解析几何的最值问题是数学竞赛和高考的常见

解析几何最值问题的解法

上海市松江一中 陆珲

解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：

1、化为二次函数，求二次函数的最值； 2、化为一元二次方程，利用△； 3、利用不等式；

4、利用函数的单调性和有界性； 5、利用几何法。

在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。 例题1：如图已知P点在圆x2?(y?4)2?1上移动，

x2?y2?1上移动，求|PQ|的最大值。 9Q点在椭圆

[分析：如图先让Q点在椭圆上固定，显然PQ通大，因此要|PQ|的最大值，只要求|OQ1|的最大

222解：设Q点坐标(x,y)，则|OQ ①， |?x?(y?4)1过圆心O1时|PQ|最值。]

x2因Q点在椭圆上，故?y2?1 ②

9121?Q点在椭圆上移动，??1?y?1 ?y??时，|OQ1|min?27?33 2把②代入①得|O1Q|2?9(1?y2)?(y?4)2??8(y?)2?27

?|PQ|min?33?1

说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。 例题2：如图，定长为3的线段AB的两端在抛物线y2?x上移动，且线段中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。

[分析：点M到y轴的最短距离，即求点M横坐标的最小值。]

解法一：化为一元二次方程，利用△ 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)则

?x1?x2?2x??y1?y2?2y?2 ?y1?x1?2?y2?x2?(x?x)2?(y?y)2?9?1212① ② ③ ④ ⑤

2③④代入⑤，整理得(y1?y2)2??(y1?y2)?1???9，即 2(y12?y22?2y1y2)?(y?y)?1?12???9 ⑥

由①③④得y12?y22?x1?x2?2x ⑦

(y1?y2)2?2y1y2?2x

②代入上式得2y1y2?4y2?2x ⑧

②⑦⑧代入⑥并整理得16y4?(4?16x)y2?9?4x?0 ⑨

?y?R，?△?(4?16x)2?64(9?4x)?0，即(4x?5)(4x?7)?0 ?4x?7?0,?x?552，将x?代入⑨得y?? 44254所以AB中点M到y轴的最短距离是，相应的点M的坐标为(,5252) )或(,?4242说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△计算。在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应注意方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦达定理）等进行讨论和判断。同时，此类解法字母较多，计算量大，解题时应更加仔细。 解法二：利用不等式

同解法一，得⑨，整理得(16y2?4)x?16y4?4y2?9，

916y2?491915x?y?????2?? 2216y?41616y?4416442以下同前。

说明：利用不等式性质（a,b?R?,a?b?2ab,a?b时等号成立）的解法也是比较常用的解题方法，但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质的特点，在进行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要关注到位。若题设条件无法在a?b时取得最值，则应利用函数的单调性和有界性求得最值。

解法三：几何法

如图设A(m2,m),B(n2,n)，则以AB为直径的

(x?m2)(x?n2)?(y?m)(y?n)?0

圆为

准线x??上离圆最远的点M'(?,141m?n)42代入上式得，

11m?nm?n1(??m2)(??n2)?(?m)(?n)?(mn?)2?0 44224131故准线x??与圆相离或相切，又圆半径为，圆与准线相切时，即mn??时，点M到y轴的最

4243155m2?n2短距离是??，即点M横坐标的最小值为

24442m?n1m2?n2mn51222点M的纵坐标 ??m?n?2mn????????2242882所以点M的坐标为(,5252) )或(,?4242说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设条件具有相当的迁移能力。

例题3：在半径为R的圆O中，AB?2R，点P为?AB上一动点，过点P作AB的垂线交AB于点Q，求△APQ的面积最大值。

[分析：通过建立函数关系式，利用函数求最解法一：

如图，以圆心O为坐标原点，过O平行于AB的角坐标系。

因为△AOB为等腰直角三角形，所以A坐标设P点坐标(Rcos?,Rsin?)，??(45?,135?)

?S?APQ??122121Rcos??R?Rsin??R?R2sin?cos??(cos??sin?)?222222值的方法解决问题]

直线为x轴建立平面直

为(?22R,R) 22

12122112112R?(cos??sin??)??R??R2224248122?S?R ?0，即??75?时??APQ?max?82当cos??sin??

解法二：

如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立因为△AOB为等腰直角三角形，所以圆心O坐标为圆方程为(x?2222R)?(y?R)?R222，即

平面直角坐标系。

(22R,?R)， 22x2?y2?2Rx?2Ry?0

12R(x?y) ?(x?y)2?2xy?2R(x?y)?0 ?xy??(x?y)2?22设P点坐标(x,y)，则点P的坐标满足上式，

?S?APQ?112xy??(x?y)2?R(x?y) 244122?S?R R时，??APQ?max?82?0?x?y?2R ?当x?y?说明：通过以上两种解法可见，不同的坐标系的建立方法对解题模式的影响是巨大的，虽然解法二也可用参数方程，但显然计算很复杂。并且以上两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法。所以，在解题时我们应综合分析题意，就能选择出恰当的角度和方法来解决问题。

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