初中数学实际问题与二次函数详解与练习（含答案）

初中数学：实际问题与二次函数_详解与练习(含答

案)

初中数学专项训练：实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题

例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得： 又 （2）

时，

即当

＞＞0

中，a= -1＜0，∴y有最大值，

＜x＜18

；

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、 只围三边的矩形的面积最值

例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养 鸡场的面积最大？

分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（ 根据题意，得： b即当

＞

又

）（米）， ＜x＜50 ＞

中，

＜0，∴y有最大值， 222 时，

； 22

625平方米。 2故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为

点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值

例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

2 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

2 (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm 当

解得： 时，20-x=4；当

时，20-x=16 由题意得：

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为

围成两个正方形的面积为ycm， 根据题意，得：

，4

＞

时，

即当

，

中，a= 2＞0，∴y有最小值，

故两个正方形面积的和不可能是12cm.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y. (1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

2

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当 水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽 4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式 是 . 图（1） 图

【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解

2析式为：y=ax，利用待定系数法求解. 试题解析：设此函数解析式为：y=ax，a1

则-2=4a 即得a=-2y=-12x. 20； 那么（2，-2）应在此函数解析式上． 112， 那么y=-x． 22

考点：根据实际问题列二次函数关系式. 练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与 2水平距离x（米）之间的关系是 (1)柱子OA的高度是多少米？

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

请回答下列问题： 4

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系. ①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

三、利用抛物线解决最大利润问题

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