分类讨论数学思想

第三讲 分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题无法得到统一结果，结论不确定，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”． 1．分类讨论时必须遵循的原则

(1)施行分类的集合的全集必须是确定的； (2)分类的标准必须是统一的；

(3)分类必须是完整的，不能出现遗漏； (4)各子集域必须是互斥的，不出现重复； (5)如需多级分类，必须逐级进行，不得越级． 2．分类讨论的步骤

(1)明确讨论的对象，确定对象的全体； (2)确定分类的标准，正确进行分类； (3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果；

(4)归纳小结，总结出结论． 3．分类讨论的常见类型

(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如ax+b>0的解集。函数的单调性（导数的正负）等．

(3)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置

需要分类：如角的终边所在的象限；

(4)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

题型一 概念分类讨论

【例1】 (2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：设函数y＝ax(a>0且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝a－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝

x

a(a>0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点． 由图象可知，当0

当a>1时，

因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a>1.

答案：a>1

1．设00且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|

x

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