变截面梁剪应力计算

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第2章 箱形梁计算理论

2.1 引言

现行规范对梁的抗弯和抗剪设计的理论仍然采用经典的梁理论，预应力混凝土变截面连续刚构的也不外乎。设计计算通常采用平面分析程序。

对于梁的内力计算有基于唯象理论材料力学方法，和基于线性偏微分方程组的边值问题求解的弹性力学方法以及有限元法[17,18]。从唯象理论建立的材料力学方法遵循以下假设：a.连续性假设；b.均匀性假设；c.各向同性假设；d.小变形假设；e.平截面假定。通过微分方程求解的弹性力学方法与其不同之处在于不必遵守平截面假定，因为它是通过建立微元体外力和内力平衡的平衡方程以及小变形的几何方程和应变协调方程来求解的。对于简单的典型的梁（比如高跨比不大的梁、截面规则的梁），材料力学虽然引入了平截面假定，但可以获得误差不大的解；而弹性力学可以获得精确解，但其前提是边界条件不复杂。对于深梁，材料力学的方法误差较大，弹性力学求解结果表明截面变形不遵循平截面假定，竖向正应力也不为零，存在挤压应力。下图2-1是简支深梁在均布荷载作用下的应力分布图[18]。但是弹性力学方法对于我们的变截面箱形梁的求解就力不从心了。

图2-1均布荷载作用下矩形简支梁弹性解

Fig. 2-1 Elastic solution of rectangular simple beam under the of action of uniform load

预应力混凝土变截面连续刚构，从梁体混凝土受力来看，它不完全属于梁，而属于梁柱；从形态上来看，它截面复杂，用经典的弹性力学方法难以求解，用材料力学方法势必带来误差；从材料来看，它不完全属于弹性体。因此，用平面程序进行设计势必带来很大误差。通过考虑材料非线性和破坏准则的有限元实体分析法可以较为正确地反映预应力混凝土变截面连续刚构的力学行为。需要指出的是本文重点在于分析预应力混凝土箱梁弯曲正应力、剪应力，以及弯曲变形与

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剪切变形之间的关系，对于箱梁在偏载作用下产生的扭转翘曲应力不做考虑。

2.2 箱梁截面的弯曲正应力计算

平面分析程序通常采用有效计算宽度法将箱形截面转化为等效的工字形截面进行弯曲正应力计算[19]。其中有效宽度的折减系数的选取是根据不同跨径的剪力滞效应分析得到的保守的经验系数。弯曲正应力的推导采用等效后的截面按照材料力学的方法进行计算，具体如下：

NM y

（2-1）

Ab Ix

2.3 变截面箱梁的正截面剪应力计算

2.3.1 箱形截面弯曲剪应力计算理论

箱形截面计算在理论上属于薄壁结构的计算，根据文献[20]，薄壁结构弯曲剪应力 计算如下：

q (s) t (

QyIx

Sx

Qx

Sy) ( (s) t)A （2-2） Iy

其中： (s)—路径上S点截面剪应力；

t—薄壁结构壁厚；

Qx、Qy—薄壁结构承受的剪力；

Ix、Iy—路径上S点对x轴、y轴的惯性矩；

Sx、Sy—路径上起点A到S点的面积对x轴、y轴的面积矩；

( (s) )A—路径上起点A处剪力流。

对于箱形截面而言属于内部超静定问题，剪力流为零的点难以确定，需通过补充的变形协调条件才能求解。如图2-2 a）所示箱梁，在截面的任一点A切开。假设一未知剪力流qA，对已切开的截面可利用式（2-2）计算箱梁截面上各点的剪力流q0。由剪力流q0与qA的作用，在截面切开处的相对剪切变形为零，即：

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dS 0 （2-3）

S

此处dS是沿截面周边量取的微分长度，符号∮S表示沿周边积分一圈，剪应变为：

M

q

（2-4）

G

tG

图2-2单箱室截面弯曲剪应力分析

Fig. 2-3 Bending shear stress analysis of single-box section

而剪力流

q q0 qA 将式（2-4）与（2-5）代入式（2-3），则得：

q0 qA

StdS 0 而q00

QySxI，代入上式得：

x

QySxoS

tIdS qdS

x

S

A

t

0 QydSq

Ix

S

Sxo

t

A St

2-5）

2-6）

2-7）

（ （ （

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于是，箱梁的弯曲剪应力为：

M

q1

q0 qA （2-8） tt

从上面的计算推导我们可以看出，剪应力的计算不能考虑翼缘板的作用，如果将箱形截面等效为工字形截面而忽略超静定剪力部分，则可以确定剪力流为零的点（顶面线或者底面线）而进行全截面简化计算。二者都有一定误差，但是后者对于变截面箱梁的正截面剪应力计算比较方便。

2.3.2 变截面弯曲剪应力计算理论

关于变截面梁剪应力计算，一些科研工作者对其进行了研究[21~23]，在各自的假设下得到了剪应力计算公式，经过认真研究推导，发现文献[22]的推导比较全面而且合理。

2.3.2.1 计算假定 在结构中取长度为dx的梁段，如图2-3所示。各项假定如下： a）坐标轴方向及各符号的正方向均如图2-3所示，其中轴力N以压为正，剪力Q以顺时针方向为正，弯矩M以使截面下缘受拉为正；b）轴力N在dx段不变； c）顶板厚度不变；d）把上、下梗掖简化计入顶、底板中；e）正应力计算符合平截面假定，正应力方向平行于X轴。

图2-3变截面梁剪应力计算示意图

Fig. 2-4 Schematic plan of non-uniform beam shear stress calculation

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2.3.2.2 剪应力计算公式基本推导 自梁体中取两相邻截面mn和m1n1，并用平行于X轴的平面ab切出mm1ba为隔离体进行计算，另：

D (y)dA

A1c

NMy ) b(y)dy0A （2-9） INMD A1 S1

AID (

其中：b(y)—y处梁体横向合计宽度；

N、M—作用在计算截面上的轴力和弯矩； A、I—全截面面积及截面惯性矩；

A1、S1—计算截面内自计算部位至上边缘间面积及其对重心轴的面积矩 根据力的平衡方程可得：

X 0

b dx 1 dD （2-10）

1

式中：b—计算截面ab处2倍腹板厚度 将（2-9）代入（2-10）中得：

1dD

bdx

1NdA1A1dNNA1dAMdS1S1dMMS1dI

2 2 ) （2-11） 1 (

bAdxAdxAdxIdxIdxIdx

dN

0； 根据假定N在dx范围内无变化，即dx

以dx微段为研究对象对截面重心O1点取矩得：

dM Qdx Ndx tg

dM

Q Ntg （2-12） dx

将（2-12）代入（2-11）中得：

1 [

SMSdI1NdA1NA1dAMdS1

2 Q Ntg 1 21 ]bAdxdxIdxIdxAIN 1dA1A1dAS1 M 1dS1S1dI QS1

tg 2 2

b AdxAdxI b IdxIdx bI

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QS1 1Ib NC1 MC2 1dA1A1dAS1 C 2 tg /b （2-13） 1

AdxAdxI 1dS1S1dI C 2 /b 2

IdxIdx

2.3.2.3 参数tg ，

dA1dSdAdI，，1，的计算

dxdxdxdx

图2-4变截面梁剪应力计算示意图

Fig. 2-5 Schematic plan of non-uniform beam shear stress calculation

1．tg 的计算

tg

dG

，其中G截面重心 dx

G

h d1 u1 d1

A Bh bh dd C1 1 AA 222

dG Gdh Gd GdB Gdb dx hdx dx Bdx bdx G1 u A 1

G B bd1 bh bd1 Gb hA h h A

A下1

B bh G A A

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G1 u A 1

G Bh B GB A A

A空B

h G AA

G1 u A 1 G h G BA B B A 2

S底'

G A 2 AB

h d1 G1 u A 1 G h d1 d1 Gh d 1 bA b b A 2

1 h d1 S腹

h d1 G A 2 Ab

tg

SSAdGA下

tg 空tg ' 2底tg 2腹 tg tg 1 （2-14） dxAAABAb

2．

dA1

的计算 dx

如果腹板沿纵向厚度不变，则该项为零，如按图2-4线性变化，则有如下计算方法：

A1 AC y d1 bdA1db

y d1 dxdx

2 y d1 tg tg 1

（2-15）

3．

dA

的计算 dx

A AC B b h d1

dA Ad AdB Adb Adh dx dx Bdx bdx hdx Btg '

dBdb

h d1 btg dxdx

（2-16）

Btg ' 2 tg 2 h d1 tg tg 1 btg

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4．

dS1

的计算 dx

d y d1

S1 AC G 1 b y d1 G

2 2 dS1 S1dG S1db

dx Gdx bdx

y d1

A by dtg y dG 1 1 2 tg tg 1 C

2 y d1

A1tg y d1 G 2 tg tg 1 2

（2-17）

5．

dI

的计算 dx

d1 b B 3 3 '3 I IA1 A1 G G d1 G B G'

122 3 2 dI IdG IdG' Id IdB Idb

dx Gdx G'dx dx Bdx bdx I

2A1G A1d1 bG2 2bd1G bd12 G

d b2

2 A1 G 1 G d1 2S上

2 2

22

bG'2A2 I'2'2'

bG 2B G B 2 AG 2

22 G'

S上 S下 I I

G G'

2S下

IB23

BG'2 2BG' B 2 B 2 BG'2 2BG' 44 B 2 G'2 2G' 2S空

2

I I 3 '

G 底 B122 B

I I1 3

G d1 G'3 腹

b b3

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IIdIdGdG'd

2S下 2S下 2S空 2底tg 2腹 tg tg 1 dxdxdxdxBb 2S下tg 2S空tg ' 2

2.3.2.4 实用剪应力计算公式

把tg 、

dA1dSdAdI

、、1、用已知量表达式（2-13）后： dxdxdxdx

I底I

tg 2腹 tg tg 1 Bb

（2-18）

S1

Q NC1 MC2 Ib 1 1dA1A1dAS1 C tg 1 AdxA2dxI b 1 1dS1S1dI C 2 2 b IdxIdx SSAA

tg 下tg 空tg ' 2底tg 2腹 tg tg 1 AAABAb dA1

2 y d1 tg tg 1 dx

dA Btg ' 2 tg 2h dtg tg btg

1 1 dx

dS1 Atg 2 y d G y d1 tg tg

11 1 dx2

I底I腹 dI'

2Stg 2Stg 2tg 2 tg tg 1 下空 Bb dx

式中： —剪应力，顺时针为正；

Q、N、M—验算截面的剪力、轴力、弯矩，其正方向如图2-3所示； A、I、b—验算截面的截面积、惯性矩及腹板宽度之和； A1、S1—梁顶至验算点之截面积及其对重心轴的面积矩； A下、S下—重心轴以下截面积及其对重心轴的面积矩； A空、S空—重心轴以下空心部分面积及其对重心轴的面积矩；

I腹、S腹—腹板对重心轴的惯性矩及面积矩。S腹为腹板重心，在全截面重心

轴以下时为正，反之为负；

y—计算点至梁顶距离；

I底、S底—底板对重心轴的惯性矩及面积矩。S底为正；

、 1—腹板内、外侧变化角度，使腹板随X增加而增厚时为正，反之为负。

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