《高数》下册第十一章练习题

第十一章 曲线积分与曲面积分

习题 11-1

1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（x,y）处它的线密度为?（x,y）。用对弧长的曲线积分分别表达：

（1）这曲线弧对x轴,对y轴的转动惯量IxIy

,（2）这曲线弧的质心坐标x,y

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3 3.计算下列对弧长的曲线积分： （1）（2）

??(xL2?y)ds，其中L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)

2n?L(x?y)ds，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

2?xds，其中L为由直线y=x及抛物线y?x（3）?L所围成的区域的整个边界

?e（4）?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇

形的整个边界

1tttdsx?ecost,y?esint,z?e?222?（5）?x?y?z，其中为曲线上相应于t从0变到2

的这段弧 （6）

??x2yzds，其中?为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0）

，（0,0,2），（1,0,2），y2ds，

，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)

（1,3,2） （7）?（8）

L?L(x2?y2)ds，其中L为曲线x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)(0?t?2?)

4.求半径为ａ，中心角为

2?的均匀圆弧（线密度??1）的质心

0?t?2?，它的线密度

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x?acost,y?asint,z?kt，其中

?(x,y,z)?x2?y2?z2．求：

I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z

（２）它的质心。

习题 11-2

1.设L为xOy面内直线x?a上的一段，证明：

?LP(x,y)dx?0

2.设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：

?LP(x,y)dx??P(x,0)dxab

3.计算下列对坐标的积分： （1）?(xL2?y2)dx，其中L是抛物线

y?x2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）

??Lxydx2(x?a)2?y2?a（a>0）及x轴所围成的在第一象限内的区，其中L为圆周

域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）

?Lydx?xdy，其中L为圆周

x?Rcost,y?Rsint上对应t从0到

?2的一段弧

(x?y)dx?(x?y)dy222x+y?a（4）?L（按逆时针方向绕行） x2?y2，其中L为圆周

（5）??x2dx?zdy?ydz，其中

?为曲线x?k??y?acos?,z?asin?上对应?从0到??是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

的一段弧 （6）（7）

??xdx?ydy?(x?y?1)dz，其中

，其中

??dx?dy+ydz?2L?为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）?(x的一段弧 4.计算

?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是抛物线

y?x2上从点（-1,1）到点（1,1）

?(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：

L2y?x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 （1）抛物线

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段

（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线

22x?2t?t?1,y?t?1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 （4）曲线

222x?y?R5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按

逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功

6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重力所做的功

7.把对坐标的曲线积分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化成对弧长的积分曲线，其中L为：

（1）在xOy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）

2y?x（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）

22x?y?2x从点（0,0）到点（1,1） （3）沿上半圆周

23x?t,y?t,z?t?为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分8.设

?

?Pdx?Qdy?Rdz化成对弧长的曲线积分

习题 11-3

1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）

??L(2xy?x2)dx?(x?y2)dyy?x2和y2?x所围成的区域的

，其中L是由抛物线

正向边界曲线 （2）

??L(x2?xy2)dx?(y2?2xy)dy，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）

的正方形区域的正想边界

2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线

x?acos3t,y?asin3t

22（2）椭圆9x+16y?144 （3）圆x?y?2ax

22ydx?xdy22(x?1)?y?2，L的方向为逆时针方向 ?L2(x2?y2)3.计算曲线积分?，其中L为圆周

4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值

?（1）

（2）

(2,3)(1,1)(3,4)(x?y)dx?(x?y)dy

?(1,2)(2,1)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy

?（3）

(1,0)5.利用格林公式，计算下列曲线积分：

(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy??（1），其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）

L的三角形正向边界；

?(x（2）?L2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy23，其中L为正向星形线

x?y?a(a?0)（3）

2323

，其中L为在抛物线

?L(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy2x??y2上由点

?（0,0）到（2）的一段弧

，1

(x（4）?L2?y)dx?(x?sin2y)dyy?2x?x2上由点（0,0）到点（1,1），其中L是在圆周

的一段弧

6.验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：

（1）(x?2y)dx?(2x?y)dy

22xydx?xdy （2）

（3）4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy

2232y(3xy?8xy)dx?(x?8xy?12ye)dy （4）

22(2xcosy?ycosx)dx?(2ysinx?xsiny)dy （5）

7.设有一变力在坐标轴上的投影为X?x?y,Y?2xy?8，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

?28.判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。

2222(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0 （1）

222(a?2xy?y)dx?(x?y)dy?0(a为常数) （2）

（3）edx?(xe?2y)dy?0

（4）(xcosy?cosx)y?ysinx?siny?0

2(x?y)dx?xdy?0 （5）

2y(x?2y)dx?xdy?0 （6）

yy2?2?(1?e)d??2?ed??0 （7）

22(x?y)dx?xydy?0 （8）

42?242??A(x,y)?2xy(x?y)i?x(x?y)j为某，使在右半平面x>0上的向量9.确定常数

二元函数u（x,y）的梯度，并求u(x,y)

习题 11-4

1.设有一分布着质量的曲面

?，在点（x,y,z）处它的面密度为

?（x,y,z）,用对面积的曲

面积分表示这曲面对于x轴的转动惯量 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式

??f(x,y,z)ds???f(x,y,z)ds???f(x,y,z)ds??1?2

?是由?1其中

和

?2组成的

3.

当

?是xOy面内的一个闭区域时，曲面积分??f(x,y,z)dS?与二重积分有什么关系？

4.计算曲面积分

???f(x,y,z)dS，其中

?为抛物面z?2?(x2?y2)在xOy面上方的部分，

f(x,y,z)分别如下：

（1）f(x,y,z)?1

22f(x,y,z)?x?y（2）

（3）f(x,y,z)?3z

5.

计算??（x2+y2）dS,其中?是：?

（1）

锥面z?x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面

222锥面z?3(x?y)被平面z?0和z?3所截得的部分 （2）

6.计算下列对面积的曲面积分：

（1）（2）（3）

4xyz（z+2x+y）ds,其中?为平面???1在第一卦限中的部分??3234?2?

（2xy-2x-x+z）ds,其中?为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分????(x?y?z)ds,其中?为球面x?2?y?z?a上z?h(0?h?a)的部分222（4）

2222（xy+yz+zx）ds,其中?为锥面z=x?y被柱面x?y?2ax所截得的有限部分???求抛物面壳z?7.

122(x?y)(0?z?1)的质量，此壳的面密度为?=z2

求面密度为?0的均匀半球壳x2+y2+z2=a2(z?0)对于z轴的转动惯量8.

习题 11-5

1.按对坐标的曲线面积的定义证明公式 2.

??[P(x,y,z)?P(x,y,z)]dydz???P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)dydz

1212???当?为xOy面内的一个闭区域时，曲面面积??R（x,y,z）dxdy与二重积分有什么关系？?

3.计算下列对坐标的曲面积分：

（1）

??x?2y2zdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?R2的下半部分的下侧

22zdxdy?xdydz?ydzdx,其中?是柱面x?y?1被平面z?0及z?3s所截得的???（2）在第一卦限内的部分的前侧

??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?f(x,y,z)?z]dxdy,其中f(x,y,z)为??是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧（3）连续函数，

（4）

???xzdxdy?xydydz,其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成的空间?区

域的整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分

（x,y,z）dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy ??P?化成对面积的曲面积分其中

（1）?是平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧 （2）?是抛物面z?8?(x2?y2)在xOy面上方的部分的上侧

习题 11-6

1.利用高斯公式计算曲面积分： （1）

222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体????的表面的外侧 （2）（3）

???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为球面x?3332?y2?z2?a2的外侧

，其中?为上半球体

???xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxdy?22320?z?a2?x2?y2,x2?y2?a2的表面的外侧

（4）

???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是界于z=0和z=3之间的圆柱体x?2?y2?9的

整个表面的外侧

（5）

???4xzdydz?y?2dzdx?yzdxdy，其中?是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的

立方体的全表面的外侧

2.求下列向量A穿过曲面?流向指定侧的通量：

222（1）A?yzi?xzj?xyk，?为圆柱x?y?a(0?z?h)的全表面，流向外侧 22A?(2x?z)i?xyj?xzk，?为立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面，（2）

流向外侧

（3）A?(2x?3z)i?(xz?y)j?(y?2z)k，?是以点（3，-1,2）为球心，半径R=3的球面，流向外侧

3.求下列向量场A的散度：

（1）A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k

xy2A?ei?cos(xy)j?cos(xz)k （2）

2A?yi?xyj?xzk （3）

22224.设u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域?上的具有二阶连续偏导数的函数，?n?n依次

,表示

u(x,y,z),v(x,y,z)沿

?u?v?的外法线方向的方向导数。证明

???(u???v?u)dxdydz???(u???v?u?v)ds， ?n?n其中

?是空间闭区域?的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。

5.利用高斯公式推证阿基米德原理，浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向沿铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力

习题 11-7

222222试对曲面?：z?x?y,x?y?1,P?y,Q?x,R?z验证斯托克斯公式 1.

2.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：

?ydx?zdy?xdz，其中?为圆周x（1）??2?y2?z2=a2,x?y?z?0，若从x轴的正向

看去，这圆周是取逆时针方向 （2）

??(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz，其中?为

?xzx?y?a,??1(a?0,b?0)，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向 椭圆ab23ydx?xzdy?yzdz，其中?为圆周x2?y2?2z,z?2，若从z轴的正向看去，?（3）??这圆周是取逆时针方向 （4）

???2222ydx?3xdy?z2dz，x?y?z?9,z?0，?其中为圆周若从x轴的正向看去，

这圆周是取逆时针方向

3.求下列向量场A的旋度：

（1）A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k （2）A?(z?siny)i?(z?xcosy)j

22A?xsinyi?ysin(xz)j?xysin(cosz)k （3）

4.利用斯托克斯公式把曲面积分n分别如下：

??rotA?nds化为曲线积分，并计算积分值，其中A，?及

?222z?1?x?y?A?yi?xyj?xzk（1），为上半球面的上侧，n是的单位法向量

（2）A?(y?z)i?yzj?xzk，?为立方体{(x,y,z)0?x?2,0?y?2,0?z?2}的表面

?的单位法向量

外侧去掉xOy面上的那个底面，n是

5.求下列向量场A沿闭曲线?（从z轴正向看?依逆时针方向）的环流量

22A??yi?xj?ckx?y?1,z?0 ?（1）（c为常量），为圆周

2232z?2?x?y,z?0 A?(x?z)i+(x?yz)j?3xyk?（2），其中为圆周

6.证明7.设

rot(a?b)?rota?rotb

u?u(x,y,z)具有二阶连续偏导数，求

rot(gradu)

总习题十一

1.填空

（1）第二类曲线积分

??Pdx?Qdy?Rdz化成第一类曲线积分是————，其中?，?，

?为有向曲线弧?在点（x,y,z）处的—————的方向角

（2）第二类曲线积分

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲线积分是————，其中

??，?，?为有向曲面?在点（x,y,z）处的—————的方向角

2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论：

2222?x?y?z=R(z?0)，曲面?1是曲面?在第一卦限中的部分，设曲面是上半球面：

则有——————。 （A）（B） (C) (D)

??xds?4??xds

??1??yds?4??xds

??1?1??zds?4??xds

???xyzds?4??xyzds??1

3.计算下列曲线积分：

（1）

????Lx2?y2ds，其中L为圆周

x2?y2?ax

zds，其中

?为曲线

x?tcost,y?tsint,z?t(0?t?t0)

（2）

?(2a?y)dx?xdyLx?a(t?sint),y?a(1?cost)，其中L为摆线

上对应t从0到

2?（3）的一段弧

?(y?2?z2)dx?2yzdy?x2dz，其中是曲线

x?t,y?t2,z?t3上由

t1?0到

t2?1的

（4）一段弧

?(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyLxx(x?a)2+y2?a2,y?0，其中L为上半圆周

沿逆

（5）

时针方向

??xyzdz??，其中

是用平面y=z截球面

x2?y2?z2?1所得的截痕，从z轴的正向看

（6）

去，沿逆时针方向 4.计算下列曲面积分：

（1）

ds222??x?y?z??，其中

是界于z=0及z=H之间的圆柱面

x2?y2?R2

222(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy??（2）

?，

?其中

为锥面

z?x2?y2(0?z?h)的外侧

??xdydz?ydzdx?zdxdy（3）

??，其中

为半球面

z?R2?x2?y2的上侧

??xyzdxdy（4）

??，其中

为球面

x2?y2?z2?1(x?0,y?0)的外侧

xdx?ydy5.证明：x2?y2在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元函数的

全微分，并求出一个这样的二元函数。 6.设在半平面x>0内有力F??k?3(xi?yi)构成力场，其中k为常数，??x2?y2。证

明在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。

7.设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半球面（y>0）内的有向分段光华曲线，其起点为（a,b），终点为（c,d）。 记I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dy Lyy（1）证明曲线积分I与路径积分 （2）当ab=cd时，求I的值

222z?a?x?y8.求均匀曲面的质心的坐标

9.设u(x,y),v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线，证明：

（1）

??v?udxdy????(grad??grad?)dxdy????DDL??ds?n

（2）

??(???????)dxdy???(?DL??????)ds?n?n

?????2?2??2?2?n，?n分别是u,v沿L的外法线向量n的方向导数，符号?x?y称二维拉其中

普拉斯算子

A=xi?yj?zk10.求向量面流向外侧的通量

通过闭区域

??{(x,y,z)0?x?1,0?y?1,0?z?1}的边界曲

F?yi?zj?xk11.求力

沿有向闭曲线

?所做的功，其中为平面

x?y?z?1被三个坐标面

所截成的三角形的整个边界，从z轴正向看去，沿顺时针方向。

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