苏北四市2014届高三上学期期末统考数学试题理

苏 北 四 市 数 学 试 题

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。 1参考公式：锥体的体积公式：V?Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

3一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上． ．．．．

1．设复数z1?2?i,z2?m?i(m?R，i为虚数单位),若z1?z2为实数,则m的值为 ▲ ． 2．已知集合A?{2?a,a}，B?{?1,1,3}，且A?B，则实数a的值是 ▲ ．

3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．

4．在?ABC的边AB上随机取一点P, 记?CAP和?CBP的面积分别为S1和S2，则S1?2S2的概率是 ▲ ．

开始 x2y25．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为2x?y?0，

abS?0,n?1 则该双曲线的离心率为 ▲ ．

6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ． n?n?2 7．函数f(x)?lg(2x?3x)的定义域为 ▲ ．

8．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥 的体积为 ▲ ．

9．在△ABC中，已知AB?3，A?120o，且?ABC的面积

153，则BC边长为 ▲ ． 410．已知函数f(x)?xx?2，则不等式f(2?x)≤f(1)的

为

解集为 ▲ ．

S?S?n n?10 Y N 输出S 结束 （第6题图）

?11．已知函数f(x)?2sin(2?x?)(??0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在

4[?1，1]上的单调增区间为 ▲ ．

12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk?33，Sk?1??63，其中k?N?，则Sk?2的值为 ▲ ．

13．在平面四边形ABCD中，已知AB?3，DC?2，点E,F分别在边AD,BC上，且

???????????????????????????????? AD?3AE，BC?3BF．若向量AB与DC的夹角为60?，则AB?EF的值为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：y?x和l2：y??x?2的距离

1

之和为22，则a2?b2的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

已知向量a?(cos?,sin?)，b?(2,?1)．

sin??cos? (1)若a?b，求的值；

sin??cos??? (2)若a?b?2，??(0,)，求sin(??)的值．

24

16．(本小题满分14分)

如图，在三棱锥P?ABC中，点E,F分别是棱PC,AC的中点． (1)求证：PA//平面BEF；

(2)若平面PAB?平面ABC，PB?BC，求证：BC?PA． P A B E

F

C

（第16题图）

17．(本小题满分14分)

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为?（弧度）． （1）求?关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线

部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的

函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

2

? O (第17题图)

18．(本小题满分16分)

已知?ABC的三个顶点A(?1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为?H．

(1)若直线l过点C，且被?H截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N，使得点M是线段PN的中点，求?C的半径r的取值范围．

19．(本小题满分16分)

5已知函数f(x)?x3?x2?ax?b（a,b为常数），其图象是曲线C．

2（1）当a??2时，求函数f(x)的单调减区间；

（2）设函数f(x)的导函数为f?(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)?x0与f?(x0)?0同

时成立，求实数b的取值范围；

（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，

在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2．问：是否存在常数?，使得k2??k1？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．

3

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}满足a1?x，a2?3x，Sn?1?Sn?Sn?1?3n2?2(n≥2,n?N*)，Sn是数列{an} 的前n项和．

(1)若数列{an}为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项an；

（ⅱ）若数列{bn}满足bn?2an，数列{cn}满足cn?t2bn?2?tbn?1?bn，试比较数列{bn}

前n项和Bn与{cn}前n项和Cn的大小；

(2)若对任意n?N*，an?an?1恒成立，求实数x的取值范围．

数 学 试 题

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试

时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2． 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置

作答一律无效。 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．

A．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分）

A如图，点D为锐角?ABC的内切圆圆心，过点A作直线BD

的垂线，垂足为F，圆D与边AC相切于点E．若?C?50?，

E求?DEF的度数．

F

D

B C(第21(A)图)

B．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）

?a0?设矩阵M??（其中a＞0，，若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的变换b＞0）??0b?x2作用下得到曲线C?：?y2?1，求a+b的值．

4

C．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）

4

??x??在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是??y???2t，2（t为参数）；以O 2t?422?为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为??2cos(??)．由直

4线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

D．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）

111已知a,b,c均为正数,证明：a2?b2?c2?(??)2≥63．

abc

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

某品牌汽车4S店经销A,B,C三种排量的汽车，其中A,B,C三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；

(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望． 23．（本小题满分10分）

????????????已知点A(?1,0)，F(1,0)，动点P满足AP?AF?2|FP|． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)在直线l：过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M,N．问：y?2x?2上取一点Q，

是否存在点Q，使得直线MN//l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5

参考答案

数学Ⅰ部分

一、填空题：

11．2 2．1 3．20 4． 5．5 6．25 7．(??,0)

3113 8． 9．7 10．??1,???11．[?,]12．129 13．7 14．18

644

二、解答题：

15．（1）由a?b可知，所以sin??2cos?，……………………………a?b?2cos??sin??0，2分

所

以

s??s?????i??． ……………………………………………………6分

i?（2）由a?b?(cos??2,sin??1)可得，

a?b?(cos??2)2?(sin??1)2?6?4cos??2sin??2，

即1?2cos??sin??0，

① ……………………………………………………………10分

3?sin?????5，22又cos??sin??1，且??(由①②可解得，?…………………0,) ②，

42?cos???5?12分

所

???4以

2s． ……………………………i14分 ?P 2?216．（1）在?PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA//EF，

又PA?平面BEF，EF?平面BEF，

所以PA//平面BEF．……………………………………6分

F

6

A E D B

C

（2）在平面PAB内过点P作PD?AB，垂足为D．

因为平面PAB?平面ABC，平面PAB?平面ABC?AB，

PD?平面PAB，所以PD?平面ABC,………………8分

又

BC?平面ABC，所以

PD?BC，………………………………………………………10分

又PB?BC，PD?PB?P，PD?平面PAB，

PB?平面PAB，所以BC?平面

PAB，…………………………………………………12分

又平面，PA?PABBC?PA．………………………………………………………14分 17．(1)设扇环的圆心角为?，则30???10?x??2(10?x)，

所

以

所

以

??1?x0，………………………………………………………………………………4分 10?x (2) 花坛的面积为

1?(102?x2)?(5?x)(10?x)??x2?5x?50, (0?x?10)．………………7分 2装饰总费用9??10?x??8(10?x)?170?10x， ………………………………………9分

为

所以花坛的面积与装饰?x2?5x?50x2?5x?50， …………………11分 y==?170?10x10(17?x)令t?17?x，则y?总费用的比

391324312当且仅当t=18时取等号，此时x?1,??． ?(t?)≤，

1010t1011答：当x?1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………………………………

14分

(注：对y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 18．(1)线段AB的垂直平分线方程为x?0，线段BC的垂直平分线方程为x?y?3?0，

所以?ABC外接圆圆心H(0,3)，半径12?32?10， 圆

H的方程为

x2?(y?3)2?10． …………………………………………………………4分

设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d?(102)?1?．3

当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x?3为所求；…………………………………

6分

7

当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y?2?k(x?3)，则 3k?11?k2?3，解得k?4， 3综上，直线的方程为l4x?3y?6?0． ……………………………………………8分

(2)直线BH的方程为3x?y?3?0，设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y)，

因为点M是线段PN的中点，所以M(x?3或

m?xn?y又M,N都在半径为r的圆C上， ,)，

222所以

?(x?2?y??r3??m?xn?y?2???(?22)22(23?r)即

(222??(x?3)?(y?2)?r,…………………10分 ?222??(x?m?6)?(y?n?4)?4r.因为该关于x,y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6?m,4?n)为

圆心，

2r为半径的圆有公共点，所以

(2r?r)2≤(3?6?m)2?(2?4?n)2≤(r?2r)2,…………12分

又3m?n－1]]成立． 12m?10≤9r2对?m?[0，3?0，所以r2≤10m2－323212m?10在[0，而f?m??10m2－1]上的值域为[，10]，所以r2≤且10≤9r2．……

5515分

又线段BH与圆C无公共点，所以(m?3)2?(3?3m?2)2?r2对?m?[0，1]成立，即r2?32. 5故[圆C的半径r的取值范围为

10410,)． ……………………………………………16分 3519．(1)当a??2时，

f?(x)?3x2?5x?2?(3x?1)(x?2). ………………………………………2分

11令f ?(x)<0，解得?2?x?，所以f(x)的单调减区间为(?2,)． …………………………

334分

2?3x0?5x0?a?0?2 (2) f?(x)?3x?5x?a，由题意知?352消去a，

?x0?x0?ax0?b?x0?2 8

得

2x03?52x0?x0?b?02有唯一

解．……………………………………………………………6分

5令g(x)?2x3?x2?x，则g?(x)?6x2?5x?1?(2x?1)(3x?1)，

21111所以g(x)在区间(??,?)，(?,??)上是增函数，在(?,?)上是减函

2323数，……………8分

1117又g(?)??，g(?)??，

28354故实数的取值范围是b71(??,?)?(?,??)． ……………………………………………10分

548(3)设A(x0,f(x0))，则点A处切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，

与曲线C：y?f(x)联立方程组，得f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，即5(x?x0)2[x?(2x0?)]，

2所以点的横坐标B5xB??(2x0?)． …………………………………………………………12分

2525由题意知，k1?f?(x0)?3x02?5x0?a，k2?f?(?2x0?)?12x02?20x0??a，

2425?a??(3x02?5x0?a)， 425即存在常数?，使得(4??)(3x02?5x0)?(??1)a?，

40,?4????所以解得??4?25(??1)a??0.??4若存在常数?，使得k2??k1，则12x02?20x0?，

25． ………………………………………………15分 122525故a?时，存在常数??4，使k2?4k1；a?时，不存在常数?，使k2??k1．……

121216分 a?20．(1)（ⅰ）因为Sn?1?Sn?Sn?1?3n2?2(n≥2,n?N*)，所以S3?S2?S1?14，

即

a3?2a2?3a1?14，又

a1?x,a2?3x，所以

a3?14?9x， ………………………………2分

又因为数列{an}成等差数列，所以2a2?a1?a3，即6x?x??14?9x?，解得x?1， 所an?1以

1?????N*?； ………………………………4a分?

1 9

（ⅱ）因为an?2n?1?n?N*?，所以bn?2an?22n?1?0，其前n项和Bn?0，

又

因

为

cn?t2bn?2?tbn?1?bn??16t2?4t?1?bn，………………………………………………5分

所以其前n项和

Cn??1t2?6t??B4n，1所以

Cn?Bn?2?8t2?2t?1?Bn，…………………7分

当t??当

1111或t?时，Cn?Bn；当t??或t?时，Cn?Bn； 424211??t?42时，

Cn?Bn．……………………………………………………………………9分

（2）由Sn?1?Sn?Sn?1?3n2?2(n≥2,n?N*)知Sn?2?Sn?1?Sn?3?n?1??2(n?N*)，

两

式

作

差

，

得

2an?2?an?1?an?6n?3(n≥2,n?N*)，…………………………………………10分

所以

an?3?an?2?6?an?1?1?N*n3?,(作n?差)?得

……………11分 )an?3?an?6n≥(n?N*， 2,所以，当n?1时，an?a1?x；

当n?3k?1时，an?a3k?1?a2??k?1??6?3x?6k?6?2n?3x?4； 当n?3k时，an?a3k?a3??k?1??6?14?9x?6k?6?2n?9x?8；

当n?3k?1时，an?a3k?1?a4??k?1??6?1?6x?6k?6?2n?6x?7；………………14分

因为对任意n?N*，an?an?1恒成立，所以a1?a2且a3k?1?a3k?a3k?1?a3k?2， ?x?3x?6k?3x?6?6k?9x?8137?137??所以?，解得，?x?，故实数x的取值范围为?,?．…

156?156??6k?9x?8?6k?6x?5??6k?6x?5?6k?3x16分

10

数学Ⅱ部分

21．【选做题】

A．(选修4—1：几何证明选讲)

由圆D与边AC相切于点E，得?AED?90?，因为DF?AF，得?AFD?90?，

所

以

A,D,四F点E共圆,所以

?D ……………………………………5分 E?．F ?111又?ADF??ABD??BAD?(?ABC??BAC)?(180???C)?90???C，

2221所以?DEF??DAF?90???ADF??C，由?C?50?，得?DEF?25?．……………

210分 B．（选修4-2：矩阵与变换）

设曲线C：x2+y2=1上任意一点P(x,y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点

P1(x1,y1)，

则

?a0??x??x1??0b??y???y??????1?，即

?a???b?1xx． …………………………………………………………5分

yy1x12x2ax222?又点P所以则?y1?1，?by2?1为曲线C的1(x1,y1)在曲线C：?y?1上，444方程．

又曲线C的方程为x2+y2=1，故a2=4，b2=1， 因

为

a＞0，b＞0，所以

a+b=3． …………………………………………………………10分 C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

因为圆

C的极坐标方程为??2cos??2sin?，所以

?2?2?co??s2?si?，n

所以圆C的直角坐标方程为x?y?2x?1,…4分

??x??因为直线l的参数方程为??y???2t,2（t为参数）， 2t?42222?22??,半径为,?2y?0，圆心为??22??? 11

?2t2t?,?42所以直线l上的点P???2?向圆C 引切线长是 2???2t2??2t2?PC2?R2?????42????2???2??1?22????22?t?4?2?24≥26，

所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是

26． ……………………………………10分

D．（选修4-5：不等式选讲）

证法一：因为a，由均值不等式得a?b?c≥3(abc)，………………………b，c均为正数，2分

11?11因为，所以??≥3(abc)3abc2?11125分 (??)≥9abc3 ．…………………………………()abc22?1112222故a?b?c?(??)≥3(abc)3?9(abc)3．

abc22223又3(abc)?9(abc)23?23≥227?63，所以原不等式成

立．…………………………………10分

证法二：因为a，由基本不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca． b，c均为正数，所以a2++≥??．……………………………………………………………………b2分

同理11分 ++≥??，…………………………………………………………………52ab2111333所以a2+b2+c2?(++)2≥ab?bc?ca???≥63．

abcabbcca所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分

3C4122. (1)设该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车为事件M，则P(M)?3?.

C1255所以该单位购买的

3

辆汽车均为B种排量汽车的概率为

1． ………………………………4分 55(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.

333111C5?C4?C33C5C4C33?,P(X?3)??， 则P(X?1)?33C1211C1244P(X?2)?1?P(X?1)?P(X?3)?29． 44X

１ ２ ３ 12

所以X的分布列为 ……8分

数E(X)?1?P 3 4429 443 11………………………

学

期

望

329397．………………………………………………10分 ?2??3??44441144????????????23．(1)设P(x,y)，则AP?(x?1,y)，FP?(x?1,y)，AF?(2,0)，

????????????由AP?AF?2|FP|，得2(x?1)?2(x?1)2?y2，化简得y2?4x.

故动点P的轨迹C的方程

y2?4x. …………………………………………………………5分

(2)直线l方程为y?2(x?1)，设Q(x0,y0)，M(x1,y1) ，N(x2,y2)．

过点M的切线方程设为x?x1?m(y?y1)，代入y2?4x，得y2?4my?4my1?y12?0，

y由??16m2?16my1?4y12?0，得m?1，所以过点M的切线方程为

2y1y?2(x?x1)，……7分

同理过点N的切线方程为y2y?2(x?x2)．所以直线MN的方程为y0y?2(x0?x)，………9分

2又MN//l，所以?2，得y0?1，而y0?2(x0?1)，

y0故点Q的坐标为

1(?,1)． ……………………………………………………………………10分 2

13

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nec.html