悖论及其对数学发展的影响

悖论及其对数学发展的影响

【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交

给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。”一句话把老讼师给气死了。 类似的： 1) 我正在说谎？！！ 2) 鸡与鸡蛋何为先？ 一、 悖论的定义

“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс ）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。

关于悖论，目前并没有非常权威性1

的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。

通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。

下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。

悖论不同于通常的诡辩或谬论。诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。悖论是（在当时）解释不了的矛盾。

悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；

悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能； 数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。 二、 悖论的起源

起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪） 芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。 （1） 运动不存在 一物体

A E D C B 要从A点到达B点，必先抵达其1/2处之C点；同样，要到达C点，必先抵达其1/4处之D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。

据说，在芝诺作关于运动不存在这个悖论的演讲时，当时有一个反对者，在气急之下也只是在听众席前默默地走来走去。

问题：要到达无穷多个位置，是否就需要无限长的时间？ （2） 阿里斯追不上乌龟

阿里斯与乌龟赛跑，阿里斯的速度是乌龟速度的10倍，乌龟先行100米，阿里斯开始追赶；等到阿里斯走过100米时，乌龟又走了10米；等到阿里斯再走过10米时，乌龟又走了1米；…… , 阿里斯永远也追不上乌龟。

问题：无穷多个时间段，是否就是无限长的时间？ （3） 飞矢不动

“飞着的箭静止着”。飞箭在任一瞬间必然静止在一个确定的位置上，所以，运动就是（无数）静止（的总和）。

问题：什么叫运动？ （4） 运动相对性 A B C 三个物体A,B,C依次等距并行排列，B不动，A以匀速左行，于是， C以同样的速度匀速右行；在B看来，A（相对于B）运动一个长度单位所用的时间等于，在C看来，A（相对于C）运动两个长度单位所用的时间。悖论：一半时间等于整个时间。

结论：运动是相对的。

起源之二：说谎悖论（约公元前六世纪）

说谎悖论是一个语义上的悖论。多年来通过对它的分析、研究，逐步澄清了语言学在逻辑、语义上存在的混乱和不清，推动了逻辑学、语义学的发展。说谎悖论产生较早，也被认为是悖论的起源之一。

（1） 埃比曼尼德悖论

公元前六世纪，克里特岛上的哲学家埃比曼尼德（Epimenides）说：“所有的克里特人都是说谎者。”（假定说谎者永远说谎，并假定所有克里特人要么都说谎，要么都讲真话。）

如果这句话是“真的”，由于埃比曼尼德本人也是克里特人，他应是说谎者，他说的上述话应该是“假的”。

如果这句话是“假的”，这说明埃比曼尼德本人在说谎，因此所有的克里特人都是说谎者，他说的上述话应该是“真的”。

如果没有前述假定，这句话并不构成悖论。但在公元前三世纪，欧几里得学派把上述语句修改为

“我正在说谎”

这倒是一个标准的悖论了。 （2） 柏拉图悖论

A: 下面B的话是假的； B: 前面A说了真话。 （3） 二难论

鳄鱼问孩子的母亲：你猜我会不会吃掉你的孩子，猜对了我就不吃，猜错了，我就吃掉他。 母亲说： 你是要吃掉我的孩子的。 问题：鳄鱼能否吃掉孩子？ 三、 悖论形成的原因 1. 认识论方面的因素

主观思维的形而上学性与客观事物的辨证性产生矛盾，而矛盾在“极限”情况下表现为“没有出路”的的程度，就出现悖论。对于具体的悖论，由于科学的不断发展，将在新的理论体系中

得到解决，又会在新的情况下出现新的悖论。 2. 方法论方面的因素

主观思维方法的形式化特性与客观事物的辨证性产生矛盾，而造成悖论。比如。Cantor 造集的任意性，就容易产生悖论。

四、 悖论对数学发展的影响——三次数学危机

从哲学上来看，矛盾无处不在。即便以确定无疑者著称的数学也不例外。数学中充满矛盾：正数与负数，实数与虚数，有限与无限，常量与变量，连续与离散，直观与抽象，分析与综合，微分与积分，数与形，加与减等等。在整个数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及到整个数学基础时，就产生数学危机。要消除矛盾，就要对旧的理论加以审视，找出矛盾根源，建立新的理论体系。这样当矛盾消除，危机解决时，又往往给数学带来新的内容，新的进展，以致革命性的变化。

在数学发展史上，一般认为从公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯学派算起，到本世纪初的2600年间，经历了三次重大危机。第一次数学危机发生在公元前470年左右，由无理数的发现所导致；第二次数学危机发生在17世纪，是由于实用但不够严密微积分而产生的；1902年，英国数学家罗素（B. Russell，1872---1970）关于集合的悖论的发表标志着第三次数学危机的到来。每一次数学危机的出现，都源于数学新思想与传统思想的激烈冲突，因此都是以数学悖论的出现为特征。而危机的解决则扩大了对数学对象、数学理论与数学方法的认识，从而促进了数学新的发展。

1. 第一次数学危机

公元前5世纪，无理数的发现，导致了数学的第一次危机。 （1）毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说

数学是研究数与形的科学。远在文字出现之前，人类祖先就已经有了数的概念。人们最先认识的是1、2、3等自然数。后来，由于劳动成果的分配问题，而引入了分数（有理数）。在此后的很长一个时期内，人们认为，有理数就是所有的数了。

到了公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派坚信：任何一条线段的长度都可以表示为两个整数之比，世界上除了整数和分数（有理数）之外，再也没有别的数了。这就是“万物皆数”的学说。毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”这一信条，认为宇宙中的一切现象都能归结为“数”——即有理数。

关于这一信条有两个方面的解释，一个是宗教的，另一个是自然的。从前者解释，当时他们认为上帝创造了整数“1”，然后由“1”生“2”，由“2”生“3”，以致生出所有的自然数，进而生出所有的（分）数——有理数；再由数生点，由点生线，由线生面，由面生体，由此生出“水、气、火、土”四种元素，最后生出世间万物——物质的和精神的。“万物皆数”的信条后一种解释是从自然的角度。他们认为宇宙中的一切现象都能归结为“数”——整数或整数之比。因此所有的几何量：长度、面积、体积等均可以由整数或整数之比来表示，或者说任何两个量之间都是“可以公度” 的——即可以找到一个较小的量去公度它们。当时他们信奉这一信条是有其“充分”的根据的。他们已经清楚，有理“数”之全体具有稠密性与和谐性，所谓稠密性是说，任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，从而必然有无穷多个有理数存在，而不管这两个有理数有多么接近。所谓和谐性是指，有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，你永远找不到一个与之最接近的有理数。因此，毕达哥拉斯学派自然地认为，（有理）数就是所有的量。

（2）无理数的发现与第一次数学危机

毕达哥拉斯学派一个最重要的研究成果就是所谓的毕达哥拉斯定理，即勾股定理。按照这一定理，直角边边长为1的等腰直角三角形的斜边长作为一个几何量也应该是一个分数。可是，毕达哥拉斯和他的门徒们费了九牛二虎之力也找不到这个分数。该学派有个成员叫希帕斯(Hippias)，他对这一问题很感兴趣。希帕斯花费很多时间苦心钻研这类问题，最终发现边长为1的正五边形

的对角线的长度，也既不是整数，也不是分数，这是一个人们还没有认识的新数，就是我们现在所说的“无理数”。

像正方形的对角线的长度

这样的几何量，却不是一个数（=量），这自然是一个悖论。这

一悖论的出现，动摇了毕达哥拉斯“万物皆数”的信条，推翻了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌，直接导致了数学的第一次重大危机。

据说当时毕达哥拉斯学派为了维护该学派的威信，下令严密封锁希帕斯的发现。希帕斯则由于泄露了这一秘密而被追杀，他因此流浪国外数年。后来，在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的信徒们发现了希帕斯，他们残忍地把希帕斯扔进海中，结束了希帕斯的生命。

（3）欧多克斯比例理论的建立 后来，随着时间的推移，更多的无理数被发现，无理数逐渐被人们所接受。大约在公元前370年，古希腊数学家、毕达哥拉斯学派的欧多克斯（Eudoxus,公元前408—前355年）建立了新的比例理论，标志着这一悖论的解决，同时无理数得以普遍承认，数学向前推进一大步。

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