广东省阳江市阳东广雅学校2022届高三上学期诊断性测试(四)数学(

阳东广雅中学2016-2017学年度第一学期

高三年级数学（理科）诊断性测试试卷(四)

考试时间: 120分钟 试题满分: 150分

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1.设集合{}101M =-，，，{}2N x x x =≤，则M N = （ ） A ．{}0

B ．{}01，

C ．{}11-，

D ．{}101-，， 2. 已知复数32i z i i

-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为（ ）

A ．－23

B ．－13

C ．13

D ．23

4.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（ ）

A ．2种

B ．10种

C ．12种

D ．14种

5.下列四个命题：；；

；.

其中的真命题是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6.运行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A ．37

B ．33

C ．11

D ．8

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A.

16 B.13 C.12

D.1 8.已知α为锐角，若1sin 2cos 25

αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12 D ．13

9.如图，已知||1,||0OA OB OA OB ==?= ，点C 在线段AB 上，且AOC ∠=030，设 (),OC mOA nOB m n R =+∈ ,则m

n

等于（ ）

A．1

3

10．若圆（x ﹣）2+（y ﹣1）2=3与双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）

A ．

B ．

C ．2

D ．

11.已知实数[0,1]m ∈，[0,2]n ∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是（ ）

A ．3

2π- B ．4π

C ．14π

- D ．12π

-

12．已知函数1(0)()ln (0)x x f x x x -+≤?=?>?

，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（每空5分，共20分）

13.若抛物线y 2

=2px 的焦点与椭圆1592

2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.

14.等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++???+＝________.

15.已知关于x 的二项式n x a

x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数

a 的值为

16.已知函数1

23)635sin(

)(-++=x x x x f ππ，则 =++++)20162015(...)20167()20165()20163()20161(f f f f f ________.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17.(本小题12分)在ABC △中，内角A B C ，，对应的三边长分别为a b c ，，，且满足

221cos 2c a B b a b ??-=- ??

?． （Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）若a =b c +的取值范围.

18.(本小题12分)

为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[][][][][]20252530303535404045，，，，，，，，，．

（Ⅰ）求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[]3540，岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ∥，22AD CD AB ===，E ，F 分别为PC ，CD 的中点.

（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）若PA =

E BD C --.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>），(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ?的面积为1.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ?为定值.

21.(本小题满分12分)设函数2()ln()f x x a x =++

（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln

2

．(e 2.71828≈ ）

请考生在22题、23题 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分； 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的参数方程为2

1x y αα?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

23.（本小题满分10分））选修4 – 5：不等式选讲

已知函数()f x x a =-．

（Ⅰ）若1a =，解不等式：()41f x x ≥--；

（Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]02，，()11002a m n m n +=>>，，求mn 的最小值．

高三年级数学（理科）诊断性测试试卷(四)参考答案

一、选择题（每题5分，共60分）

1.B

2.B

3.D

4.D

5.C

6.C

7.A

8.A

9.B 10.A 11.C12.A

3.D 【解析】 a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋210×9d ＝10a 1＋45d ＝70，解得d ＝32.

故选D.

5.C 试题解析：当x>0时，恒成立，故1错；当x 时，恒

成立，故2正确；当x=时，故3错；当时，

故4正确 10.解：∵双曲线渐近线为bx ±ay=0，与圆相切，∴圆心到渐近线的距离为=或=，求得a=b ，∴c 2=a 2+b 2=4b 2，∴e==．故选：A ．

二、填空题（每空5分，共20分） 13. 14.50 15.2 16.1512

14.50【解析】因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5.于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)．而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50，因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17.解析：（Ⅰ）∵，∴，

…2分 ∵，∴………4分 ∴……………6分 （Ⅱ）解法1： 由正弦定理得，∴．…………8分 ∴

…………10分

∵，∴，，所以

．………12分

解法2：

∵，∴， (8)

分

∵，……………………………………10分

，即，∵，∴ (12)

分

（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故的可能取值为

．………………………………………………5分

，，

，

．………………………………………………………………9分

故的分布列为

所以．……………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）证：由已知平行且等于且为直角，故是矩形，

从而．又底面，∴平面平面，

∵，故平面，∴，

在内，、分别是、的中点，，∴，

由此得平面.……………6分

（Ⅱ）以为原点，以，，为轴，轴，轴正向建立空间直角坐标系，则，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则可取，

设二面角的大小为，则，

所以，…………………………12分.

20.【解析】⑴由已知，，又，

解得∴椭圆的方程为.

⑵方法一：设椭圆上一点，则.

直线：,令，得.

∴

直线：,令，得.

∴

将代入上式得故为定值.

方法二：设椭圆上一点，

直线PA:,令，得.

∴

直线:,令，得.

∴

故为定值.

21.解：（1），依题意有，故．（3分）

从而．的定义域为，当

时，；当时，；当时，

．

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（6分）

（2）的定义域为，．

方程的判别式．（7分）

（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．

若，，．

当时，，

当时，，所以无极值．（10分）若，，，也无极值．

（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根

，．

当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，

由根值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．

的极值之和为

．（12分）

22．⑴∵曲线的参数方程为（为参数）

∴曲线的普通方程为，……2分

将代入并化简得：，即曲线的极坐标方程为

…5（2）∵的直角坐标方程为，

∴圆心到直线的距离为，∴弦长为．…10分

23．解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，

∴或，即或，∴原不等式的解集为

；………5分

（Ⅱ），

∵的解集为∴………7分

∴，∴（当且仅当即时取等号）

∴的最小值为2．………10分

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