贵州省贵阳一中2016届高三(下)第六次月考数学试卷(理科)(解

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2015-2016学年贵州省贵阳一中高三(下)第六次月考数学试卷

(理科)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知m∈R,若A.﹣1 B.2.已知向量A.3

B.﹣3 C.

C.2

为实数,则m的值为( ) D.1

,D.

,则

等于( )

3.”a>﹣2”是函数f(x)=|x﹣a|在(﹣∞,1]上单调递减的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.某校高三年级有班号为1~9的9个班,从这9个班中任抽5个班级参加一项活动,则抽出班级的班号的中位数是5的概率等于( ) A.

B.

C.

D.

5.执行如图所示的程序框图,若输出a=30,i=6,则输入p,q的值分别为( )

A.5,6 B.6,5 C.15,2 6.函数

D.5,3

的零点所在的区间是( ) C.(1,2) D.(2,3)

A.(﹣3,﹣1) B.(﹣1,1)

第1页(共21页)

7.设x,y满足约束条件,若目标函数的最大

值为2,则A.

的图象向左平移后的表达式为( )

D.

B.y=cos2x C.y=﹣cos2x

8.已知点O为线段AB=4的中点,C为平面上任一点,(C与A,B不重合),若P为线段OC上的动点,则的最小值是( ) A.2 B.0 C.﹣1 D.﹣2 9.已知双曲线

的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的

截得的弦长为

,则双曲线的离心率为( )

圆被直线

A.1 B.2 C. D.

10.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为a,b,c,点E,F,G分别在线段BC1,A1D,A1B1上运动(如图甲).当三棱锥G﹣AEF的俯视图如图乙所示时,三棱锥G﹣AEF的侧视图面积等于( )

A. ab B. bc C. bc D. ac

11.设数列{an}的前n项和为Sn,若n>1时,2an=an+1+an﹣1,且S3<S5<S4,则满足Sn﹣1Sn<0(n>1)的正整数n的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6

12.已知g′(x)是函数g(x)在R上的导数,对?x∈R,都有g(﹣x)=x2﹣g(x),在

(﹣∞,0)上,g′(x)>x,若g(3﹣t)﹣g(t﹣1)﹣4+2t≤0,则实数t的取值范围为 .

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.

的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和之比为729,则(x﹣1)n

的展开式中系数最小项的系数等于 .

第2页(共21页)

14.用一个实心木球毛坯加工成一个棱长为为 .

的三棱锥,则木球毛坯体积的最小值应

15.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知

,则△ABC的面积是 .

,,

16.已知函数

若有三个不同的实数x1,x2,x3(x1

<x2<x3),使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则满足x1+x2>4π﹣x3的事件的概率为 .

三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设数列{an}满足:a1=1且an+1=2an+1(n∈N+). (1)求数列{an}的前n项和Sn; (2)用数学归纳法证明不等式:

+

+…+

<n(n≥2,n∈N+).

18.贵阳一中食堂分为平行部食堂和国际部食堂,某日午餐时间,某寝室4名学生在选择就餐食堂时约定:每人通过掷一牧质地均匀的骰子决定自己去哪个食堂就餐,掷出点数为1

或2的人去国际部食堂就餐,且每个人必须从平行部食堂和国际部食堂中选一个食堂就餐.

(I)求这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率;

(Ⅱ)用x,y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数,记ξ=xy,求随机变量ξ的分布列和期望.

19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥底面ABCD,PA=AB=2,BC=PA,BD=

,E在PC边上.

(1)求证:平面PDA⊥平面PDB;

(2)当E是PC边上的中点时,求异面直线AP与BE所成角的余弦值; (3)若二面角E﹣BD﹣C的大小为30°,求DE的长.

20.已知椭圆

的右焦点是抛物线y2=4x的焦点,以原点O为圆

心,椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x+y﹣2=0相切. (1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点,且△POQ的面积为定值,试判断直线OP与OQ的斜率之积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由. 21.已知f(x)=﹣x2+ax﹣2,g(x)=xlnx.

第3页(共21页)

(1)对任意x∈(0,+∞),g(x)≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围; (2)求函数g(x)在区间[m.m+1](m>0)上的最值; (3)证明:对任意x∈(0,+∞),都有lnx+

成立.

[选修4-1:几何证明选讲]

22.如图,已知PA与圆O相切,P为切点,割线ABC与圆O相切于点B,C,AC=2PA,D为AC的中点.PD的延长线交圆O于E点,证明: (1)∠ECD=∠EBD; (2)2DB2=PD?DE.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两坐标系中取相同的单位长度,已知曲线C的方程为

,点

(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标;

(2)设B为曲线C上一动点,以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴,求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标.

[选修4-5:不等式选讲]

24.设x,y,z∈R,若x﹣2y+z=4. (1)求x2+y2+z2的最小值;

(2)求x2+(y﹣1)2+z2的最小值.

第4页(共21页)

2015-2016学年贵州省贵阳一中高三(下)第六次月考数

学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知m∈R,若A.﹣1 B.

C.2

为实数,则m的值为( ) D.1

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数解即可得答案. 【解答】解:∵m∈R,∴m﹣1=0,即m=1. 故选:D.

2.已知向量A.3

B.﹣3 C.

,D.

,则

等于( )

=

,再由已知条件得虚部等于0,求

【考点】两角和与差的正切函数;平行向量与共线向量.

【分析】利用两个向量共线的性质,可得﹣2sinα+cosα=0,易求tanα的值.然后由两角和与差的正切函数进行解答. 【解答】解:∵, ∴﹣2sinα+cosα=0, 则tanα=, ∴

=

=3,

故选A.

3.”a>﹣2”是函数f(x)=|x﹣a|在(﹣∞,1]上单调递减的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】求出函数f(x)=|x﹣a|在(﹣∞,1]上单调递减的充要条件,结合集合的包含关系判断即可.

【解答】解:由“函数f(x)=|x﹣a|在(﹣∞,1]上单调递减”得:a≥1,

第5页(共21页)

所以“a>﹣2”是“函数f(x)=|x﹣a|在(﹣∞,1]上单调递减”的必要不充分条件, 故选B.

4.某校高三年级有班号为1~9的9个班,从这9个班中任抽5个班级参加一项活动,则抽出班级的班号的中位数是5的概率等于( ) A.

B.

C.

D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数n=个数m=

,再求出抽出班级的班号的中位数是5包含的基本事件

,由此能求出抽出班级的班号的中位数是5的概率.

【解答】解:某校高三年级有班号为1~9的9个班, 从这9个班中任抽5个班级参加一项活动, 基本事件总数n=

=126,

=36

抽出班级的班号的中位数是5包含的基本事件个数m=∴抽出班级的班号的中位数是5的概率p==

=.

故选:C.

5.执行如图所示的程序框图,若输出a=30,i=6,则输入p,q的值分别为( )

A.5,6 B.6,5 C.15,2 【考点】程序框图.

D.5,3

【分析】模拟程序的运行,得到该程序的功能是求p、q两个数的最小公倍数,由此结合题意即可得答案.

【解答】解:∵模拟程序的运行,由输出a=30,i=6, ∴p=5,a=p×i=5×6, ∴q=6, 故选:A.

第6页(共21页)

6.函数的零点所在的区间是( )

A.C.(﹣3,﹣1) B.(﹣1,1) (1,2) D.(2,3) 【考点】函数零点的判定定理;定积分.

【分析】利用积分,化简函数,再利用零点存在定理,即可得出结论. 【解答】解:∵

=

=8﹣1=7,

∴g(x)=2ex+x﹣7, ∴g′(x)=2ex+1>0,

∴g(x)在R上单调递增,

∵g(﹣3)=2e﹣3﹣10<0,g(﹣1)=2e﹣1﹣8<0,g(1)=2e﹣6<0,g(2)=2e2﹣5>0,

故选C.

7.设x,y满足约束条件,若目标函数的最大

值为2,则A.

的图象向左平移后的表达式为( )

D.

B.y=cos2x C.y=﹣cos2x

【考点】简单线性规划.

【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,求出m,然后利用三角函数的图象变换求解即可.

【解答】解:约束条件的可行域为三角形ABC及其内部,如图:

其中A(1,0),B(2,0),C(4,3), 因此目标函数即从而

,向左平移,

故选:C.

后的表达式为

过C(4,3)时取最大值2,

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8.已知点O为线段AB=4的中点,C为平面上任一点,(C与A,B不重合),若P为线段OC上的动点,则的最小值是( ) A.2 B.0 C.﹣1 D.﹣2 【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】根据基本不等式和向量的几何意义即可求出. 【解答】解:如图,因为O为AB的中点,所以, 从而

=

因为CA⊥CB,所以C的轨迹是以AB为直径的圆,则OC=2. 又为定值, 所以当且仅当,即P为OC的中点时,

取得最小值﹣2,

故选:D.

9.已知双曲线

的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的

截得的弦长为C.

,则双曲线的离心率为( )

圆被直线A.1

B.2

D.

【考点】双曲线的简单性质.

第8页(共21页)

【分析】求出圆心到直线的距离,利用以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a,求出a,c的关系,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解:由题意,圆心到直线的距离为d=

=

∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为∴2

=

a,

a,

∴平方得4(c4﹣a2b2)=13a2c2, ∴4c4﹣17a2c2+4a4=0,

两边同除以4a4,得4e4﹣17e2+4=0, ∵e>1,∴e=2, 故选:B.

10.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为a,b,c,点E,F,G分别在线段BC1,A1D,A1B1上运动(如图甲).当三棱锥G﹣AEF的俯视图如图乙所示时,三棱锥G﹣AEF的侧视图面积等于( )

A. ab B. bc C. bc D. ac

【考点】简单空间图形的三视图.

【分析】根据俯视图确定E,F,G三点的位置,判断棱锥在左侧面的投影,得出左视图面积.

【解答】解:由俯视图可知G与B1重合,F与D重合,E为BC1的中点, 此时棱锥在左侧面的投影为△A1AD, ∴左视图的面积S=S

=

故选C.

11.设数列{an}的前n项和为Sn,若n>1时,2an=an+1+an﹣1,且S3<S5<S4,则满足Sn﹣1Sn<0(n>1)的正整数n的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6

第9页(共21页)

【考点】数列的求和.

【分析】可判断数列{an}是等差数列,且S5﹣S3=a4+a5>0,S5﹣S4=a5<0,从而求得S8=

×8>0,S9=9a5<0,从而解得.

【解答】解:∵当n>1时,2an=an+1+an﹣1, ∴数列{an}是等差数列, ∵S3<S5<S4,

∴S5﹣S3=a4+a5>0,S5﹣S4=a5<0, ∴数列{an}是递减的等差数列, 而S8=S9=9a5<0, 故n=9, 故选A.

12.已知g′(x)是函数g(x)在R上的导数,对?x∈R,都有g(﹣x)=x2﹣g(x),在(﹣∞,0)上,g′(x)>x,若g(3﹣t)﹣g(t﹣1)﹣4+2t≤0,则实数t的取值范围为 t≥2 .

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】求出g(x)的奇偶性和单调性,得到关于t的不等式组,解出即可. 【解答】解:令

×8>0,

则f'(x)=g'(x)﹣x,

因为在(﹣∞,0)上,g'(x)>x,∴f'(x)>0, ∴f(x)在(﹣∞,0)上递增, 又

是奇函数,在R上是增函数.

=

∴f(3﹣t)﹣f(t﹣1)≤0,即f(3﹣t)≤f(t﹣1), ∴3﹣t≤t﹣1, ∴t≥2,

故答案为:t≥2.

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.

的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和之比为729,则(x﹣1)n

的展开式中系数最小项的系数等于 ﹣20 . 【考点】二项式定理的应用.

第10页(共21页)

【分析】令x=1,则系数和为6n,二项式系数和为2n,由题意,二项式定理的展开式即可得出.

【解答】解:令x=1,则系数和为6n,二项式系数和为2n,由题意,

6

n=6.∴3n=729,(x﹣1)的展开式中系数最小的项为第4项,其系数为

,解得n,再利用

故答案为:﹣20.

14.用一个实心木球毛坯加工成一个棱长为

的三棱锥,则木球毛坯体积的最小值应为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】由题意,将三棱锥补成一个正方体,其棱长为1,则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球,由正方体对角线长公式求得球的直径,则木球毛坯体积的最小值可求. 【解答】解:如图,

将三棱锥补成一个正方体,其棱长为1,则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球, 此时直径为故答案为:

=

,体积为

15.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知

,则△ABC的面积是

【考点】正弦定理.

第11页(共21页)

【分析】由,得acosA=ccosC,利用正弦定理可得:sinAcosA=sinCcosC,进

而单调a=c,即△ABC为等腰三角形.根据余弦定理,a=c,

,及其三角形面积计算公式即可得出.

,得acosA=ccosC,

,结合

【解答】解:在△ABC中,由

由正弦定理可得:sinAcosA=sinCcosC,即sin2A=sin2C,∴A=C或又∵

,∴A=C,即a=c,即△ABC为等腰三角形;

根据余弦定理,,结合a=c,,有:c=2=a, ,

∴.

故答案为:

16.已知函数

若有三个不同的实数x1,x2,x3(x1

<x2<x3),使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则满足x1+x2>4π﹣x3的事件的概率为

【考点】几何概型.

【分析】根据分段函数,求出满足条件的区间,以长度为测度,即可求出满足x1+x2>4π﹣x3的事件的概率.

【解答】解:当x∈[0,π)时,f(x)=1﹣sinx在[0,π)上先减后增,且0≤f(x)≤1,当且仅当

时,f(x)=0.

设f(x1)=f(x2)=f(x3)=d,由f(x)=1﹣sinx在(0,π)上的对称性,方程1﹣sinx=d有两个不同的根,两根和为π; 当x∈[π,+∞)时,

单调递增,故f(x)≥log20161=0,

若有三个不同的实数x1,x2,x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则0<f(x1)=f(x2)=f(x3)<1,

x1+x2=π,x1,x2∈[0,x3∈[π,π)∵x1<x2<x3,则由以上分析知,,+∞),

即π<x3<2016π,故2π<x1+x2+x3<2017π.当x1+x2>4π﹣x3时,4π<x1+x2+x3<2017π, ∴满足x1+x2>4π﹣x3的事件的概率为

第12页(共21页)

故答案为:.

三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设数列{an}满足:a1=1且an+1=2an+1(n∈N+). (1)求数列{an}的前n项和Sn; (2)用数学归纳法证明不等式:

+

+…+

<n(n≥2,n∈N+).

【考点】数学归纳法;数列的求和. 【分析】(1)根据数列的递推公式,和等比数列的求和公式即可求出答案. (2)直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式,(1)验证n=2时不等式成立;(2)假设当n=k(k≥2)时成立,利用放缩法证明n=k+1时,不等式也成立. 【解答】(1)解:由题意有:

即{an+1}是一个以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列, ∴

∴=.

(2)证明:由(Ⅰ)可得所证不等式为下面用数学归纳法证明: ①当n=2时,左边=

②假设n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立, 即

,不等式成立;

(n≥2,n∈N*).

当n=k+1时,不等式左边=,

∵k≥2,k∈N*,∴

,∴,

∴当n=k+1时,

综上①②,对任意n∈N*,不等式成立.

成立,

第13页(共21页)

18.贵阳一中食堂分为平行部食堂和国际部食堂,某日午餐时间,某寝室4名学生在选择就餐食堂时约定:每人通过掷一牧质地均匀的骰子决定自己去哪个食堂就餐,掷出点数为1

或2的人去国际部食堂就餐,且每个人必须从平行部食堂和国际部食堂中选一个食堂就餐.

(I)求这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率;

(Ⅱ)用x,y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数,记ξ=xy,求随机变量ξ的分布列和期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.

【分析】(Ⅰ)每名同学到去国际部食堂就餐的概率p=,去平行部食堂就餐的概率为,由此能求出这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率.

(Ⅱ)用x,y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数,记ξ=xy,由已知得ξ的可能取值为0,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ. 【解答】解:(Ⅰ)∵每人通过掷一牧质地均匀的骰子决定自己去哪个食堂就餐, 掷出点数为1或2的人去国际部食堂就餐,且每个人必须从平行部食堂和国际部食堂中选一个食堂就餐,

∴每名同学到去国际部食堂就餐的概率p=,去平行部食堂就餐的概率为1﹣p=, ∴这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率: P(X=2)=

=

(Ⅱ)用x,y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数,记ξ=xy, 由已知得ξ的可能取值为0,3,4, P(ξ=0)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=∴ξ的分布列为:

ξ P +=

. =

=

0 =.

3 4 Eξ=+4×

19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥底面ABCD,PA=AB=2,BC=PA,BD=

,E在PC边上.

(1)求证:平面PDA⊥平面PDB;

(2)当E是PC边上的中点时,求异面直线AP与BE所成角的余弦值; (3)若二面角E﹣BD﹣C的大小为30°,求DE的长.

第14页(共21页)

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】(1)由题意可得AD2+BD2=AB2,得AD⊥BD,再由PD⊥底面ABCD,得BD⊥平面PAD,由面面垂直的判定得平面PDA⊥平面PDB;

(2)以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系,由已知得到点D、P、A、B、C、E的坐标,由

的夹角求得异面直线AP与BE所成角的余弦值;

,且0≤λ≤1,从而求出

(3)由C,E,P三点共线,得

坐标,再求出平面EDB与平面CBD的法向量,结合二面角E﹣BD﹣C的大小为30°列式求得λ,进一步得到的坐标,则DE的长可求. 【解答】(1)证明:∵底面ABCD是平行四边形,∴AD=BC=1, 又,满足AD2+BD2=AB2, ∴AD⊥BD,

又∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BD,得BD⊥平面PAD, ∵BD?平面PDB,∴平面PDA⊥平面PDB;

(2)解:以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系,

则,

∵E是PC边上的中点,∴则

第15页(共21页)

∴cos<>=|

|=|=;

(3)解:由C,E,P三点共线, 得从而有

设平面EDB的法向量为

,且0≤λ≤1,

由,得,

取x=,得,

又平面CBD的法向量可取

∵二面角E﹣BD﹣C的大小为30°,∴cos30°=|=|,解得.

20.已知椭圆

,则|DE|=||=.

的右焦点是抛物线y2=4x的焦点,以原点O为圆

心,椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x+y﹣2=0相切. (1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点,且△POQ的面积为定值,试判断直线OP与OQ的斜率之积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,可得c值,再由点到直线的距离公式求得a,由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;

(2)联立直线方程和椭圆方程,利用弦长公式求得|PQ|,再由点到直线的距离公式求得O到直线l的距离,结合△POQ的面积为定值求得k与m的关系,代入斜率公式可得直线OP与OQ的斜率之积是否为定值. 【解答】解:(1)由y2=4x,得p=2,则再由点到直线的距离公式得a=

,∴c=1, ,

第16页(共21页)

∴b2=a2﹣c2=3, ∴椭圆C的标准方程为

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立

,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣3)=0,

△=64m2k2﹣16(3+4k2)(m2﹣3)>0,即3+4k2﹣m2>0,

∴,

O到直线l的距离,

∴4k2=3. 则

,可得2m2﹣

∴kOP?kOQ为定值

21.已知f(x)=﹣x2+ax﹣2,g(x)=xlnx. (1)对任意x∈(0,+∞),g(x)≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围; (2)求函数g(x)在区间[m.m+1](m>0)上的最值; (3)证明:对任意x∈(0,+∞),都有lnx+

成立.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)问题转化为

在x∈(0,+∞)上恒成立,令

根据函数的单调性,求出F(x)的最小值,从而求出a的范围即可;

(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出g(x)的最小值、最大值;

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(3)问题等价于证明设

,知道g(x)=xlnx的最小值,

,根据函数的单调性求出G(x)的最大值,从而

证出结论即可. 【解答】(1)解:对任意x∈(0,+∞),g(x)≥f(x)恒成立, 即xlnx≥﹣x2+ax﹣2恒成立,也就是令

在x∈(0,+∞)上恒成立.

则,

x∈(0,1)时,F'(x)<0;x∈(1,+∞)时,F'(x)>0, 因此在x=1处取极小值,也是最小值, 即F(x)min=F(1)=3, ∴a≤3.

(2)解:g'(x)=lnx+1,令g'(x)=0得当在

时,在

上,g'(x)<0;

上,g'(x)>0,

因此g(x)在处取得极小值,也是最小值, 故

由于g(m)=mlnm<0,g(m+1)=(m+1)ln(m+1)>0, 因此,g(x)max=g(m+1)=(m+1)ln(m+1) 当

时,g'(x)≥0,因此g(x)在区间[m,m+1](m>0)上单调递增,

故g(x)min=g(m)=mlnm,g(x)max=g(m+1)=(m+1)ln(m+1) (3)证明:问题等价于证明由(Ⅱ)知g(x)=xlnx当且仅当

时取最小值

设,则,

易知

从而可知对任意x∈(0,+∞),都有

[选修4-1:几何证明选讲]

, 成立.

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22.如图,已知PA与圆O相切,P为切点,割线ABC与圆O相切于点B,C,AC=2PA,D为AC的中点.PD的延长线交圆O于E点,证明: (1)∠ECD=∠EBD; (2)2DB2=PD?DE.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】(Ⅰ)如图3,连接PB,PC,由已知可得:∠APD=∠ADP,进而得出∠CPD=∠BPD,可得CE=EB,即可证明.

PA2=AB?AC,(Ⅱ)由切割线定理得,可得B是AD中点,由相交弦定理,得DB?DC=PD?DE,

即可证明. 【解答】证明:(Ⅰ)如图3,连接PB,PC, 由题设知PA=AD,∴∠APD=∠ADP,

∵∠ADP=∠PCD+∠CPD,∠APD=∠BPD+∠BPA,∠PCD=∠BPA, ∴∠CPD=∠BPD, 从而,因此CE=EB, ∴∠ECD=∠EBD.

(Ⅱ)由切割线定理得,PA2=AB?AC,

∵PA=AD=DC,∴DC=2AB,∴AB=DB,即B是AD中点, 由相交弦定理,得DB?DC=PD?DE, ∴2DB2=PD?DE.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两坐标系中取相同的单位长度,已知曲线C的方程为

,点

(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标;

(2)设B为曲线C上一动点,以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴,求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】(1)曲线C的方程为

y=ρsinθ,可得曲线C的直角坐标方程.点

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2

1+2sin2θ)=3,,即ρ(利用互化公式x=ρcosθ,

即可化为直角坐标.

(2)曲线C的参数方程为

设,依题意可得

即可得出矩形BEAF的周长,再利用和差公式即可得出. 【解答】解:(1)曲线C的方程为

,即ρ2(1+2sin2θ)=3,

,可设:

由x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为.

化为直角坐标为A

(2)曲线C的参数方程为∴设

依题意可得

矩形BEAF的周长==,

时,周长的最小值为

, 此时,点B的直角坐标为

[选修4-5:不等式选讲]

24.设x,y,z∈R,若x﹣2y+z=4. (1)求x2+y2+z2的最小值;

(2)求x2+(y﹣1)2+z2的最小值. 【考点】基本不等式. 【分析】(1)(2)利用柯西不等式即可求解. 【解答】解:(Ⅰ)由柯西不等式, 得:(x2+y2+z2)[12+(﹣2)2+12]≥(x﹣2y+z)2 即:6(x2+y2+z2)≥42, ∴

,当且仅当

时等号成立,

故:x2+y2+z2的最小值为.

(Ⅱ)由柯西不等式,

得:[x2+(y﹣1)2+z2][12+(﹣2)2+12]≥(x﹣2y+2+z)2. 即:6[x2+(y﹣1)2+z2]≥62, ∴x2+(y﹣1)2+z2≥6,当且仅当时等号成立,

故:x2+(y﹣1)2+z2的最小值为6.

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2016年12月5日

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ndy.html

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