2014 北师大版相似多边形讲义与习题练习

相似多边形讲义与习题练习

1.探究相似多边形的定义

下图中的两个多边形分别是多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？ 图4－14 （1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测. （2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ 动手验证一下.

从上可知，上面的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨.

［例题］

下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？ （1）正三角形ABC与正三角形DEF； （2）正方形ABCD与正方形EFGH. 我们能否猜测出相似多边形的定义呢？

相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.

相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.

相似的表示：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似.记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比.

注意：（1）相似多边形的判定要依据定义，对应角相等，对应边成比例两者缺一不可；（2）相似比是由顺序的；（3）两个多边形用相似符号相连时对应点要放在对应的位置上，即：要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.

反过来：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例 观察下面的两组图形（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形

呢？

1

如果两个多边形不相似那么他们各角可能对应相等，各边可能对应成比例吗？

因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似.

（2）中的两个图形也不相似.

因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似.

2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形； 如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等.

4.练习：

一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？

图4－16

5.想一想：所有的边数相同的正多边形都相似吗？

正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，那么正多边形相似吗？ Ⅲ.课堂练习

判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由. （1）两个大小不等的矩形； （2）两个大小不等的正五边形； （3）一个正方形与一个平行四边形； （4）两个大小不等的菱形. 例题1

纸张的大小

图4－17

如图，将一张长、宽之比为

2的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，

AEML，GMFH，LGPN.（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？

（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？

2

（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？ 例2：如下图有三个矩形，其中是相似形的是（ ）

甲 乙 丙

变式练习：已知如图所示两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。

例3：下列说法正确的是：（ ）

（1）在两个边数相同的多边形中，如果各边

对应成比例，那么这两个多边形相似；（2）有一组邻边对应成比例的两个矩形相似；（3）有一个角对应相等的平行四边形都相似；（4）有一个角对应相等的菱形都相似。

变式练习：下列说法正确的是：（ ）

A任意两个正六边形相似 B对应边成比例的两个六边形相似 C对应角相等的两个六边形相似 D以上结论都成立

例4：如图，在平行四边形ABCD中， AB=6,AD=4,EF//AD,若□ABCD∽□EFDA,求AE的长。

变式练习：如图矩形ABCD中，长BC为8cm，宽AB为6cm，已知矩形ABEF的面积为21平方厘米，试问：矩形ECDF与矩形ABCD相似吗？并说明理由。

相似多边形的性质1：相似多边形的周长比等于相似比

例题：已知有两个大小不等的多边形相似，其中一个多边形的周长为36cm，它们的相似比为

34，求另一个多边形的周长。

3

相似三角形：

相似三角形的定义：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。 表示方法:若△ABC与?A1B1C1；则记作：△ABC∽?A1B1C1

1相似比：是指对应边的比，若：△ABC∽?AB1C1的相似比为k，则

AB?k A/B/注意：书写相似三角形时，各对应点写在对应的位置上，相似三角形的相似比也有顺序性若△ABC和△DEF

相似比为k，则△DEF和△ABC相似比为1。 k例：若△ABC和△DEF相似，它们的最长边分别为3和7，求相似比。

注意：△ABC和△DEF相似和△ABC∽△DEF含义不同，前者没有表明对应关系，后者表明了对应关系，

相似三角形与全等三角形的关系： 例：下列说法中不正确的是：

A全等三角形是相似比为1的相似三角形 B相似三角形不一定是全等三角形 C不相似的三角形一定不是全等三角形 D不全等的三角形一定不是相似三角形

相似三角形的性质：各角对应相等，各边对应成比例

判定：各角对应相等，各边对应成比例的三角形是相似三角形

注意：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？

例1.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°，求

例2：如图：△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°,且AC=10cm，AB=8cm，如果图中两直角三角形相似，求出AD的长。

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