第七讲 三角形相似专题小班8份

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第七讲 三角形相似专题

一【考点解读】

相似三角形知识是平面几何中极为重要的内容，是中考数学中重点考查的内容，在近几年的中考中的分值较高，分布于填空题和解答题之中。相似三角形应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密，估计2011年中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考察，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度，下面我们通过例题进一步巩固一下相似三角形知识在解题中的应用

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 2.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的定义

对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形． 4.相似三角形的基本性质

相似三角形的对应边成比例、对应角相等．

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，相似三角形中对应线段的比等于相似比。 5. 相似三角形的判定定理

①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似； ②三边对应成比例的两个三角形相似； ③两角对应相等的两个三角形相似；

④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

二、【典例精析 剖析知识点】

例1 已知直角△ABC斜边上的高CD，相等锐角有两对： 相似的三角形有三对： 比例线段有AC2 = BC2= CD2 = AC.BC=

例2(2010成都)

1

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例3（2009广安）．已知：抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A

在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作

DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面 积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围． S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若 不存在，请说明理由．

A 22y O D B x E C 【中考演练】

1、（2010年南充）如图1所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．判定△ABC与△DEF是否相似？ 2、（2010年宜宾）如图2所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． 3、（2009年安徽省中考题）如图3，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP∶PQ∶QR。

AD

R

PQ BEC

图3 图1图2

2

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4、（2009年北京市中考题）如图5，己知：在RT△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A，若AD∶AO＝8∶5，BC＝2，求BD的长。

5.（2008年福州市中考题）如图，己知△ABC是边长为6cm的等边三

B角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q点到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s),作QR∥BA

Q交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

P

ARC

图6

, 6，（2009年上海市中考题）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90，AD∥BC（如图）。E是射线BC上的动点，（点E与点B不重合），M是线段DE的中点。连接BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长。

DA

MB图7ECAFNMDBE图93

C 望子成龙万达校区初三复习讲义 杨老师 学习改变命运 思考成就未来

E 强化练习（Ａ组） A 一、基础训练

1、如图5所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚着地，则捣头点E上升了 米．

2．如图5，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，

在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北 岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵 南岸

P 树之间还有三棵树，则河宽为 米．

图5

3. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，

使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，?这个正方形零件的边长是多少？

北岸

D B 图5

B组

?4、(2007长沙)如图，□ABCD中，AB?4，BC?3，∠BAD?120，E为BC上一动点（不与B重合），作EF?AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE?x，△DEF的面积为S． （1）求证：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围； （3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

5：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：

（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？

D（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论。（变式：当

点Ｐ、Ｑ运动时，四边形QAPC的面积是否改变？若不变，求出它的面积；若改变，请说明理由。）

Q（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似。

?A D

F B E

C

G

CAP4 B 望子成龙万达校区初三复习讲义 杨老师 学习改变命运 思考成就未来

6、（陕西）王师傅有两块板材边角料，一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，?两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，?要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．

（1）求FC的长；

（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？

（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．

10、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）、求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）、动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC?x，MQ?y，求y与x的函数关系式；

（3）、在（2）中，①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

A

M

D

60°

B

P

Q 5

C

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定时练习步步高

－4

1.若实数m满足m2－10m + 1 = 0，则 m4 + m

= ．

2．如图6所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－

20，5），D3是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，?若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______．

3.已知抛物线y?x2?2(m?1)x?m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5，则整数m的值为 ．

4．已知：a?111?1,b??1，求证：c??1。 bca

5.已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

0

（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60，求证：AH＝AO．

A

O · H E B C M D

6

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定时练习步步高

－4

1.若实数m满足m2－10m + 1 = 0，则 m4 + m

= ．

2．如图6所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－

20，5），D3是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，?若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______．

3.已知抛物线y?x2?2(m?1)x?m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5，则整数m的值为 ．

4．已知：a?111?1,b??1，求证：c??1。 bca

5.已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

0

（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60，求证：AH＝AO．

A

O · H E B C M D

6

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