1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理训练题（一）

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）

一、基础达标

1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有 A．50 答案 A

解析 根据分类加法计数原理，因数学科代表可为男生，也可为女生，因此选法共有26＋24＝50(种)．故选A.

2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为( ) A．8 答案 D 解析 分两步：

第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值，有3种不同的取法； 第二步，在集合{－3，－4，8}中任取一个值，有3种不同取法． 故x·y可表示3×3＝9(个)不同的值．

3．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 A．27种 答案 C

解析 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C. 4．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为

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( )

B．26 C．24 D．616

B．12 C．10 D．9

( )

B．36种 C．54种 D．81种

( )

A．8 答案 B

解析 从A处到B处的电路接通可分两步： 第一步：前一个并联电路接通有2条线路； 第二步：后一个并联电路接通有3条线路．

由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.

5．张华去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有____种． 答案 7

解析 分3类：买1本书、买2本书、买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．

6．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________． 答案 64

解析 本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”．

∵跳高冠军的分配有4种不同的方法． 跳远冠军的分配有4种不同的方法． 游泳冠军的分配有4种不同的方法．

∴根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)． 7．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？

解 操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下

的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，

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B．6 C．5 D．3

故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，知共有6×5×4×4＝480(种)着色方案． 二、能力提升

8．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有 A．1×2×3 C．34 答案 D

解析 完成这件事分三步：

第一步，植第一棵树，有4种不同的方法； 第二步，植第二棵树，有4种不同的方法； 第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法． 由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.

9．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A．56 C.

( )

( )

B．1×3 D．43

B．65

D．6×5×4×3×2

5×6×5×4×3×2

2

答案 A

解析 每位同学都有5种选择，共5×5×5×5×5×5＝56(种)． 10．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个． 答案 40

解析 满足条件的有两类：

第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)； 第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)， 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．

11．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数m＞n的数对有多少个？

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解 (1)∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对． (2)在(1)中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果，当m＝4时，n＝1，3有2种结果，当m＝6时，n＝1，3，5有3种结果，当m＝8时，n＝1，3，5，7有4种结果，当m＝10时，n＝ 1，3，5，7，9有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果． x2y2

12．设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，a∈{1，2，3，4，5，6，7}，b∈{1，2，3，4，5}，这样的椭圆共有多少个？ 解 依题意按a，b的取值分为6类， 第一类：a＝2，b＝1； 第二类：a＝3，b＝1，2； 第三类：a＝4，b＝1，2，3； 第四类：a＝5，b＝1，2，3，4； 第五类：a＝6，b＝1，2，3，4，5； 第六类：a＝7，b＝1，2，3，4，5. 由分类加法计数原理得：

这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个)． 三、探究与创新

13．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？ 解 由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：

第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种；

第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12(种)． 因此共有8＋12＝20(种)不同的选法．

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