【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测1 函数与导数(含解析)

第二部分 大专题综合测

1 函数与导数

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(文)设集合M ＝{－1}，N ＝{1＋cos

m π4，log 0.2(|m |＋1)}，若M ?N ，则集合N 等于( ) A ．{2}

B ．{－2,2}

C ．{0}

D ．{－1,0} [答案] D

[解析] 因为M ?N 且1＋cos m π4≥0，log 0.2(|m |＋1)<0，所以log 0.2(|m |＋1)＝－1，

可得|m |＋1＝5，故m ＝±4，N ＝{－1,0}．

(理)(2015·福建理，1)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )

A ．{－1}

B ．{1}

C ．{1，－1}

D ．? [答案] C

[解析] 考查：(1)复数的概念；(2)集合的运算．

由已知得A ＝{i ，－1，－i,1}，故A ∩B ＝{1，－1}，故选C.

2．(文)(2015·福建理，2)下列函数为奇函数的是( )

A ．y ＝x

B ．y ＝|sin x |

C ．y ＝cos x

D ．y ＝e x －e －x [答案] D

[解析] 考查函数的奇偶性．

函数y ＝x 是非奇非偶函数；y ＝|sin x |和y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数，故选D ．

(理)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )

A ．y ＝e －x

B ．y ＝x 3

C ．y ＝ln x

D ．y ＝|x | [答案] B

[解析] A 为减函数，C 定义域为(0，＋∞)，D 中函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．

3．(文)已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f x x

>0，则函数g (x )＝f (x )＋1x

的零点个数为( ) A ．1

B ．2

C ．0

D ．0或2 [答案] C

[解析] 由条件知，f ′(x )＋f x x ＝[xf x ]′x

>0. 令h (x )＝xf (x )，则当x >0时，h ′(x )>0，当x <0时，h ′(x )<0，∴h (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且h (0)＝0.，则h (x )≥0对任意实数恒成立．函数g (x )的零点即为y ＝h (x )与y ＝－1的图象的交点个数，所以函数g (x )的零点个数为0.

(理)(2014·浙江理，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0≤f (－1)＝f (－2)＝f (－

3)≤3，则( )

A ．c ≤3

B ．3

C ．6

D ．c >9 [答案] C

[解析] ∵f (－1)＝f (－2)＝f (－3)

????? －1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得????? a ＝6，b ＝11.

∴f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，

又∵0

4．(文)(2015·浙江理，4)命题“?n ∈N *，f (n )∈N * 且f (n )≤n ”的否定形式是( )

A ．?n ∈N *, f (n )?N *且f (n )>n

B ．?n ∈N *, f (n )?N *或f (n )>n

C ．?n 0∈N *, f (n 0)?N *且f (n 0)>n 0

D ．?n 0∈N *, f (n 0)?N *或f (n 0)>n 0

[答案] D

[解析] 全称命题的否定为特称命题，“≤”的否定为“>”．

(理)(2015·浙江理，6)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．

命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“ d (A ，B )>0”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．

A ．命题①和命题②都成立

B ．命题①和命题②都不成立

C ．命题①成立，命题②不成立

D ．命题①不成立，命题②成立

[答案] A

[解析] 考查集合的性质．

命题①显然正确，通过下图亦可知d (A ，C )表示的区域不大于d (A ，B )＋d (B ，C )的区域，故命题②也正确，故选

A.

5．(文)(2014·福建理，4)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

[答案] B

[解析] 由图可知y ＝log a x 图象过(3,1)，∴log a 3＝1，∴a ＝3，∵y ＝3－x

为减函数，∴排除A ；∵y ＝(－x )3当x >0时，y <0，∴排除C ；∵y ＝log 3(－x )中，当x ＝－3时，y ＝1，∴排除D ，∴选B ．

(理)函数f (x )＝2e －x 2－x 的图象大致是(

)

[答案] B

[解析] f ′(x )＝2e －x x －1 2－x (x ≠2)，令f ′(x )<0，得x <1.故f (x )的减区间是(－∞，1)，增区间为(1,2)，(2，＋∞)，f (x )在x ＝1处取得极小值，且极小值为f (1)＝2e

>0，故排除C 、D 两项；当x >2时，f (x )<0，排除A 项，故选B 项．

6．(2015·北京海淀期末)设a ＝0.23，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则( )

A ．b B ．c C ．a

D ．b

[解析] 因为01，所以b

7．(文)(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞) [答案] D

[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x

≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．

(理)若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )>xf ′(x )，则一定有( )

A ．函数F (x )＝f x x

在(0，＋∞)上为增函数 B ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数

C ．函数F (x )＝f x x

在(0，＋∞)上为减函数 D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数

[答案] C

[解析] 对于F (x )＝

f x x ，F ′(x )＝xf ′ x －f x x 2

<0，故F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 8．(文)若函数f (x )＝ln x ＋a x 在区间[1，e]上的最小值为32

，则实数a 的值为( ) A.32

B ． e C.e 2

D ．非上述答案 [答案] B

[解析] f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝a ，

若a <1，则f (x )min ＝f (1)＝a ＝32

>1，不合题意． 若a >e ，则f (x )min ＝f (e)＝1＋a e ＝32

， 则a ＝e 2

，则a ＝ e. (理)(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] D

[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．

令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D ．

9．(文)(2015·北京西城区二模)设命题p ：函数f (x )＝e x －1在R 上为增函数；命题q ：函数f (x )＝cos(x ＋π)为奇函数，则下列命题中真命题是( )

A ．p ∧q

B ．(?p )∨q

C ．(?p )∧(?q )

D ．p ∧(?q ) [答案] D

[解析] p 为真命题；∵cos(x ＋π)＝－cos x ，

∴f (x )为偶函数，∴q 为假命题．故选D ．

(理)(2015·杭州市质检)已知函数f (x )(x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是

( )

A ．－1

B ．14≤b ≤54

C ．－1

D ．14

[答案] D

[解析] 本题考查函数的性质，考查数形结合与转化思想，难度较大．

由周期性f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，又由奇偶性可得f (－2)＝－f (2)，∴－f (2)＝

f (2)，∴f (2)＝0，f (－2)＝0，又f (0)＝0，故若函数在区间[－2,2]内存在5个零点，只

需x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2

－x ＋b )只有一个零点即可，即方程x 2

－x ＋b ＝1在区间(0,2)内只有一根，可转化为y ＝b ，y ＝－x 2

＋x ＋1在x ∈(0,2)上只有一个交点，结合图形可得－1

－x ＋b >0恒成立得b >14，综上可得b

的取值范围是14

4

，故选D ．

[易错警示] 本题易忽视函数f (x )＝ln(x 2

－x ＋b )在区间(0,2)上有意义而错选C. 10．(文)(2015·东北三省四市联考)定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数：①对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；②当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则下列函数不是M 函数的是( )

A ．f (x )＝x 2

B ．f (x )＝2x

－1 C ．f (x )＝ln(x 2＋1) D ．f (x )＝x 2

＋1

[答案] D

[解析] 利用排除法求解．函数f (x )＝x 2

≥0，x ∈[0,1]，且x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1时，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2

－x 2

1－x 2

2＝2x 1x 2≥0，所以f (x )＝x 2

是M 函数，A 选项正确；函数f (x )＝2x

－1≥0，x ∈[0,1]，且x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1时，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，所以f (x )＝2x

－1是M 函数，B 选项正确；函数f (x )＝ln(x 2

＋1)≥0，x ∈[0,1]，且x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1时，x 1x 2≤(

x 1＋x 2

2)2

≤14

，所以[(x 1＋x 2)2

＋1]－(x 2

1＋1)(x 2

2＋1)＝x 1x 2(2－x 1x 2)≥0，则f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝ln[(x 1＋x 2)2

＋1]－ln(x 21

＋1)－ln(x 22

＋1)＝ln x 1＋x 2 2

＋1 x 21＋1 x 2

2＋1

≥0，所以f (x )＝ln(x 2

＋1)是M 函数，C 选项正确；对于函数f (x )＝x 2

＋1，x 1＝x 2＝12满足条件，此时f (x 1＋x 2)＝f (1)

＝2

，所以f (x )＝x 2

＋1不是M 函数，D 选项错误，故选D ．

(理)(2015·福州市质检)若函数f (x )满足：?x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|x 1

－x 2|成立，则称f (x )∈Ψ.对于函数g (x )＝x 3

－x ，h (x )＝?

??

??

1＋x ，x <0，cos x ，x ≥0有( )

A ．g (x )∈Ψ且h (x )∈Ψ

B ．g (x )∈Ψ且h (x )?Ψ

C ．g (x )?Ψ且h (x )∈Ψ

D ．g (x )?Ψ且h (x )?Ψ

[答案] C

[解析] 对于函数g (x )＝x 3－x ，因为g ′(x )＝3x 2

－1，故x ∈[－1,1]时，g ′(x )∈[－1,2]，即?x 1，x 2∈[－1,1]，使得|g (x 1)－g (x 2)|>|x 1－x 2|，故g (x )?Ψ.在同一直角坐标系

中分别作出y ＝h (x )，y ＝x ，y ＝－x 的图象如图所示，观察可知?x 1，x 2∈[－1,1]，|h x 1 －h x 2 |

|x 1－x 2|

≤1，即|h (x 1)－h (x 2)|≤|x 1－x 2|，故h (x )∈Ψ.综上所述，故选

C.

11．(文)(2015·济南模拟)若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2

≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )

A ．[－4,5]

B ．[－5,5]

C ．[4,5]

D ．[－5,4]

[答案] A

[解析] 本题考查函数的图象与性质、数形结合思想．

至少存在一个x ≥0，使得不等式|x －m 2|≤2－12x 2成立，即函数f (x )＝|x －m

2

|与g (x )＝

2－12x 2的图象存在横坐标是非负数的公共点．在同一坐标系下画出函数g (x )＝2－12x 2

与y ＝|x |的图象，结合图象可知将y ＝|x |的图象向左平移到经过点(0,2)这个过程中的相应曲线

均满足题意，即－4≤m ≤0；将y ＝|x |的图象向左平移到直线y ＝－x ＋m 2与抛物线y ＝2－12

x

2相切的过程中的相应曲线均满足题意，设相应的切点横坐标是x 0，则有－x 0＝－1，x 0＝1，切点坐标是(1，32)，于是有32＝－1＋m

2，得m ＝5，所以0≤m ≤5.因此满足题意的实数m 的取

值范围是[－4，5]，故选A.

(理)(2015·东北三省四市联考)若对于?x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e

x ＋y －2

＋e

x －y －

2

＋2恒成立，则实数a 的最大值是( )

A.1

4 B ．1 C ．2 D ．12

[答案] D

[解析] 利用分离参数法求解．由题意可得4ax ≤e

x －2

(e y ＋e －y

)＋2，y ∈[0，＋∞)恒成

立，所以4ax －2e x －2≤(e y ＋e －y )min ＝2，则2ax ≤e x －2

＋1，x ∈[0，＋∞)恒成立，x ＝0时显然成

立，所以2ax ≤e x －2

＋1，x ∈(0，＋∞)恒成立，即2a ≤(

e

x －2

＋1

x

)min 在x ∈(0，＋∞)上恒成

立，令f (x )＝e x －2

＋1x ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝e x －2 x －1 －1x 2，x ∈(0，＋∞)，由f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (2)＝1，则2a ≤1，a ≤12

，所以实

数a 的最大值是12

，故选D ． 12．(文)(2015·四川理，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间????

??12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16

B ．18

C ．25

D ．812 [答案] B

[解析] 考查函数与不等式的综合应用．

当m ＝2时，∵f (x )＝(n －8)x ＋1在[12

，2]上单调递减，∴n <8，又n ≥0，∴mn ＝2n <16.当m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2.据题意，当m >2时，－n －8m －2

≥2即2m ＋n ≤12.∵2m ·n ≤2m ＋n 2

≤6，∴mn ≤18.由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.∴当m ＝3，n ＝6时，mn 取到最大值18.当m <2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12

，即m ＋2n ≤18.∵n ≤9－12m ，∵0≤m <2，n ≥0，∴mn ≤9m －12m 2＝－12(m －9)2＋812<－12(2－9)2＋812

＝16.综上可知mn 的最大值为18.选B ．

(理)(2015·新课标Ⅰ理，12)设函数f (x )＝e x

(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.????

??－32e ，1 B ．??????－32e ，34 C.??????32e ，34 D ．????

??32e ，1 [答案] D [解析] 解法1：设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得

(x 0，g (x 0))在直线h (x )＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x ＜－12

时，g ′(x )

＜0，当x ＞－12时，g ′(x )＞0，所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12

，∵f (1)＝e>0， ∴????? f 0 ＝a －1<0，f －1 ＝－3e ＋2a ≥0.，解得32e

≤a ＜1，故选D . 解法2：∵a <1，∴f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0是符合题意的唯一的整数x 0，从而????? f －1 ≥0，f 1 ≥0，∴a ≥32e

， 又a <1，∴32e

≤a <1，故选D ． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)

13．已知命p ：?x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．

[答案] (1，＋∞)

[解析] 根据原命题是假命题，则其否定是真命题，结合二次函数图象求解．命题p 的否定?p ：?x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0是真命题，故????

? a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1.

14．(文)若曲线y ＝x －12在点(m ，m －12

)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.

[答案] 64

[解析] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴切线的斜率为－12m －32，切线方程为y －m －12

＝－12m －32(x －m )，令x ＝0，得y ＝32m －12，令y ＝0，得x ＝3m ，∵m >0，∴12×3m ×32m －12＝18，∴m 12

＝8，∴m ＝64. (理)已知函数f (x )＝13ax 3＋12

ax 2－bx ＋b －1在x ＝1处的切线与x 轴平行，若函数f (x )的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．

[答案] (316，65

) [解析] 依题意得，f ′(1)＝0，又f ′(x )＝ax 2

＋ax －b ，

∴b ＝2a ，

∴f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， ①当a ＝0时，不合题意；

②当a >0时，要使图象过四个象限，

只需?????

f －2 ＝163a －1>0，f 1 ＝56a －1<0，结合a >0，解得a ∈(316，65)； ③当a <0时，要使图象过四个象限， 只需?????

f －2 ＝163a －1<0，f 1 ＝56a －1>0，结合a <0.可知不存在符合条件的实数a ； 综上得，a 的取值范围是(316，65)． 15．(文)函数f (x )＝ax 3－2ax 2＋(a ＋1)x －lo

g 2(a 2

－1)不存在极值点，则实数a 的取值

范围是________．

[答案] 1

[解析] 因为a 2－1>0，∴a >1或a <－1； f ′(x )＝3ax 2－4ax ＋a ＋1，

∵函数f (x )不存在极值点，

∴f ′(x )＝0不存在两不等实根，

∴Δ＝16a 2

－4×3a (a ＋1)＝4a (a －3)≤0，

所以0≤a ≤3，综上可知：1

(理)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．

①当x ＝32

时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点；

③当x ＝2时函数取得极小值；

④当x ＝1时函数取得极大值．

[答案] ①

[解析] 从图象上可以看到：当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极

小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．

16．(文)(2015·长沙市模拟)若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2

＋ax ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．

[答案] (－∞，－23

]∪[2，＋∞) [解析] 利用分离参数法求解．因为关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2

＋ax ＋1＝0有实根，易知实根不为0，则－a ＝x 4＋1x 3＋x 2＋x ＝x 2＋1x 2x ＋1＋1x

，令x ＋1x ＝t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，则－a ＝t 2－2t ＋1，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．因为(t 2－2t ＋1)′＝t 2＋2t ＋2 t ＋1 >0，所以t 2－2t ＋1≤－2或t 2－2t ＋1≥23，即－a ≤－2或－a ≥23，解得a ≥2或a ≤－23

. (理)(2015·福州市质检)已知函数f (x )＝x ·sin x ，有下列四个结论：

①函数f (x )的图象关于y 轴对称；

②存在常数T >0，对任意的实数x ，恒有f (x ＋T )＝f (x )成立；

③对于任意给定的正数M ，都存在实数x 0，使得|f (x 0)|≥M ；

④函数f (x )的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．

其中正确结论的序号是________(请把所有正确结论的序号都填上)．

[答案] ①③④

[解析] 因为函数的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，故函数f (x )＝x sin x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；作出函数y ＝x sin x 的图象如图所示，观察可知，该函数没有周期性，②错误；因为当x →∞，x ≠k π时，|f (x )|→＋∞，故对于任意给定的正数M ，都存在实数x 0，使得|f (x 0)|≥M ，对于任意正数M ，在同一坐标系中作出函数y ＝sin x 与y ＝M x 的图象，易知当x >0时，总存在x 0>0，使sin x 0≥M x 0>0，∴x 0sin x 0≥M ，

∴|x 0sin x 0|≥M ，可知③正确；作出y ＝±x 的图象如图所示，观察可知，或由直线y ＝x 与曲线切于点(π2＋2k π，π2

＋2k π)，k ∈Z 知④正确．综上所述，正确命题的序号为①③④

.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)(文)已知命题p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0在R 上恒成立}，命题q ：B ＝{a |1

(1)若k ＝1，求A ∩(?R B )；

(2)若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．

[解析] 依题意，可得A ＝{a |4a 2－16<0}＝{x |－2

(1)当k ＝1时，由于B ＝{a |1

则?R B ＝{a |a ≤1或a ≥3}，所以A ∩(?R B )＝{a |－2

(2)由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，可知q 是p 的充分不必要条件．只需????? 2－k ≥－2，4－k ≤2，解得2≤k ≤4.

所以实数k 的取值范围是[2,4]．

(理)若集合A 具有以下性质：

①0∈A,1∈A ；

②若x 、y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x

∈A ， 则称集合A 是“好集”．

(1)分别判断集合B ＝{－1,0,1}，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；

(2)设集合A 是“好集”，求证：若x 、y ∈A ，则x ＋y ∈A ；

(3)对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．

命题p ：若x 、y ∈A ，则必有xy ∈A ；

命题q ：若x 、y ∈A ，且x ≠0，则必有y x ∈A .

[解析] (1)集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ．

这与－2?B 矛盾．

有理数集Q 是“好集”．因为0∈Q,1∈Q ，

对任意的x ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x

∈Q . 所以有理数集Q 是“好集”．

(2)证明：因为集合A 是“好集”，所以0∈A .

若x 、y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A .

所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .

(3)命题p 、q 均为真命题．理由如下：

对任意一个“好集”A ，任取x 、y ∈A ，

若x 、y 中有0或1时，显然xy ∈A .

下设x 、y 均不为0,1.由定义可知x －1、

1x －1、1x

∈A . 所以1x －1－1x ∈A ，即1x x －1 ∈A . 所以x (x －1)∈A .

由(2)可得x (x －1)＋x ∈A ，即x 2∈A .同理可得y 2∈A .

若x ＋y ＝0或x ＋y ＝1，则显然(x ＋y )2∈A .

若x ＋y ≠0且x ＋y ≠1，则(x ＋y )2∈A .

所以2xy ＝(x ＋y )2－x 2－y 2∈A .

所以12xy

∈A . 由(2)可得1xy ＝12xy ＋12xy

∈A . 所以xy ∈A .

综上可知，xy ∈A ，即命题p 为真命题．

若x ，y ∈A ，且x ≠0，则1x

∈A . 所以y x ＝y ·1x

∈A ，即命题q 为真命题． 18．(本题满分12分)(2015·四川绵阳一诊)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a

(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．

(1)求a 的值；

(2)求函数f (x )的值域；

(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．

[解析] 解法1：(1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.

即1－42×a 0＋a

＝0，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－22x ＋1＝2x －12x ＋1

， 记y ＝f (x )，即y ＝2x －12x ＋1

， ∴2x ＝1＋y 1－y ，由2x >0知1＋y 1－y

>0，

∴－1

(3)原不等式tf (x )≥2x －2即为

t ·2x －t 2＋1≥2x －2. 即(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.

设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．

∵x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，

∴u ∈(1,2]时，u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．

∴????? u 1 ≤0，u 2 ≤0，∴????? 12－ t ＋1 ×1＋t －2≤0，22－ t ＋1 ×2＋t －2≤0，解得t ≥0.

解法2：(1)同解法1.

(2)由(1)知f (x )＝1－22x ＋1

， 而2x >0，∴2x ＋1>1，∴0<22x ＋1

<2， ∴－1<1－22x ＋1

<1，即－1

(3)∵x ∈(0,1]，∴2x －1>0，

∴原式变为t ≥2x ＋12x －1·(2x －2)＝ 2x 2－2x －22x －1

＝ 2x －1 2＋ 2x

－1 －22x －1＝(2x －1)－22x －1

＋1. 令μ＝2x －1，则μ∈(0,1]，原式变为t ≥μ－2μ

＋1. 而g (μ)＝μ－2μ

＋1在μ∈(0,1]时是增函数， ∴当μ＝1时，g (μ)max ＝0，∴t ≥0.

19．(本题满分12分)(文)某开发商用9000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．

(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；

(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)

(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？

[解析] (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4000×2000＝8000000(元)＝800(万元)，

从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多

100×2000＝200000(元)＝20(万元)，

写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为

y ＝f (x )＝800x ＋x x －1 2

×20＋9000 ＝10x 2＋790x ＋9000(x ∈N *

)．

(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为

g (x )＝f x 2000x ×10000＝5 10x 2＋790x ＋9000 x ＝50(x ＋900x

＋79) g ′(x )＝50(1－900x 2)，由g ′(x )＝0及x ∈N *

得，x ＝30. 易知当x ＝30时，g (x )取得最小值．

答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．

(理)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与

时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝4＋1t

，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝115－|t －15|.

(1)求该城市的旅游日收益w (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．

[解析] (1)依题意得，

w (t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t

)(115－|t －15|)． (2)因为w (t )＝????? 4＋1t t ＋100 ， 1≤t <15，t ∈N * ， 4＋1t 130－t ， 15≤t ≤30，t ∈N * .

①当1≤t <15时，w (t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t

)＋401≥4×225＋401＝441， 当且仅当t ＝25t

，即t ＝5时取等号． ②当15≤t ≤30时，w (t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t

－4t )，可证w (t )在t ∈[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，w (t )取最小值为40313

.

由于40313

<441， 所以该城市旅游日收益的最小值为40313

万元． 20．(本题满分12分)(文)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .

(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间；

(3)若函数g (x )＝2x

＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2

＋2a x

. 由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.

(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．

①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；

②当a <0时f ′(x )＝2 x ＋－a x －－a x

. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：

(3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x

， 由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，

则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，

即－2x 2＋2x ＋2a x

≤0在[1,2]上恒成立． 即a ≤1x

－x 2在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x

2＋2x )<0， ∴h (x )在[1,2]上为减函数．h (x )min ＝h (2)＝－72

， ∴a ≤－72，故a 的取值范围为(－∞，－72

]． (理)设函数f (x )＝ln x ＋(x －a )2，a ∈R .

(1)若a ＝0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；

(2)若函数f (x )在[12

，2]上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．

因为f ′(x )＝1x

＋2x >0， 所以f (x )在[1，e]上是增函数，

当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝1.

所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.

(2)法一：f ′(x )＝1x ＋2(x －a )＝2x 2

－2ax ＋1x

设g (x )＝2x 2

－2ax ＋1，

依题意得，在区间[12

，2]上存在子区间使得不等式g (x )>0成立． 注意到抛物线g (x )＝2x 2－2ax ＋1的图象开口向上，

所以只要g (2)>0，或g (12

)>0即可． 由g (2)>0，即8－4a ＋1>0，得a <94

， 由g (12)>0，即12－a ＋1>0，得a <32

. 所以a <94

， 所以实数a 的取值范围是(－∞，94

)． 法二：f ′(x )＝1x ＋2(x －a )＝2x 2－2ax ＋1x

， 依题意得，在区间[12

，2]上存在子区间使不等式2x 2－2ax ＋1>0成立． 又因为x >0，所以2a <(2x ＋1x

)． 设g (x )＝2x ＋1x ，所以2a 小于函数g (x )在区间[12

，2]的最大值． 又因为g ′(x )＝2－1x 2， 由g ′(x )＝2－1x >0，解得x >22

； 由g ′(x )＝2－1x 2<0，解得0

.

所以函数g (x )在区间(22，2]上单调递增，在区间[12，22

)上单调递减． 所以函数g (x )在x ＝12

，或x ＝2处取得最大值． 又g (2)＝92，g (12

)＝3， 所以2a <92，即a <94

， 所以实数a 的取值范围是(－∞，94

)． 21．(本题满分12分)(文)(2015·新课标Ⅰ文，21)设函数f (x )＝e 2x －a ln x .

(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；

(2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a

. [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝2e 2x －a x

(x ＞0)．当a ≤0时， f ′(x )＞0，∴y ＝f ′(x )没有零点；

当a ＞0时，因为y ＝e 2x

单调递增， y ＝－a x

单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)单调递增． 又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14

时，f ′(b )＜0，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点．

(2)由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，

当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；

当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.

故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．

由于2e2x 0－a

x 0

＝0， 所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a

. 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a

. (理)(2015·新课标Ⅱ文，21)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x

－a ，若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)，单调递增；若a >0，则当x ∈? ????0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈? ??

??1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ??

??1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知a ≤0时f (x )在(0，＋∞)无最大值．当a >0时f (x )在x ＝1a

处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln ? ????1a ＋a ? ????1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ? ??

??1a >2a －2?ln a ＋a －1<0，令g (a )＝ln a ＋a －1.则g (a )在(0，＋∞)是增函数，且g (1)＝0，于是，当01时，g (a )>0.因此a 的取值范围是(0,1)．

22．(本题满分12分)(文)(2015·重庆文，19)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43

处取得极值．

(1)确定a 的值；

(2)若g (x )＝f (x )e x

，讨论g (x )的单调性．

[解析] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0，即3a ×169＋2×(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12

. (2)由(1)得，g (x )＝? ????12x 3＋x 2e x .故g ′(x )＝? ????32x 2＋2x e x ＋? ????12x 3＋x 2e x ＝? ??

??12x 3＋52x 2＋2x e x

＝12

x (x ＋1)(x ＋4)e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4.当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－40，故g (x )为增函数；当－10时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．

(理)已知函数f (x )＝ln x ＋1 x ＋1 2－a x ＋1

－2x ，(a >0)． (1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求a 的值；

(2)如图，设直线x ＝－1，y ＝－2x ，将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y ＝f (x )的图象恰好位于其中一个区域内，试判断其所在的区域，并求其对应的a 的取值范围．

(3)试比较20162015与20152016的大小，并说明理由．

[解析] (1)∵f (x )＝ln x ＋1 x ＋1 2－a x ＋1

－2x ∴f ′(x )＝ x ＋1 －2 x ＋1 ln x ＋1 x ＋1 4＋a x ＋1 2－2， ∵f (x )在x ＝0处取得极值，

∴f ′(0)＝1＋a －2＝0，

∴a ＝1.(经检验a ＝1符合题意)

(2)因为函数的定义域为(－1，＋∞)，且当x ＝0时，

f (0)＝－a <0，

又直线y ＝－2x 恰好通过原点，所以函数y ＝f (x )的图象应位于区域Ⅲ内，

∵x >－1，∴可得f (x )<－2x ，即ln x ＋1 x ＋1 2

， ∵x ＋1>0，∴a >ln x ＋1 x ＋1

， 令φ(x )＝ln x ＋1 x ＋1，∴φ′(x )＝1－ln x ＋1 x ＋1 2， 令φ′(x )＝0得x ＝e －1，∵x >－1，

∴x ∈(－1，e －1)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，

x ∈(e －1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减．

∴φmax (x )＝φ(e －1)＝1e ，∴a 的取值范围是：a >1e

. (3)法1：由(2)知函数φ(x )＝ln x ＋1 x ＋1

在x ∈(e －1，＋∞)时单调递减． ∴函数p (x )＝ln x x

在x ∈(e ，＋∞)时单调递减， ∴ln x ＋1 x ＋1

，∴x ln(x ＋1)<(x ＋1)ln x ， ∴ln(x ＋1)x

(x ＋1)， ∴令x ＝2015，则20162015<20152016.

法2：2016201520152016＝ 2015＋1 201520152016＝∑r ＝02015

C r

201520152015－r

20152016， ∵C r 2015<2015r ，∴C r 20152015

2015－r <20152015，

∴

∑r ＝0

2015

C r 201520152015－r

20152016 ＝C 020152015

2015＋C 1201520152011＋…＋C 2013201520152＋ C 201420152015＋1 20152016<1， ∴20162015<2015

2016. 法3：2016201520152016＝(20162015)2015×12015

∵(20162015)2015＝(1＋12015)2015＝1＋1＋C 22015×(12015)2＋C 32015×(12015)3＋…＋C r 2015(12015

)r ＋…＋C 20152015(

12015)2015<2＋12 ＋13 ＋…＋12015 <2＋12×1＋12×3＋…＋1 2015－1 ×2015

<3， ∴2016201520152016<1，∴20162015<20152016. 反馈练习

一、选择题

1．(文)(2015·新课标Ⅰ文，1)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

[答案] D

[解析] 集合A 的元素为首项为2，公差为3的等差数列，所以集合A ＝{2,5,8,11,14，…}，所以A ∩B ＝{8,14}，元素的个数为2.

(理)设集合A ＝{x |(12)x <14}，B ＝{x |log 13

x >－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |2

C ．{x |x >3}

D ．{x |x <－2或2

[答案] B

[解析] 因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |0

2．命题p ：?a ∈R ，函数f (x )＝(x －1)a ＋1恒过定点(2,2)；命题q ：?x 0∈R ，使2x 0≤0.