()4b ac x x x x x x a a

?--=+-== 3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ??+=+-+=++-??

8 函数

（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k <0， b 0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。

④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。

（4）二次函数：

６ ①一般式：22

24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a =- 顶点是2

4,)24b ac b a a

-（－； ②顶点式：2

()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -； ③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点

（5）二次函数的性质

①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a =-

对称。 ②0a >时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a

=-）右侧；y 的值随x 值的增大而增大。当2b x a

=-时，y 取得最小值244ac b a - ③0a <时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而增大；在对称轴（2b x a

=-）右侧；y 的值随x 值的增大而减少。当2b x a

=-时，y 取得最大值244ac b a - 9 图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 10 平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。

（2）平面直角坐标系内的对称点：设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点，

①若M 和'M 关于y 轴对称，则有1212

x x y y =-??=?。 ②若M 和'M 关于x 轴对称，则有1212

x x y y =??=-?。

７ ③若M 和'M 关于原点对称，则有1212

x x y y =-??=-?。 ④若M 和'M 关于直线y x =对称，则有1212

x y y x =??=?。 ⑤若M 和'M 关于直线x a =对称，则有12122x a x y y =-??

=?或21122x a x y y =-??=?。 11 统计与概率：

（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成10N A ?的形式，其中A 大于等于1小于10，N 是正整数。

（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

（5）平均数：对于N 个数12,,,N x x x ，我们把1N (12N x x x +++)叫做这个N 个数的算术平均数，记为x 。

（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

（7）中位数与众数：①N 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

（8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。

（10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P （必然事件）1=；不可能事件发生的概率为0，记作P （不可能事件）0=；如果A 为不确定事件，那么0()1P A <<

第四部分分章节突破

1.1 数与式的运算

1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式

1.1.3 二次根式

1.1.４分式

1．2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形

８

９ 3.1.1．平行线分线段成比例定理

3.1.2相似形 3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心”

3.2.2 几种特殊的三角形

3．3圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系

3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；

①若1，

即24x -+＞4，解得x ＜0，

又x ＜1，

∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，

即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，

即24x -＞4， 解得x ＞4．

又x ≥3，∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为

x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴

上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x

－1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，

即|PB |＝|x －3|． 1 3 A B x 0

4 C D x P

|x －1|

|x －3| 图1．1－1

１０ 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为

|P A |＋|PB |＞4．

由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．

练 习

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >

（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()

a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b a b b -=-+-．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222(1)(1)x x x ??-+-??

=242(1)(1)x x x -++

=61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++

=33(1)(1)x x +-

=61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

练 习

1．填空：

（1）221

1

1

1

()9423a b b a -=+（ ）；

（2）(4m + 22)164(m m =++ )；

（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若21

2x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （

）

１１ （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116

m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212

x x +

+，222x xy y ++，2a 等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数

式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等． 一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式2a 的意义

2a a ==,0,,0.a a a a ≥??-

（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <．

解： （1）1223b b =；

（2）2(0)a b a b a b a ==≥；

（3）633422(0)x y x y x y x ==-<．

例2 计算：3(33)÷-．

解法一：

3(33)÷-＝333

- ＝3(33)(33)(33)

?+-+ ＝33393

+- ＝3(31)6

+ ＝312+． 解法二：

3(33)÷-＝333- ＝33(31)- ＝131- ＝31(31)(31)+-+ ＝

312+．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1）1211-和1110-； （2）

264+和226－. 解： （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-=

==++， 1110(1110)(1110)111101111011

10--+-=

==++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-． （2）∵226(226)(226)2226,1226226

=

==－－+－++ 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

∴264

+＜226－. 例4 化简：20042005(32)(32)+?-． 解：20042005(32)(32)+?-

＝20042004(32)(32)(32)+?-?-

＝2004(32)(32)(32)??+?-?-??

＝20041(32)?- ＝32-．

例 5 化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x +-<<．

解：（1）原式5454=++

22(5)2252=+??+

2(25)=- 25=-52=-．

（2）原式=21()x x -1x x =-， ∵01x <<， ∴11x x

>>， 所以，原式＝1x x -． 例 6 已知3232,3232x y -

+==+

-，求22353x xy y -+的值 ． 解： ∵223232(32)(32)103232

x y -++=+=-++=+-， 323213232

xy -+=?=+-， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=． 练 习

1．填空： （1）1313

-+＝__ ___； （2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___；

１ （3）4246543962150-+-=__ ___；

（4）若52x =，则11111111

x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __． 2．选择题： 等式

22

x x x x =--成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x << 3．若22

111

a a

b a -+-=+，求a b +的值． 4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B

具有下列性质： A A M B B M

?=?； A A M B B M

÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式 像a

b c d

+，2m n p m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2

x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)

A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=??=? 解得 2,3A B ==．

例2 （1）试证：111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910

+++???； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2

n n +++

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．

２ （2）解：由（1）可知

1111223910

+++??? 11111

(1)()()

223910=-+-++- 1

110=-＝9

10．

（3）证明：∵1

1

1

2334(1)n n +++??+

＝111111

()()()23341n n -+-++-+

＝1

1

21n -+，

又n ≥2，且n 是正整数，

∴1

n ＋1 一定为正数，

∴1

1

12334(1)n n +++??+＜1

2 ．

例3 设c

e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．

解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得

2e 2－5e ＋2＝0，

∴(2e －1)(e －2)＝0，

∴e ＝1

2 ＜1，舍去；或e ＝2．

∴e ＝2． 练 习

1．填空题：

对任意的正整数n ，1

(2)n n =+ (11

2n n -+)；

2．选择题：

若22

3x y x y -=+，则x

y ＝

（ ） （A ）１ （B ）5

4 （C ）4

5 （D ）6

5

3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y

x y -+的值．

4．计算1

111

...12233499100++++????．

习题1．1

A 组

1．解不等式：

(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；

(3) 116x x -++>．

２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．

3．填空：

３ （1）1819(23)(23)+-＝________；

（2）若22(1)(1)2a a -++=，则a 的取值范围是________；

（3）1111

1

1223344556++++=+++++________．

B 组

1．填空：

（1）12a =，13b =，则2223352a ab

a a

b b -=+-____ ____；

（2）若2

220x xy y +-=，则2

2

223x xy y x y ++=+__ __；

2．已知：11,23x y ==，求y y

x y x y --+的值．

C 组

1．选择题：

（1）若2a b ab b a ---=---，则 （

） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0

b a << （2）计算1

a a -等于 （

） （A ）a - （B ）a （C ）a -- （D ）a -

2．解方程2211

2()3()10x x x x +-+-=．

3．计算：1111132435911++++????．

4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++????++＜1

4 ．

1.1.1．绝对值

1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －18

1.1.2．乘法公式

1．（1）1132a b - （2）11

,24 （3）424ab ac bc --

2．（1） D （2）A

1.1.3．二次根式

1． （1）32- （2）35x ≤≤ （3）86- （4）5．

2．C 3．1 4．＞

1.1.4．分式

1．12 2．B 3． 21- 4．99

100

习题1．1

A 组

1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3

2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61-

４ B 组

1．（1）37 （2）52

，或－15 2．4． C 组

1．（1）C （2）C 2．121,22x x =

= 3．3655

4．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．

（3）由图1．2－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --

（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．

解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++

=2(3)(3)x x ++．

或

32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++

＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+

－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1 x y 图1．2－5

５ ＝2(3)(3)x x ++．

（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-

=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．

或

222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----

=(2)()(45)6x y x y x y -+---

=(22)(3)x y x y -++-．

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．

解： （1）令221x x +-=0，则解得112x =-+，212x =--，

∴221x x +-=(12)(12)x x ????--+---????

=(12)(12)x x +-++．

（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(222)x y =-+，1(222)x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(12)][2(12)]x y x y +-++．

练 习

1．选择题：

多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．

习题1．2

1．分解因式：

（1） 31a +； （2）42

4139x x -+；

（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：

（1）253x x -+ ； （2）2

223x x --； （3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．

3．ABC ?三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状．

4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

６

1.2分解因式

1． B

2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++

（3）(12)(12)x x ---+ （4）(2)(22)y x y --+．

习题1．2

1．（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+-

（3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-

2．（1）51351322x x ????+--- ??? ???????

； （2）()()

2525x x ---+； （3）2727333x y x y ????-+++ ??? ???????

； （4）()3(1)(15)(15)x x x x -+---+．

3．等边三角形

4．(1)()x a x a -++

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

2224()24b b ac x a a

-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x 1，2＝242b b ac a -±-； （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a

+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x 1，2＝242b b ac a

-±-； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；

（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

７ （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

2142a a x ++=， 2242

a a x -+=． （3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，

所以，

①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根

x 1＝1，x 2＝a －1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，

所以

①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根

111x a =+-， 211x a =--；

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a

---=， 则有

2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a

-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a a a

-+------=?===．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，

即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，

x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．

例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k ×2－6＝0，

∴k ＝－7．

所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3

5

．

所以，方程的另一个根为－3

5

，k的值为－7．

解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－6

5

，∴x1＝－

3

5

．

由（－3

5

）＋2＝－

5

k

，得k＝－7．

所以，方程的另一个根为－3

5

，k的值为－7．

例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．

∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，

即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，

化简，得m2－16m－17＝0，

解得m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x，y，

则x＋y＝4，①

xy＝－12．②

由①，得y＝4－x，

代入②，得

x(4－x)＝－12，

即x2－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴1

1

2, 6,

x y =-

?

?

=?或2

2

6,

2.

x

y

=

?

?

=-?

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

x2－4x－12＝0

的两个根．

解这个方程，得

x1＝－2，x2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值；

８

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nefl.html