实验四-IIR-滤波器设计

HUNAN UNIVERSITY

数字信号 课程实验报告

专业班级： 通信工程一班 完 成 日 期 ： 2014\\05\\20

实验四 IIR 滤波器设计

1、实验目的

认真复习滤波器幅度平方函数的特性，模拟低通滤波器的巴特沃思逼近、切比雪夫型逼 近方法；复习从模拟低通到模拟高通、带通、带阻的频率变换法；从模拟滤波器到数字滤波 器的脉冲响应不变法、双线性变换法的基本概念、基本理论和基本方法。 掌握巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器的设计方法；利用模拟域频率变换设计模拟高 通、带通、带阻滤波器的方法。 掌握利用脉冲响应不变法、双线性变换法设计数字滤波器的基本方法；能熟练设计巴特 沃思、切比雪夫低通、带通、高通、带阻数字滤波器。

熟悉利用 MATLAB 直接进行各类数字滤波器的设计方法。

2、实验内容

a. 设计模拟低通滤波器，通带截止频率为10KHz，阻带截止频率为16KHz，通带最大

衰减1dB，阻带最小衰减20dB。

(1) 分别用巴特沃思、切比雪夫I、切比雪夫II 型、椭圆型滤波器分别进行设计，并绘 制所设计滤波器的幅频和相频特性图。

代码：

%巴特沃斯低通滤波器 clc;

wp=2*pi*10000; %通带截止频率 ws=2*pi*16000; %阻带截止频率 ap=1; %通带最大衰减 as=20; %阻带最大衰减

[N,Wc]=buttord(wp,ws,ap,as,'s') %计算巴特沃斯滤波器阶次和截止频率 [B,A]=butter(N,Wc,'s'); %频率变换法设计巴特沃斯低通滤波器 freqs(B,A); %画出幅频和相频特性图 结果：

%切比雪夫Ⅰ型低通滤波器 clc;

wp=2*pi*10000; %通带截止频率 ws=2*pi*16000; %阻带截止频率 Ap=1; %通带最大衰减 As=20; %阻带最大衰减

[N,Wc]=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s') %计算切比雪夫Ⅰ型滤波器阶次和截止频率 [B,A]=cheby1(N,Ap,Wc,'s') %频率变换法设计切比雪夫Ⅰ型低通滤波器 freqs(B,A); %画出幅频和相频特性图 结果

%切比雪夫Ⅱ型低通滤波器 clc;

wp=2*pi*10000; %通带截止频率 ws=2*pi*16000; %阻带截止频率 Ap=1; %通带最大衰减 As=20; %阻带最大衰减

[N,Wc]=cheb2ord(wp,ws,Ap,As,'s') %计算切比雪夫Ⅱ型滤波器阶次和截止频率 [B,A]=cheby2(N,Ap,Wc,'s') %频率变换法设计切比雪夫Ⅱ型低通滤波器 freqs(B,A); %画出幅频和相频特性图 结果

%椭圆型低通滤波器 clc;

wp=2*pi*10000; %通带截止频率 ws=2*pi*16000; %阻带截止频率 Ap=1; %通带最大衰减 As=20; %阻带最大衰减

[N,Wc]=ellipord(wp,ws,Ap,As,'s') %计算椭圆型滤波器阶次和截止频率 [B,A]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s') %频率变换法设计椭圆型低通滤波器 freqs(B,A); %画出幅频和相频特性图 结果

(2) 在通带截止频率不变的情况下，分别用n=3,4,5,6 阶贝塞尔滤波器设计所需的低通滤 波器，并绘制其相应的幅频响应和相频响应图。 %贝塞尔滤波器 代码： clc; n1=3;

wp=2*pi*10000;

[b1,a1]=besself(n1,wp) %贝塞尔模拟滤波器设计 freqs(b1,a1);

title('n=3阶贝塞尔滤波器');

figure n2=4;

[b2,a2]=besself(n2,wp) freqs(b2,a2);

title('n=4阶贝塞尔滤波器');

figure n3=5;

[b3,a3]=besself(n3,wp) freqs(b3,a3);

title('n=5阶贝塞尔滤波器');

figure n4=6;

[b4,a4]=besself(n4,wp) freqs(b4,a4);

title('n=6阶贝塞尔滤波器');

结果：

b. 设计模拟高通滤波器，通带截止频率为2000Hz，阻带截止频率1500Hz，通带最大

衰减为3dB，阻带最小衰减为15dB。

(1) 分别用巴特沃思、切比雪夫I 型滤波器首先设计模拟低通滤波器，再通过频率转换 成高通滤波器，并分别绘制所设计滤波器的幅频和相频特性图。 代码：

%巴特沃斯型 clc;

wp=2*pi*2000; ws=2*pi*1500; ap=3; as=15;

[N,Wc]=buttord(wp,ws,ap,as,'s')

[z,p,k]=buttap(N); %设计归一化模拟原型滤波器

[B,A]=butter(N,Wc,'s') %频率变换法设计巴特沃斯低通滤波器 freqs(B,A);

title('模拟低通'); figure;

b0=k*real(poly(z)); %求原型滤波器系数b0 a0=real(poly(p)); %求原型滤波器系数a0

[b,a]=lp2hp(b0,a0,Wc); %模拟低通到模拟高通变换 [H,w]=freqs(b,a) subplot(211)

plot(w,abs(H));

title('巴特沃斯高通滤波器幅频特性'); subplot(212)

plot(w,angle(H));

title('巴特沃斯高通滤波器相频特性'); 结果：

%切比雪夫1型 clc;

wp=2*pi*2000; ws=2*pi*1500; ap=3; as=15;

[N2,w2]=cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s');

[B,A]=cheby1(N,ap,w2,'s') %频率变换法设计切比雪夫1型低通滤波器 freqs(B,A);

title('切比雪夫1型模拟低通');

figure;

[z2,p2,k2]=cheb1ap(N2,ap); %设计归一化模拟原型滤波器 b2=k2*real(poly(z2)); %求原型滤波器系数b2 a2=real(poly(p2)); %求原型滤波器系数a2

[b,a]=lp2hp(b2,a2,w2); %模拟低通到模拟高通变换 [H2,w2]=freqs(b,a); subplot(211)

plot(w2,abs(H2));

title('切比雪夫I型滤波器幅频特性'); subplot(212)

plot(w2,angle(H2));

title('切比雪夫I型滤波器相频特性'); 结果：

figure;

subplot(311); plot(t,x);

axis([0,0.15,-7,7]);title('原信号'); y=filter(B2,A2,x); subplot(312);

stem(y);title('冲激响应不变法滤波后的序列');

ya=y*sinc(fs*(ones(length(n),1)*t-(n/fs)'*ones(1,length(t)))); subplot(313);

plot(t,ya);axis([0,0.15,-2,2]);title('滤波后的信号'); 结果：

(2) 对于所得到的结果进行分析，并总结脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字滤波 器的优缺点。 优缺点：

冲激响应不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。但是，因为有频率响应混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若带阻衰减越大，则混叠效应越小。

双线性变换法：在特定的模拟频率和特定的数字频率处，频率响应应是严格相等的，因而可以较准确地控制截止频率的位置。它还避免了频率响应的混叠现象。

[H2,w2]=freqz(b2,a2); subplot(211)

plot(w2,abs(H2));

title('切比雪夫II型滤波器的幅频特性'); subplot(212)

plot(w2,angle(H2));

title('切比雪夫II型滤波器的相频特性'); 结果

h. 设模拟信号为：x(t)=5sin(200πt)+2cos(300πt)。系统中有A/D 和D/A 转换器，使得输

出仍然为模拟信号y(t)。

(1) 设计一个最小阶数的IIR 数字滤波器，以小于1dB 的衰减通过150Hz 的分量，以至

少40dB 衰减来抑制100Hz 的分量。要求滤波器有单调的单调的通带和等波纹的阻带，求出 该滤波器有利函数形式的系统函数，并绘制其幅度响应(dB)。 代码：

%直接型转换成级联型

function [b0,B,A]=dir2cas(b,a) b0=b(1);b=b/b0; a0=a(1);a=a/a0; b0=b0/a0; M=length(b); N=length(a); if N>M

b=[b zeros(1,N-M)]; elseif M>N

a=[a zeros(1,M-N)];N=M; else

NM=0; end

k=floor(N/2);B=zeros(k,3);A=zeros(k,3); if k*2==N;b=[b 0]; a=[a 0]; end

broots=cplxpair(roots(b)); aroots=cplxpair(roots(a)); for i=1:2:2*k

Brow=broots(i:1:i+1,:); Brow=real(poly(Brow)); B(fix(i+1)/2,:)=Brow; Arow=aroots(i:1:i+1,:); Arow=real(poly(Arow)); A(fix(i+1)/2,:)=Arow; End

function[db,mag,pha,w]=freqz_m(b,a) [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole'); H=(H(1:1:501))'; w=(w(1:1:501))'; mag=abs(H);

db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H);

(2) 产生上述模拟信号x(t)的150 个样本，然后将其输入到所设计的IIR 滤波器中，求

滤波器的输出序列，并采用内插形成输出信号y(t)。绘制滤波器输入输出信号，并对所得到 结果进行分析和解释。 代码： clc; fp=150; fr=100; fs=1000;

wp=2*pi*fp/fs;wr=2*pi*fr/fs; Ap=1;Ar=40;

[N,wn]=cheb2ord(wp/pi,wr/pi,Ap,Ar); %计算切比雪夫Ⅱ型滤波器阶次和截止频率 [b,a]=cheby2(N,Ar,wn,'high'); %频率变换法设计切比雪夫Ⅱ型高通滤波器 [C,B,A]=dir2cas(b,a);

[db,mag,pha,w]=freqz_m(b,a); subplot(411); plot(w/pi,db); axis([0,1,-50,7]); n=0:149;t=n/fs;

x=5*sin(2*pi*fr*t)+2*cos(2*pi*fp*t); subplot(412);

plot(t,x);axis([0,0.15,-7,7]); y=filter(b,a,x);

subplot(413);stem(y);

ya=y*sinc(fs*(ones(length(n),1)*t-(n/fs)'*ones(1,length(t)))); subplot(414);plot(t,ya);axis([0,0.15,-2,2]); 结果：

分析：

有第一个图可知，设计的是一个高通滤波器，高通滤波器滤除低频部分，只保留了高频部分，所以最后的波形是高频部分的波形。

i. 设模拟信号为：x(t)=5sin(200πt)+2cos(300πt)，分别用脉冲响应不变法和双线性变换

法设计IIR 低通滤波器对信号x(t)进行滤波。对IIR 滤波器要求：以小于1dB的衰减通过100Hz 的分量，以大于40dB 衰减来抑制150Hz 的分量。

(1) 分别绘制两种方法设计的IIR 数字滤波器的幅度和相位特性。 代码： clc;

fp=100;fr=150;fs=1000; wp=2*pi*fp; ws=2*pi*fr; Rp=1;

As=40;

%cheby2滤波器

[N1,wc1]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,'s') %计算切比雪夫Ⅱ型滤波器阶次和截止频率 [z1,p1,k1]=cheb2ap(N1,As) %设计归一化模拟原型滤波器 b1=k1*real(poly(z1)); %求原型滤波器系数b1 a1=real(poly(p1)) %求原型滤波器系数a1 [B1,A1]=bilinear(b1,a1,fs/wc1); %双线性变换法 [db,mag,pha,w]=freqz_m(B1,A1); figure;

subplot(211); plot(w/pi,db); axis([0,1,-50,7]);

title('双线性变换法cheby2数字滤波器幅频特性'); subplot(212); plot(w/pi,pha);

title('双线性变换法cheby2数字滤波器相频特性'); n=0:149;t=n/fs;

x=5*sin(2*pi*fr*t)+2*cos(2*pi*fp*t); figure;

subplot(311);plot(t,x);axis([0,0.15,-7,7]);title('原信号'); y=filter(B1,A1,x);

subplot(312);stem(y);title('双线性变换法滤波后的序列');

ya=y*sinc(fs*(ones(length(n),1)*t-(n/fs)'*ones(1,length(t)))); subplot(313);plot(t,ya);axis([0,0.15,-2,2]);title('滤波后的信号');

%cheby2滤波器 wp=2*pi*fp; ws=2*pi*fr;

[N3,wc3]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,'s') %计算切比雪夫Ⅱ型滤波器阶次和截止频率 [z3,p3,k3]=cheb2ap(N3,As) %设计归一化模拟原型滤波器 b3=k3*real(poly(z3)); %求原型滤波器系数b3 a3=real(poly(p3)) %求原型滤波器系数a3

[B2,A2]=impinvar(b3,a3,fs/wc3); %冲激响应不变法 [db,mag,pha,w]=freqz_m(B2,A2); figure;

subplot(211); plot(w/pi,db); axis([0,1,-50,7]);

title('冲激响应不变法cheby2数字滤波器幅频特性'); subplot(212); plot(w/pi,pha);

title('冲激响应不变法cheby2数字滤波器相频特性'); n=0:149;t=n/fs;

x=5*sin(2*pi*fr*t)+2*cos(2*pi*fp*t);

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ndeh.html