安徽省蚌埠一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试卷

2014-2015学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题（每题5分） 1．在复平面内，复数

对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2．已知集合

，则A∩B=（ ）

A． [﹣1，1] B． [﹣1，2） C． [1，2） D． [﹣2，﹣1]

3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则（ ）

A． ?p：?x∈R，sinx≥1 B． ?p：?x∈R，sinx≥1 C． ?p：?x∈R，sinx＞1 D． ?p：?x∈R，sinx＞1

4．已知=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（ ） A． 1 B．

5．设f（x）=

C． 2 D． 4

，则f（f（2））的值为（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

6．下列命题中真命题的个数是（ ）

（1）若命题p，q中有一个是假命题，则￢（p∧q）是真命题． （2）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件． （3）C表示复数集，则有?x∈C，x+1≥1． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

7．将函数y=

sin2x﹣cos2x的图象向右平移

个单位长度，所得图象对应的函数g（x）

2

（ ）

A． 由最大值，最大值为 B． 对称轴方程是 C． 是周期函数，周期 D． 在区间

上单调递增

8．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设

，则（ ）

A． a＜b＜c B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b

9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ） A． f（0）+f（2）＜2f（1） B． f（0）+f（2）≤2f（1） C． f（0）+f（2）≥2f（1） D． f（0）+f（2）＞2f（1）

，

10．现有四个函数：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

x

A． ①④③② B． ④①②③ C． ①④②③ D． ③④②①

11．已知f（x）=的取值范围是（ ）

A． （﹣，0） B． （0，） C． （，1） D． （1，+∞）

二、填空题（每题5分）

12．已知||=3，||=4，（+）（+3）=33，则与的夹角为 ．

13．函数y=sin2x+4sinx，x∈R的值域是 ．

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10A=60°，则a= ．

15．曲线C的参数方程是

2

若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k

，

（θ为参数，且θ∈（π，2π）），以坐标原点O

，取线C

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为

与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是 ．

16．设f（x）=log3（x+6）的反函数为f（x），若〔f（m）+6〕〔f（n）+6〕=27，则f（m+n）= ．

三、解答题 17．集合

，B={y|y=asinθ，

，a＞0}

﹣1﹣1﹣1

（1）求集合A和B； （2）若A∩B=?，求a的取值范围．

18．已知定义域为R的函数f（x）=（1）求a，b的值；

（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）． （1）求φ；

（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

20．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．

（Ⅰ）确定角B的大小；

（Ⅱ）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

21．已知函数f（x）=a+x﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；

（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．

x

22

2

2

是奇函数．

，且y=f（x）的最大值

2014-2015学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分） 1．在复平面内，复数

对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 化简复数为a+bi的形式，求出对应点的坐标，判断选项即可． 解答： 解：复数

=

=1﹣i，复数对应点为（1，﹣1）在第四象限．

故选：D．

点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力． 2．已知集合

，则A∩B=（ ）

A． [﹣1，1] B． [﹣1，2） C． [1，2） D． [﹣2，﹣1]

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．

解答： 解：集合A={x|x﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}， B={x|﹣2≤x＜2}，

利用集合的运算可得：A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}． 故选D．

点评： 本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法求出集合A，B是即可得到结论．

3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则（ ）

A． ?p：?x∈R，sinx≥1 B． ?p：?x∈R，sinx≥1 C． ?p：?x∈R，sinx＞1 D． ?p：?x∈R，sinx＞1

考点： 命题的否定．

分析： 根据?p是对p的否定，故有：?x∈R，sinx＞1．从而得到答案． 解答： 解：∵?p是对p的否定∴?p：?x∈R，sinx＞1 故选C．

点评： 本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．

4．已知=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（ ）

2

A． 1 B． C． 2 D． 4

考点： 平面向量数量积的性质及其运算律． 专题： 计算题．

分析： 2﹣=（3，n），由2﹣与垂直可得：

，||=2

解答： 解：∵=（1，n），=（﹣1，n）， ∴2﹣=（3，n）， ∵2﹣与b垂直∴∴||=2

故选C．

点评： 本题主要考查向量的数量积的坐标表示．要注意两向量垂直时，二者点乘为0．

5．设f（x）=

，则f（f（2））的值为（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题： 计算题．

分析： 考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（2﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e﹣1

=2．

21﹣1

解答： 解：f（f（2））=f（log3（2﹣1））=f（1）=2e=2，故选C．

点评： 此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．

6．下列命题中真命题的个数是（ ）

（1）若命题p，q中有一个是假命题，则￢（p∧q）是真命题． （2）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件．

2

2

1

（3）C表示复数集，则有?x∈C，x+1≥1． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据p∧q，￢p的真假和p，q真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可判断这几个命题的真假． 解答： 解：（1）真命题，若p，q中有一个为假命题，则p∧q为假命题，所以￢（p∧q）为真命题；

（2）真命题，在△ABC中，若cosA+sinA=cosB+sinB，则（cosA+sinA）=（cosB+sinB），∴1+2sinAcosA=1+2sinBcosB，∴sin2A=sin2B； ∵A，B中必有一个是锐角，不妨设A是锐角，∴2A=2B，或2A=180°﹣2B，∴A=B，或A+B=90°； ∴由cosA+sinA=cosB+sinB不一定得出C=90°，而C=90°一定得到cosA+sinA=cosB+sinB，所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件；

（3）假命题，x是复数，不妨设x=i，则i=﹣1，∴x+1=0＜1； ∴为真命题的个数为：2． 故选C．

点评： 考查p∧q，￢p的真假和p，q真假的关系，二倍角的正弦公式，以及复数的概念．

7．将函数y=

sin2x﹣cos2x的图象向右平移

个单位长度，所得图象对应的函数g（x）

2

2

22

（ ）

A． 由最大值，最大值为 B． 对称轴方程是 C． 是周期函数，周期 D． 在区间

上单调递增

考点： 两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．

分析： 由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到

，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由

，求出x，即可判断B；再由正弦函数的增区间，即可得到

g（x）的增区间，即可判断D． 解答： 解：化简函数得所以将函数y=

sin2x﹣cos2x的图象向右平移

）﹣

个单位长度， ]，即

，

，

所得图象对应的函数g（x）=2sin[2（x﹣

易得最大值是2，周期是π，故A，C均错； 由由

，得对称轴方程是

，故B错； ，令k=0，

故D正确． 故选D．

点评： 本题考查三角函数的化简和图象变换，考查三角函数的最值和周期、以及对称性和单调性，属于中档题．

8．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设

，则（ ）

A． a＜b＜c B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b

考点： 奇函数． 专题： 压轴题．

分析： 首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f（x）=lgx的单调性解决问题．

解答： 解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx． 则

=﹣lg＞0， =﹣lg＞0，

=lg＜0，

又lg＞lg ∴0＜﹣lg＜﹣lg

∴c＜a＜b， 故选D．

点评： 本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性．

9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ） A． f（0）+f（2）＜2f（1） B． f（0）+f（2）≤2f（1） C． f（0）+f（2）≥2f（1） D． f（0）+f（2）＞2f（1）

考点： 导数的运算． 专题： 分类讨论．

分析： 分x≥1和x＜1两种情况对（x﹣1）f′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证．

解答： 解：依题意，当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； 当x＜1时，f′（x）≤0，f（x）在（﹣∞，1）上是减函数， 故当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，即有 f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）， ∴f（0）+f（2）≥2f（1）． 故选C．

点评： 本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题．

，

10．现有四个函数：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

x

A． ①④③② B．④①②③ C． ①④②③ D． ③④②①

考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 综合题．

分析： 从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案． 解答： 解：分析函数的解析式，可得：

①y=x?sinx为偶函数；②y=x?cosx为奇函数；③y=x?|cosx|为奇函数，④y=x?2为非奇非偶函数

且当x＜0时，③y=x?|cosx|≤0恒成立；

则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③ 故选：C．

点评： 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中函数的图象或解析式，分析出函数的性质，然后进行比照，是解答本题的关键．

11．已知f（x）=的取值范围是（ ）

A． （﹣，0） B． （0，） C． （，1） D． （1，+∞）

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由y=f（x）﹣k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），然后作出图象，利用数形结合的思想确定实数k的取值范围． 解答： 解：y=f（x）﹣k（x+1）=0得f（x）=k（x+1）， 设y=f（x），y=k（x+1），在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=k（x+1）的图象如图： 因为当x＜0时，函数f（x）=e﹣e单调递减，且f（x）＞0． 由图象可以当直线y=k（x+1）与有两个零点．下面求切线的斜率．由当k=0时，不成立．

相切时，函数y=f（x）﹣k（x+1）

得kx+（2k﹣1）x+k=0，

22

2

2

﹣x

x

x

若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k

由△=0得△=（2k﹣1）﹣4k?k=1﹣4k=0，解得所以k=或k=

（不合题意舍去）．

22222

，

所以要使函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点， 则0＜k故选B．

．

点评： 本题综合考查了函数的零点问题，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性

较强，难度较大．

二、填空题（每题5分）

12．已知||=3，||=4，（+）（+3）=33，则与的夹角为 120° ．

考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 计算题． 分析： 欲求

，根据题目条件（+）（+3）=33，同时根据向量积公式求

出夹角的余弦值，即可求得两个向量的夹角． 解答： 解：因为（+）（+3）=33， 即（+）（+3）=又由所以所以

=

． +

+

，

120°；

故答案为120°．

点评： 本题考查数量积的夹角的计算公式，应熟练掌握．

13．函数y=sin2x+4sinx，x∈R的值域是 [2﹣

考点： 三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 化简可得y=

sin（2x﹣θ）+2，其中tanθ=4，由sin（2x﹣θ）的值域为[﹣1，

2

，2+] ．

1]和不等式的性质可得．

解答： 解：化简可得y=sin2x+4sinx =sin2x+4?=sin2x﹣2cos2x+2 =

sin（2x﹣θ）+2，其中tanθ=4，

2

∵sin（2x﹣θ）的值域为[﹣1，1]， ∴y=

sin（2x﹣θ）+2的值域为[2﹣

，2+

]

，2+

]

故答案为：[2﹣

点评： 本题考查三角函数的最值，属基础题．

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a= 7 ．

考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 计算题；解三角形．

分析： 由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a． 解答： 解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60° ∴bcsin60°=10∵a+b+c=20 ∴20﹣a=b+c．

由余弦定理可得，a=b+c﹣2bccos60°=（b+c）﹣3bc=（20﹣a）﹣120 解得a=7． 故答案为：7．

点评： 本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力，属于基本知识的考查．

2

2

2

2

2

∴bc=40

15．曲线C的参数方程是（θ为参数，且θ∈（π，2π）），以坐标原点O

，取线C

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为

与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是 ρsinθ=﹣2 ．

考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： 利用

2

2

把曲线D的方程，化为普通方程为x+y=0．利，化为（x﹣2）+y=4，注意到θ

2

2

用sinθ+cosθ=1可把曲线C的参数方程

∈（π，2π），可得y＜0，联立即可得出交点，进而得出切线方程． 解答： 解：曲线D的方程为

，展开化为：

=0，即直线D的普通方程为x+y=0，

又曲线C的参数方程是

，化为（x﹣2）+y=4，

2

2

曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的半圆，

注意到θ∈（π，2π），∴y＜0，联立方程组得，

解之得，故交点P的坐标为（2，﹣2）．

过交点P且与曲线C相切的直线的普通方程是y=﹣2， 对应的极坐标方程为ρsinθ=﹣2．

点评： 本题考查了把极坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了直线与圆相切，考查了计算能力，属于中档题．

16．设f（x）=log3（x+6）的反函数为f（x），若〔f（m）+6〕〔f（n）+6〕=27，则f（m+n）= 2 ．

考点： 反函数；函数的值． 专题： 创新题型．

分析： 先求出f（x）=log3（x+6）的反函数为f（x），由〔f（m）+6〕〔f（n）+6〕=27，

解出m+n，进而求出f（m+n）． 解答： 解：∵f（x）=3﹣6

﹣1﹣1mn m+n

故〔f（m）+6〕?〔f（x）+6〕=3?3=3=27， ∴m+n=3，

∴f（m+n）=log3（3+6）=2．

﹣1

x

﹣1

﹣1

﹣1

﹣1

﹣1

﹣1

故答案为 2．

点评： 本题考查反函数的求法及求函数值．是基础题．

三、解答题 17．集合

，B={y|y=asinθ，

，a＞0}

（1）求集合A和B； （2）若A∩B=?，求a的取值范围．

考点： 交集及其运算． 专题： 计算题．

分析： （1）将集合A中的不等式移项变形后，根据两数相乘积为正，得到两因式同号，求出不等式的解集得出x的范围，确定出集合A，由角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出集合B中函数的值域，确定出B；

（2）由两集合的交集为空集，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．

解答： 解：（1）由集合A中的不等式变形得：可化为（x﹣4）（x+3）≥0，且x+3≠0， 解得：x≥4或x＜﹣3，

∴A=（﹣∞，﹣3）∪[4，+∞）； 由集合B中的函数y=asinθ（a＞0），θ∈[﹣∴﹣a≤y=asinθ≤a， ∴B=[﹣a，a]； （2）∵A∩B=?， ∴

，

，

]，得到﹣≤sinθ≤1， ≥0，

解得：a＜4，

则a的范围为a＜4．

点评： 此题属于以其他不等式的解法、三角函数的值域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

18．已知定义域为R的函数f（x）=（1）求a，b的值；

（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

考点： 奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．

2

2

是奇函数．

专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值求a，b的值； （2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可．

（3）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围． 解答： 解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R， ∴f（x）=0， 即

=0，

2

2

解得：b=1，

f（﹣1）=﹣f（1）， 即解得：a=2

证明：（2）由（1）得：f（x）=

，

=﹣

，

设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=

x

﹣=，

∵y=2在实数集上是增函数且函数值恒大于0， 故

＞0，

＞0，

＞0．

即f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x）在R上是单调减函数；

（3）由（2）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数． 又因为f（x）是奇函数，

所以f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0，

222

等价于f（t﹣2t）＜﹣f（2t﹣k）=f（k﹣2t），

22

因为f（x）为减函数，由上式可得：t﹣2t＞k﹣2t．

2

即对一切t∈R有：3t﹣2t﹣k＞0， 从而判别式△=4+12k＜0?k＜﹣． 所以k的取值范围是k＜﹣．

点评： 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）． （1）求φ；

（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

2

2

2

，且y=f（x）的最大值

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （1）根据振幅、周期性、过定点确定其解析式； （2）利用周期性进行求解．

解答： 解：（1）y=Asin（ωx+φ）=﹣cos（2ωx+2φ）， ∵y=f（x）的最大值为2，A＞0． ∴A=2．

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， ∴

=2×2，ω=

，

x+2φ）=1﹣cos（

x+2φ），

2

∴f（x）=1﹣cos（

∵y=f（x）过（1，2）点， ∴cos（∴

+2φ）=﹣1，

+2φ=2kπ+π，k∈Z，

，k∈Z， ，k∈Z， ，

∴2φ=2kπ+∴φ=kπ+又∵0＜φ＜∴φ=

．

（2）根据（1）知，函数的周期为4，

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4． 又∵y=f（x）的周期为4，2014=4×503+2，

∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=4×503+f（1）+f（2）=2012+3=2015．

点评： 本题重点考查了三角恒等变换公式、三角公式、函数的周期性等知识，属于中档题，解题关键是掌握三角函数值在各个象限内的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦．

20．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．

（Ⅰ）确定角B的大小；

（Ⅱ）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

考点： 平面向量数量积的运算；基本不等式．

分析： （Ⅰ）⊥?理即可求出角B；

，对此式进行化简得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定

（Ⅱ）先由三角形的面积之间的关系S△ABC=S△ABD+S△BCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得：

=

的取值范围，进而可求出 AC的取值范围．

解答： 解：（ I）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0， 在△ABC中，由正弦定理得：

，

2

，对x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y

∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得

k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0． ∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0， ∴

，解得B=

．

，S△ABD=

=

，

（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，

，

∴xy=x+y， ∴

在△ABC中，由余弦定理得：

．

=x+y+xy=（x+y）﹣xy=（x+y）﹣（x+y）=

2222

．

∵∴

又AC＜x+y．

，x＞0，y＞0，∴x+y≥4， ，∴

．

∴AC的取值范围是：AC∈．

点评： 理解数量积与向量垂直的关系，正确使用正、余弦定理及三角形的面积公式，基本不等式的性质是解决问题的关键．

21．已知函数f（x）=a+x﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；

（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．

考点： 函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题；压轴题．

x

2

分析： （Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．

（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．

（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1） 或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由

f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=alna+2x﹣lna=2x+（a﹣1）lna （3分）

x

由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a﹣1＞0，所以f′（x）＞0， 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 （5分）

（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增， 故f′（x）=0有唯一解x=0（7分） 所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x

x

又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根， 而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（11分） （Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）

由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增， 所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而记因为所以

，

（当t=1时取等号），

在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，

，

所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0， 也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）； 当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）

①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e， ②当0＜a＜1时，由综上知，所求a的取值范围为

．（16分）

，

点评： 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档

题．

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