（浙江专用）2018年高考数学总复习第七章数列、推理与证明第1讲数列的概念及简单表示法学案

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第1讲 数列的概念及简单表示法

最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

知 识 梳 理

1.数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类

分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分类 摆动数列 满足条件 项数有限 项数无限 *

an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an 其中 n∈N* 存在正数M，使|an|≤M 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项

an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数

列的递推公式.

??S1 （n＝1），4.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝?

?Sn－Sn－1 （n≥2）.?

- 1 -

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达.( )

(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(2017·浙江五校联考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.an＝(－1)C.an＝2sin

n－1

??2，n为奇数，

＋1 B.an＝?

?0，n为偶数?

nπ

2

D.an＝cos(n－1)π＋1

解析 对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin答案 C

nπ

2

不合题意，故选C.

3.设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为( ) A.15

B.16

2

2

2

C.49 D.64

解析 当n＝8时，a8＝S8－S7＝8－7＝15. 答案 A

4.已知an＝n＋λn，且对于任意的n∈N，数列{an}是递增数列，则实数λ________.

解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N，都有an＋1＞an，即(n＋1)＋λ(n＋1)＞n＋λn，整理，

得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)

因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)

5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.

*

2

2

2

*

的取值范围是

- 2 -

答案 5n－4

6.(2017·金华调考)在数列{xn}中，x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，则数列{xn}的第2项是________，所有项和T＝________. 解析 ∵x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，

∴x2＝log2(x1－2)＝log28＝3，x3＝log2(x2－2)＝log21＝0. 数列{xn}所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 13

考点一 由数列的前几项求数列的通项

【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； 246810

(2)，，，，，…； 3153563991925

(3)，2，，8，，…； 222(4)5，55，555，5 555，….

解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)(6n－5). (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求2n数列的一个通项公式为an＝. （2n－1）（2n＋1）

149

(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，，2221625n，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝. 222

555n(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10－1，

9995n故所求的数列的一个通项公式为an＝(10－1).

9

规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征；

2

nn - 3 -

(2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；

(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 246

【训练1】 (1)数列0，，，，…的一个通项公式为( )

357A.an＝

n－1n－1**

(n∈N) B.an＝(n∈N) n＋22n＋1

D.an＝

2n*

(n∈N) 2n＋1

2（n－1）*

C.an＝(n∈N)

2n－1

1111

(2)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.

1×22×33×44×5解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.

(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)答案 (1)C (2)(－1)

nn1

.

n（n＋1）

1

n（n＋1）

考点二 由Sn与an的关系求an(易错警示)

【例2】 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 21

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.

33解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2×1＋1＝2； 当n≥2时，

2

2

an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.

??2，n＝1，

故数列的通项公式为an＝?

?6n－5，n≥2.?

2121

(2)由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，

333322

两式相减，得an＝an－an－1，

33∴当n≥2时，an＝－2an－1，即

an＝－2. an－1

21

又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，

33∴an＝(－2)

n－1

.

??2，n＝1，n－1

答案 (1)? (2)(－2)

??6n－5，n≥2

- 4 -

??S1，n＝1，

规律方法 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝?①当n＝1时，a1若适合

?Sn－Sn－1，n≥2.?

Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用

分段函数的形式表示.

易错警示 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.

【训练2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋1，则数列的通项公式an＝________.

解析 (1)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2

n－1

n.

(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋1－3显然当n＝1时，不满足上式.

??4，n＝1，

∴an＝? n－1

?2·3，n≥2.?

nn－1

－1＝2·3

n－1

.

答案 (1)－2

n－1

??4，n＝1，

(2)? n－1

?2·3，n≥2?

考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例3】 在数列{an}中，

(1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________. (2)若a1＝1，an＝

n－1

an－1(n≥2)，则通项公式an＝________. n(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.

解析 (1)由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…（n－1）（2＋n）n（n＋1）1×（1＋1）

＋n)＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an222＝

n（n＋1）

2

＋1.

(2)法一 因为an＝

n－1n－21

an－1(n≥2)，所以an－1＝·an－2，…，a2＝a1，以上(n－1)个式子nn－12

12n－1a11

的等号两端分别相乘得an＝a1···…·＝＝.

23nnn法二 因为an＝

anan－1an－2a3a2n－1n－2n－11

···…···a1＝···…·1＝. an－1an－2an－3a2a1nn－1n－2n- 5 -

(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3. 故an＋1＋3＝2(an＋3).

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且

bn＋1an＋1＋3

＝＝2. bnan＋3

所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴bn＝4·2答案 (1)

n－1

＝22

n＋1

，∴an＝2

n＋1

－3.

n（n＋1）

1n＋1

＋1 (2) (3)2－3

n规律方法 (1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为

an＋1

＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝ananan－1a2

··…··a1代入求出通项. an－1an－2a1

(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.

【训练3】 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N)，则数列{an}的通项公式an＝________.

(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋解析 (1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0， 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，

∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2∴n≥2时，an－an－1＝3×2将以上各式累加得

n－2

n－1

*

1

，则通项公式an＝________.

n（n＋1）

，

，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，

an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，

∴an＝3×2

n－1

－2(当n＝1时，也满足).

11

(2)原递推公式可化为an＋1＝an＋－，

nn＋11111

则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，

1223

a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋an＝an－1＋－， n－1n1

1

131411－， n－2n－1

11

逐项相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－. nn - 6 -

答案 (1)3×2

n－1

1

－2 (2)4－ n

[思想方法]

1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)或(－1)

nn＋1

来区分

奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.

??S1 （n＝1），

2.强调an与Sn的关系：an＝?

?S－S （n≥2）.nn－1?

3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. [易错防范]

1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列

an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

- 7 -

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