概率论基础复习题及答案

《概率论基础》本科

填空题（含答案）

??1．

设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ?0; 考查第三章

???p(x)dx= 1 ；Eξ=?xp(x)dx。

??2．

设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为：A,C发生而B不发生可表示 ABC ；A?B?C；A,B,C恰有一个发生可表示为：ABC?ABC?ABC。 考查第一章

3．

设随机变量?~N(0,1)，其概率密度函数为?0(x)，分布函数为?0(x)，则?0(0)等于于 0.5 。 考查第三章

12?，?0(0)等

4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=考查第五章

1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 55．

已知随机变量X，Y的相关系数为rXY,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U，V的相关系数等于 rXY 。 考查第五章

6．

设X~N(?,?)，用车贝晓夫不等式估计：P(|X??|?k?)?1?考查第五章

21 2k7．

设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=xi}=pi i?1,2,..., 则 pi? 0 ；考查第一章

?pi?1?i= 1 ；Eξ=

?xpii?1?i。

8．

设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为：ABC；A发生而B,C不发生可表示为：ABC；A,B,C恰有一个发生可表示为：ABC?ABC?ABC。 考查第一章

9．

X~N(5,4)，P(X?c)?P(X?c)，则c? 5 。

考查第三章

10．

设随机变量?在[1，6]上服从均匀分布，则方程x??x?1?0有实根的概率为考查第三章 较难

24。 511．

若随机变量X，Y的相关系数为rXY,U=2X+1,V=5Y+10 则U，V的相关系数=rXY。

考查第三章 12．

若 ?服从[???,]的均匀分布， ??2?，则 ?的密度函数 g(y)＝ g(y)?222?1???y??。

考查第五章

13．

设P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，若A与B互不相容，则P(B)? 0.3 ；若A与B相互独立，则P(B)? 0.5 。

考查第一章

12C3P414． 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P（A）= 。 3P5考查第一章

15．

若?~B(10,0.8)，E?? 8 ，D?? 1.6 ，最可能值k0? 8 。

考查第二、五章

?xe?x16． 设随机变量X的概率密度为f(x)???0x?0x?0，则E(3X)= 6 ,

E(e3X)=

1 16考查第四、五章 17．

任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率

1 2考查第一章（较难）

18． 设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 1

考查第五章

19．

若?~N(3,0.16)，E?? 3 ，D?? 0.16 . 考查第五章

20. 若?~B(10,0.7)，E(??9)? 16 ，D(2??3)? 8.4 .

考查第五章

21. 某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%．三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售．则该公司任取此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为 0.2475 ．

考查第二章

22. f(x)为一维连续型随机变量X的概率密度函数，则有列P(Y?yk)?pk,则

????f(x)dx? 1 ；若离散型随机变量Y具有分布

?pkk? 1 ．

考查第三章

23. 若X,Y是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为n1,p及n2,p，则X?Y服从参数为 参数为

n1?n2,p的二项分布 分布．

考查第四章

24. 设随机变量X服从参数为0和2的正态分布N(0,2),则EX=_____0____; DX=______2_____．

考查第五章

25．设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为 ABC?ABC?ABC?ABC。

考查第一章

27．若二维随机向量（?,?）的联合密度函数 P(x,y)=

12??1?2(x?a1)22r(x?a1)(y?a2)(y?a2)21exp{?[??]} 2222??2(1?r)??121?r1222 则E?= a1, D?= ?1, E?=a2, D?=?2 Cov(?,?)=r?1?2.

考查第五章

28．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为 5/9 。

考查第一三章

选择题(含答案)

1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( D ) （A）2倍 （B）254倍 （C）798倍 （D）1024倍

2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为( A ) （A）0.25 （B）0.5 （C）0.75 （D）1

3.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从( C )

（A）N(2,0) （B）自由度为2的?分布 （C）N(0,2) （D）不能确定 4.设P（X=n）=an(n?1,2,...)且EX=1，则a为( B )

2（A）1 （B）

3?55?11 （C） （D） 2235．下列论述不正确的是 ( B )

（A）若事件A与B独立则A与B独立 （B）事件A B不相容则A与B独立 （C）n个事件两两独立不一定相互独立 （D）随机变量?和?独立则二者不相关

6．甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为( C ) （A）0 （B）

?k?0n12nn12nk （C）()C2n （D）() Cn227.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从( C ) （A）二项分布 （B）?分布 （C）N(0,2) （D）不能确定 8.对于任意事件A与B，有P(A?B)?（ C ）。

（A）P(A)?P(B) （B）P(A)?P(B)?P(AB) （C）P(A)?P(AB) （D）P(A)?P(AB) 9.在[0, a]线段上随机投掷两点，两点间距离大于（A）1 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25 10.设P（X=n）=a(n?1,2,...)，其中a为

n2a的概率为( D ) 23?5，则EX= ( B ) 2（A）

5 （B） 1 （C）0.5 （D） 3

11．下列论述不正确的是 ( C )

（A）n个事件两两独立不一定相互独立 （B）若事件A与B独立则A与B独立 （C）事件A B不相容则A与B独立 （D）随机变量?和?独立则二者不相关

12．掷n枚硬币，出现正面的概率为p，至少出现一次正面的概率为( A )

1p(1?p)n?1 （C） 1 （D）1?p （A）1?(1?p)n （B）Cn

13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（ C ）。 （A） P(B|A)>0, （B） P(A|B)=P(A) （C） P(A|B)=0 （D） P(AB)=P(A)P(B) 考查 第二章

1。 ,P(AB)?P(AB)，P（A）=（ D ）

9112（A） （B） （C）0 （D）

32315.随机变量X服从（ D ）分布时，DX?EX。

14.事件A，B相互独立，P(AB)? （A）正态 （B）指数

（C）二项 （D）泊松（Poisson）

16.设X~N(?,4),Y~N(?,5)，记p1?P(X???4),p2?P(Y???5)，则（ A ）。 （A）对任何实数?，都有p1?p2 （B）对任何实数?，都有p1?p2 （C）只对?的个别值，才有p1?p2 （D）对任何实数?，都有p1?p2

17．若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（ B ） （A）

22361634 （B）C10()() 544?6??16e （C）() （D）6!418．某课程考试成绩X~N(72,?), 已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为（A） （已知??2??0.977）

（A）2?(1)?1 （B）1??(2) （C）2?(2)?1 （D）0.5

19. 设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X?Y服从( C ) （A）泊松分布 （B）?分布 （C）N(0,2) （D）不能确定 20.对于任意事件A?B，有P(A?B)?（ A ）。 （A）P(A)?P(B) （B）0 （C）1 （D）P(B)

21. 设随机变量?的密度函数为

22???acosx??x?? p(x)??22

?其它?0则常数a为（ B ）

11（A） （B） （C）0 （D）1

3222．下列陈述不正确的是（D）

（A）两两独立不一定相互独立 （B）若事件A与B独立则A与B独立 （C）事件A B独立则P(A|B)?P(A) （D）随机变量二者不相关则?和?独立 23. 下列数列可以构成分布列的是（C）

（A）()n13n?1,2,... （B）2n1n?1,2,... （C）()n2n?1,2,...0 （D）1nn?1,2,...

24．下列陈述不正确的是（B）

（A）?和?不相关则D(???)?D(?)?D(?) （B）随机变量二者不相关则?和?独立 （C）?和?不相关则cov(?,?)?0 （D）随机变量二者不相关则E(??)?E?E? 25．事件A,B,C中，A发生且B与C不发生的事件为：( C )

（A）A?B?C； （B）ABC?ABC?ABC；（C） A?B?C； 26．设A,B为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：（ A ） (A) P(A?B)?P(A)P(B)； （B）P(AB)?P(A)P(B)； （C）P(B|A)?P(B)；

（D）P(AB)?P(A)P(B).

（D）A?B?C.

27．工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：（ A ）

（A）0.05; （B）5.01 ;（C）5; （D）0.5 .

28．X~U(0,1),Y?3X?2,则Y服从分布：（ C ）

（A）U(2,3); （B）U(?1,1);（C）U(?2,1); （D）U(?1,0). 29．设随机变量X,Y的联合概率密度为f(x,y)?2e

?(2x?y),(0?x,y???).则：（ B ）

（D） X,Y不相互独立．

（A） X,Y不相关； （B） X,Y相互独立； （C） X,Y相关；

30．事件A，B互不相容，是指（ B ）

(A) P (AB)= P (A) P (B) (B) A B=? (C) A?B=? (D) AB=?

计算题（含答案）

ak一． 设随机变量?只取非负整数值，其概率为P{??k}?，a>0是常数，试求E?及D? k?1(1?a)解：记t=

?a<1 1?aak?1ak=?(1?a)k?1(1?a)2k?1?aka=E?=?k(1?a)k?1(1?a)2k?1=

?ktk?1?k?1a=

(1?a)2?(tk?1?k')

at'a12()()=a =22(1?a)1?t(1?a)1?t2??akakaka2E?=?k=?k(k?1)+?k=k?1k?1k?1(1?a)(1?a)(1?a)(1?a)3k?1k?1k?1?2?(tk?1?k'')?a

2a2132()?a2a?a == 31?t(1?a)D??E?2?(E?)2=a2?a

二．炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1, 0.7, 0.2, 而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05, 0.1, 0.2。

任射一发炮弹，求目标被击中的概率。

若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解：1） 设A1,A2,A3分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,

B表示目标被击中。则由全概率公式

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

=0.1?0.05?0.7?0.1?0.2?0.2?0.115 2) 由Bayes公式

P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)

P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)＝

0.1?0.051＝?0.043

0.11523 三．某单位招聘2 500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10 000人报名，假设报名者的成绩X服从分布N (?,?) 已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？

2X的分布函数为f(x)?12??e?(x??)22?2

X~N(?,?2),X???X??~N(0,1)?90??P{X?90}?P{??}?1??(90???)?359 1000???(359?0.9641?100060??1151?()??0.1151?10000)?1?290??标准正态分布表可得到?=72和?=100的值，然后令录取的最低分为x0，则

P{X?x0}?P{X????x0???}??(x0???)?250010000

从而得到

x0?79,即录取的最低分为79分。

四．从1到2000这2000个数字中任取一数，求 1）该数能被6整除的概率； 2）该数能被8整除的概率； 3）该数能被6和8整除的概率； 4）该数能被6或8整除的概率。 解：利用古典概型的公式

P(A)?mA所含样本点数?n样本点总数

有利于A的场合数?样本点总数1）

333250183；2）； ?；3）2000200020008P(能被8整除)＋P(能被6整除)－P(既能被6整除又能被8整除)4）?333183??2000820001?4

五．空战中，从A1，A2，A3处射击的概率分别为0.2, 0.7, 0.1, 而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2, 0.1, 0.05。

任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。

若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由A3处射出的概率。 解：1） 设B表示目标被击中。则由全概率公式

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

=0.2?0.2?0.7?0.1?0.1?0.05?0.115 2) 由Bayes公式

P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)

P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ＝

0.1?0.051＝?0.043

0.11523六．一地区农民年均收入服从??500元，??20元的正态分布，求： 该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比；

如果要使农民的年均收入在(??a,??a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？ 3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。

?~N?500,202?

解：（1）

?520?500??500?500?P?500???520???0???0?????0?1???0?0??0.8413?0.5?0.34132020????（2）

P???a?????a??0.95，

????a????P???0.95?，2??1?0.95 0??202020????可得，

a?1.96，a?39.2 20003（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：C3(p1)(1?p1)，

01?C3(0.3413)0(1?0.3413)3

??10七．设随机变量Xi??11??421??1?（i=1,2）,且满足P{X1X2?0}?1，则求概率P{X1?X2}。 4?解：由P{X1X2?0}?1，得P{X1X2?0}?0，即

P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2??1}?P{X1?1,X2?1}?P{X1??1,X2??1}?0

再根据联合分布与边际分布的关系可以求得X1和X2的联合分布。

X2 X1 －1 0 1 P{X1?xi}?pi? －1 0 1 0 1 40 0 1 41 21 4 1 40 1 40 1 41 2 P{X2?yi}?p?j1 41 4所以P{X1?X2}＝0.

八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种：

试求它发芽的概率；

若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？

解：设事件A1?“取出来的种子是一等种子” A2?“取出来的种子是二等种子”

A3?“取出来的种子是三等种子”

B?“取出的种子发芽” B?“取出的种子未发芽”

由题： P(A1)?80%P(A2)?18%P(A3)?2%

P(B|A3)?0.1

P(B|A1)?0.8P(B|A2)?0.2 P(B|A1)?0.2P(B|A2)?0.8P(B|A3)?0.9

（1）全概率公式 P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) =67.8%

（2）贝叶斯公式

P(A1|B)?=0.497

P(A1)P(B|A1)

P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

九、 设随机变量ξ的分布列为

ξ ?0

?

2?2

?

0.2

P

20.2 0.3 0.3

求????1的分布列。 解：

????2?1 (?)2?1 02?1

2p

整理得η的分布列

0.2

0.3

()2?1 ?2?1 20.3

0.2

?十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20，65%，15%. 毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。 解：记B={成为优秀教师}

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) 8020706555156975???????10010010010010010010000

十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。求1）ξ的分布列；2）Eξ。 解：1） ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi 12345654321 3636363636363636363636 2）E???kP{??k}

k?212?2?121?3??...?12? 363636252＝?7

36

十二、设二维离散型随

?

η 0 ξ 1 C 101?1 0.3 2 C 10?2机向量（ξ，η）的联合分布列为：

41??2

0.2

P 1 C 100.5

2 3

0 2C 102C 102C 10C 100 1） 求常数C;

2） 求ξ，η的边缘分布列；

3） 求ξ＝2的条件下，η的条件分布列； 4） 判断ξ与η是否相互独立。 解：1）C=1; 2)

1 2 η 0 ξ 1 2 3 0.1 0 0.2 0.3 0.1 0.2 0 0.3 0.1 0.2 0.1 0.4 pi? 0.3 0.4 0.3 p?j ?和?的边沿分布列为： ? P ? P 3)

1 0.3 0 0.3 2 0.4 1 0.3 3 0.3 2 0.4 ?|??2 P 整理得： 0 0 1 0.5 1 0.5 2 0.5 2 0.5 ?|??2 P

4）因为P{??2,??0}?0?0.4?0.3?P{??2}P{??0} 所以?与?不相互独立

十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以X表示他首次命中时累计的投篮次数。写出X的分布律． 解：分布律为P{X?k}?(0.4)k?1(0.6)k?1,2,?

?kx?10?x?2p(x)?十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数 ?0其他?求系数k及分布函数，并计算P{1.5<ξ<2.5}．

解：由密度函数的性质

1?2k2p(x)dx?(kx?1)dx?(x?x)?2k?2 ??02??0x?21?k?? F(x)??p(t)dt

2??当x?0时，p(t)?0, F(x)?0

112x12当0?x?2时，F(x)??(1?t)dt?(t?t)?x?x

02440当x?2时，F(x)?1

x?0?1?F(x)??x?x2?4?1x?00?x?2 x?21P{1.5???2.5}?F(2.5)?F(1.5)?1?[1.5?(1.5)2]?0.0625

4

十五、设随机变量X,Y的联合分布为

X Y 0 1 2 3 1 0.00 0.12 0.08 0.05 2 0.03 0.05 0.03 0.04 3 0.05 0.07 0.08 x 4 0.02 0.01 0.11 0.06 求x, 及X,Y的边际分布（直接填写在表中），给出X在Y?2的条件下的条件分布． 解：x =0.2

X在Y?2的条件下的条件分布为 1 2 X|Y?2 十六、设二元连续型随机向量(X,Y)的联合密度函数为

3 4 4 151 104 1511 30?1,f(x,y)???0,求X,Y的数学期望、方差和相关系数．

0?x?1,|y|?x,其它.

解：当0

当-1

当0?y?1,P?(y)??y1dx?1?y 而y?1,P?(y)?0

11x E???1x?2x02dx?x331?0210，E???0y(1?y)dy???1y(1?y)dy?0， 321211 D??E?2?(E?)2??0x2?2xdx?()2??()2?

323181 D??E?2?(E?)2?

6 Cov(?,?)?E???E?E???0(??xxy?1dy)dx?0

?r?

综合应用题（含答案）

1.设二维连续型随机向量（?,?）的联合密度函数为

1xCo(v?,?)D??D??0

?2Axy?x?0?x?1,0?y?2 p(x,y)??3?0其它?其中A为常数，求：

1） 常数A;

2） ?,?的边沿密度函数p1(x),p2(y); 3） ?,?的条件密度函数p(xy),p(yx); 4） 判断?与?是否相互独立；

解：1）由密度函数的性质：

1???????p(x,y)dxdy12?Axy???0?0?x2??dxdy3?? 12?2Axy???0dx?0?x??dy3????y 2 1 1 x ??p(x,y)?0 ??1?2A???0?2x2?x?dx

3??A?2A?2??x3?x?1? 0?3333??1??2?xy0??Axy2???6?20??dy??所以

?2?A?3?1???1

?3?2）由边沿密度的计算公式，及p(x,y)?0的直观图形：

p1(x)????p(x,y)dy

当x?0或x?1时p(x,y)?0,所以p1(x)?0 当0?x?1时，

??2xy2?2?2xy??p1(x)??0?x??dy??xy???03?6??? 2?2x2?x32所以

?22?2x?x0?x?1 p1(x)??3?0其它?p2(y)????p(x,y)dx

当y?0或y?2时，p(x,y)?0，此时p2(y)?0； 当0?y?2时

??13x2?1?2xy?p2(y)??0?x??dx??x?y?0?3?6???3?

1y??361所以：

?1y??p1(x)??36??03）由条件密度的计算公式：

当0?y?2时p2(y)?0，此时条件密度存在，且

0?y?2其它

?2xy?x?3p(x,y)?p(xy)???11p2(y)??y36?0??6x2?2xy???2?y?0?当0?x?1时，p1(x)?0，此时条件密度存在，且

0?x?1其它

0?x?1其它?2xy?x?3p(x,y)?p(yx)???22p1(y)?2x?x3?0??3x2?xy???6x2?2x0?y?2?0其它??3x?y?0?y?2??6x?2?其它?04）显然：p(x,y)?p1(x)p2(y)

所以?与?不独立。

2.设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为：

0?y?2其它

?122?,x?y?1f(x,y)???

?其它?0,试求fY|X(y|x)，并讨论X，Y的独立性。 解： (X,Y) 关于X的边际密度为：

fX(x)??????21?x2,|x|?1? f(x,y)dy????|x|?1?0, 当 | x | <1时,有

fY|X(y|x)?f(x,y) fX(x)1?(2?)1?x2?

?121?x2, ?1?x2?y?1?x2 即 当 | x| <1时, 有

1?,?1?x2?y?1?x2?fY|X(y|x)??21?x2

?0,y取其它值?fY|X(y|x)?X，Y不独立。

f(x,y)?fY(y)，

fX(x)3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?A(x2?y)f(x,y)??0?x2?y?1其它

（1） 求常数A；

（2） 求X和Y的边际密度； （3） X和Y是否相互独立？ （4） 求概率P(Y?X)。

解: (1) 1?所以A?????????f(x,y)dxdy?A?[?2(x2?y)dy]dx??1x1116A 1515。 16（2）fX(x)??????1152(x?y)dy?1?x?1?f(x,y)dy???x216

?0其它??1524?(1?2x?3x)?1?x?1fX(x)??32

?0其它?fY(x)??????y152(x?y)dy0?y?1?f(x,y)dx????y16

?0其它?

fY(x)??????53?y2f(x,y)dx??2?0?0?y?1其它

（3）X和Y不相互独立。 （4）P(Y?X)?

4． 某人有10万元资金决定进行投资，现有两个投资项目可供选择，设投资项目1的收益为?（万元），投资项目2的收益为?（万元），其分布列为分别为

x?y??f(x,y)dxdy?7 64? P

-2 1 4 0.2 0.3 0.4 ? P 若同期银行利率为5%，问应如何选择投资项目？

解：10万元存入银行的无风险收益为

-4 1 5 0.2 0.3 0.5 10?0.05?0.5（万元）

若投资项目1，则平均收益和方差为

E???2?0.2?1?0.3?4?0.5?1.9（万元）

D??(?2?1.9)2?0.2?(1?1.9)2?0.3?(4?1.9)2?0.5?5.49

若投资项目2，则平均收益和方左为

E???4?0.2?1?0.3?5?0.5?2（万元） D??(?4?2)2?0.2?(1?2)2?0.3?(5?2)2?0.5?12

因为两个投资项目的平均收益都大于0.5（万元），所以两个投资项目都是可取的选择，由计算结果，对于赌徒可选择投资项目2，对保守者可选择投资项目1，对理智的投资者来说，因为

1.9?0.55.49应选择投资项目1

?0.5975?2?0.512?0.433

5 . 设二元连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

?1/?,f(x,y)???0,证明：X,Y不相关但X,Y不相互独立． 证明： p1(x)???x2?y2?1,其它.

??p(x,y)dy????11?x21?x2?dy?21?x2????11?y2|x|?1 dx?21?y2|y|?1

p2(y)????p(x,y)dx?所以

1?y2?p(x,y)?p1(x)p2(y)

即?与?不独立。

但

E?????xp1(x)dx???1x同理E??0

?121?x2?dx?0

E(??E?)(??E?)?E?????????xyp(x,y)dxdy??????dxdyx?y?122xy

???1dx??从而得?与?的相关系数为0。

11?x21?x2xy?dy?0

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