3.1平行四边形(4) 三角形的中位线

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九年级数学(上)第三章 证明(三)

1.平行四边形(4) 三角形的中位线及性质

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回顾与思考 1

学好几何标志是会 “证明”

证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.

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回顾

思考

平行四边形的性质A D

定理:平行四边形的对边相等.

′

∵四边形ABCD是平行四边形. B C ∴AB=CD,BC=DA. A D 定理:平行四边形的对角相等. O ∵四边形ABCD是平行四边形. B C ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. M A D N 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. Q C P B ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平行线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.

证明后的结论,以后可以直接运用.

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回顾

思考

平行四边形的判定A D C

定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.

B

′

定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. A D ∵AO=CO,BO=DO, O ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. ∵∠A=∠C,∠B=∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形.B C

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回顾

思考

等腰梯形的性质A D

定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.

在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴∠A=∠D, ∠B=∠C.

B

C

定理:等腰梯形的两条对角线相等.

在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴AC=DB..

A

D

B

C

证明后的结论,以后可以直接运用.

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回顾

思考

等腰梯形的判定A D

定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.

B

C

定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC.A D

B

C

证明后的结论,以后可以直接运用.

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我思,我进步1

挑战分割三角形

你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? 连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?A

四个全等的三角形.

请你设法验证.连接三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线.B

D

E

F

C

猜一猜,三角形中位线有什么性质?

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三角形中位线的性质 我思,我进步2 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 已知:如图,DE是△ABC的中位线. 1 求证:DE∥BC,DE 2 BC . 分析:要证明线段的倍分关系,可将DE加倍后证明与BC相等. 从而转化为证明

平行四边形的对边的关系 A 于是可作辅助线,利用全等三角形来 证明相应的边相等. D E 证明:如图,延长DE至F, F 使EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). B C ∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD∥CF. ∵AD=BD, (一组对边平等且相等的四 ∴BD=CF. ∴四边形DBCF是平行四边形. 边形是平行四边形.) ∴DF∥BC,DF=BC. 1 ∴DE∥BC,DE BC .

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我思,我进步3

三角形中位线的性质

利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边 的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. A

求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌FED. 分析:利用三角形中位线性质,可 D 转化用(SSS)来证明三角形全等. 证明: B ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.F

E

C

(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).

DE BF FC. EF AD DB. FD CE EA.

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我思,我进步4

三角形中位线的性质

如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 四边形EFGH是平行四边形,结论对所有的四边形ABCD都成立. 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点 A 求证:四边形EFGH是平行四边形. . E 分析:将四边形ABCD分割为三角形,利 B 用三角形的中位线可转化两组对边分 别平行或一组对边平行且相等来证明. H F 证明:连接AC. D C ∵E,F,G,H分别为各边的中点, G 1 ∴EF∥AC,EF AC. 2 1 HG∥AC,HG AC. 2 ∴四边形EFGH是平行四边形.

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我思,我进步5

做一做,想一想A

′

已知:如图,A,B两地被池塘隔 开,在没有任何测量工具的情 况下,有通过学习方法估测出 了A,B两地之间的距离:先在AB C 外选一点C,然后步测出AC,BC 的中点M,N,并测出MN的长,由 此他就知道了A,B间的距离.你 能说出其中的道理吗?

M

N

B

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回顾

思考

三角形中位线的性质

定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 A 边的一半. ∵DE是△ABC的中位,1 ∴DE∥BC,DE BC . 2 这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据.′D E

模型:连接任意四边形各边中点 B 所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 H 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决 D 定了各中点所成四边形的形状.

A

CE B

FG C

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独立 作业

知识的升华

P79习题3.3 1,2,3,4题.祝你成功！

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下课了!

结束寄语

严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ncmm.html