200901概率论考试2学分A解答

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ???????????????密??????????????????封???????????????线?????????????? 学院 专业 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《概率论与数理统计》试卷A卷 （2学分用） 注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器，解答就答在试卷上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 十 大题，满分100分。考试时间120分钟。 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷人 注：标准正态分布的分布函数值 ?(1.0)?0.8413,?(2.575)?0.9950?(2.81)?0.9975?(2.42)?0.9922 ?(1.285)?0.9,?(1.645)?0.95,?(1.96)?0.975,?(2.33)?0.99 _____________ ________ 一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为，击伤的概率为，击不中的概率为，并设击伤两次也会导致航空母舰沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？ 解：设Ai＝｛第i枚弹道导弹击沉航空母舰｝，Bi＝｛第i枚弹道导弹击伤航空母舰｝ ，i＝1，2，3，4 Ci＝｛第i枚弹道导弹没有击中航空母舰｝D＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝ 131216姓名 学号 P?Ai??111，P?Bi??，P?Ci??，i＝1，2，3，4 326D?C1C2C3C4UB1C2C3C4UC1B2C3C4UC1C2B3C4UC1C2C3B4 P?D??P?C1C2C3C4??P?B1C2C3C4??P?C1B2C3C4??P?C1C2B3C4??P?C1C2C3B4??1??1?113????4?????4?6??6?26P?D??1?P?D??1?13= 0.99 4643 《概率论与数理统计》试卷第 1 页 共 7 页 二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有

关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J、Q、K、A），

求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；

（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率； （3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。 解：（1）A＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝

P?A??4?(13?4)36?5（只要说明顺子的构成，分子40也算对） 5C52C52（2）A＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝

1312C13C4C12C4 P?A??5C52（3）A＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝

13211C13C4C12C4C4 P?A??5C52三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：

（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？ （2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？

解：（1）设A＝｛被查后认为是非危险人物｝， B＝｛过关的人是非危险人物｝，则

P?A??P?B?P?AB??P?B?PAB?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428

??《概率论与数理统计》试卷第 2 页 共 7 页

P?BA??P?B?P?AB?P?A??0.998

（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则

Ci={第i关危险人物被误认为非危险人物}，P?C1?Cn??0.05n，所以

1?0.05n?0.999，n?

ln0.0001?ln0.0001?，即n???1=[3.0745]+1 = 4 ?ln0.05?ln0.005?四、（8分）随机变量X服从N(?,?2)，求Y?aX,a?0的密度函数

解：当a?1时，Y?1，则FY?y????0y?1

1y?1?dFY?y??0

dy当0?a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??当y?0时，FY?y??PaX?y?P?Xlna?lny?

??lny?lny????lny?FY?y??P?X???1???? ??1?P?X?lna?lna???lna??fY?y??dFY?y?11???edyylna?2?lny??)2lna?2?2(

当a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??dFY?y??0 dy当y?0时，FY?y??P?X???lny??lny?????? lna??lna?lny??)2?lna22?(fY?y??

dFY?y?11??edyylna?2?

五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：

X Y -1 a 0 0 1 0 2 0 -2 《概率论与数理统计》试卷第 3 页 共 7 页

-1 0 1 0.14 0.01 0.12 b 0.02 0.13 0 0.03 0.14 0 0 0.15 已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。 解：（1）E(X+Y)=

E?X?Y???3a?2?0.14?b?1?0.01?1?0.03?1?0.13?2?0.14?3?0.15

??3a?b?0.6?0a?0.14?b?0.01?0.02?0.03?0.12?0.13?0.14?0.15?a?b?0.74?1

联立解得：a?0.17，b?0.09 （2）X的概率分布函数：

X -2 0.17 -1 0.23 0 0.06 1 0.54 （3）E(XY)＝2?0.17?1?0.14?1?0.12?1?0.14?2?0.15?0.8

六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？

?m??p?0.1??0.95，因?n?m?pn~?N?0,1? p?1?p?n解：P?《概率论与数理统计》试卷第 4 页 共 7 页

?m?n?p?P???p?1?p??n?2?0.1????0.95，

p?1?p???n?0.1p?1?p?n?u0.975?1.96

n??19.6?p?1?p?；因为p?1?p??1/4，取n??19.6?/4=96.04即n?97

2

七、（10分）

设二维随机变量(X,Y)在区域：?0?x?a,0?y?b?上服从均匀分布。（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知

DX?12,DY?36，求参数a、b；（3）判断随机变量X与Y是否相互

独立？

解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：

?1/ab,0?x?a,0?y?b f(x,y)??others?0,边缘概率密度：fX(x)???1/a,0?x?a?1/b,0?y?b，fY(y)?? othersothers?0,?0,（2）DX?(1/12)a2?12,DY?(1/12)b2?36，a?12,b?123 （3）随机变量X与Y相互独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y)

八、（8分）证明：如果E|?|3?c存在，则P(|?|?t)?c t3|x|3|x|3E|?|3c解： P(|?|?t)??dF(x)??3dF(x)??3dF(x)?3?3

tt|x|?t|x|?tt|x|?0t

九、（12分）设（X，Y）的密度函数为

?Axy,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??其他?0《概率论与数理统计》试卷第 5 页 共 7 页

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