高考数学 均值不等式专题试卷

高考数学 均值不等式专题试卷

1．设a、b∈R，试比较＋

a＋b与a?b的大小． 22．若a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．

＋

3．设a、b、m∈R，且

＋

＋

bb＋m?，求证：a＞b. aa＋m4．若a、b∈R，且a≠b，M＝ab＋，N＝a＋b，求M与N的大小关系． ba5．用数学归纳法证明不等式

1111＋＋?＋?(n>1，n∈N*)的过程中，用n＋1n＋2n＋n2n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.

22

6．求证：a＋b≥ab＋a＋b－1. 7．已知a>0，b>0，求证：ab?≥a＋b. baxyz111＋＋?＋＋ yzzxxyxyz8．已知x、y、z均为正数，求证：

9．已知a>0，求证：a＋2112－≥a＋－2. 2aaa2＋b2＋c2a＋b＋c10．求证： ?3311．若实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，求x＋y＋z的最小值．

n2

12．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2>n成立． 13．求函数y＝1?x＋4?2x的最大值． 14．设x、y∈R，求?x2＋2

2

2

??1??12?＋4y???的最小值． 22y??x?15．已知a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm＋an)的最小值． 16．设x、y、z∈R，且满足x＋y＋z＝1，x＋2y＋3z＝14，求x＋y＋z的值．

2

2

2

17．已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－ab.

18．设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

3322

a2b2c21(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1

3bca19．已知正数a、b、c满足abc＝1，求证：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.

20．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m的值；

试卷第1页，总2页

(2)若a，b，c∈R，且＋＋

1a11＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 2b3c21．已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1

222

(1)若2x＋3y＋6z＝1，求x，y，z的值．

222

(2)若2x＋3y＋tz≥1恒成立，求正数t的取值范围． 22．(1)求函数y＝x-1＋5?x的最大值；

(2)若函数y＝ax＋1＋6?4x最大值为25，求正数a的值． 评卷人 得分

试卷第2页，总2页

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参考答案

1．a?b≥a＋b 222

?a＋b?【解析】∵(a?b)－?＝???2??2．3 ?a-b2?2≥0，∴a?b≥a＋b 2【解析】(1·a＋1·b＋1·c)≤(1＋1＋1)(a＋b＋c)＝3，即a＋b＋c的2

2

2

2

最大值为3 3．见解析 【解析】由b＜a. 4．M>N

【解析】∵a≠b，∴bb＋mbb＋m(b-a)m＋

?＝，得-＜0.因为a、b、m∈R，所以b－a＜0，即aa＋maa＋m（aa+m）ab＋b>2a，＋a>2b， ba∴abab＋b＋＋a>2b＋2a，即＋>b＋a，即M>N. baba1

(2k+1)(2k+2)11111＋＋?＋，n＝k＋1时，左边＝＋k＋1k＋2k＋kk＋2k＋35．

【解析】当n＝k时，左边＝＋? ＋

11111＋－，故左边增加的式子是，即A＝

（k＋）＋（1k＋）12k+12k+2k+1(2k+1)(2k+2)6．见解析

2222

【解析】∵(a＋b)－(ab＋a＋b－1)＝a＋b－ab－a－b＋1

122

(2a＋2b－2ab－2a－2b＋2) 212222

＝[(a－2ab＋b)＋(a－2a＋1)＋(b－2b＋1)] 21222

＝[(a－b)＋(a－1)＋(b－1)]≥0. 2＝

∴a＋b≥ab＋a＋b－1. 7．见解析

2

2

答案第1页，总5页

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【解析】(证法1)∵?b??a??－(

a??ba＋

?a??b?b)＝??b????a?＝

?b??a?2a?bb?a（a－b）（a－b）（a+b)(a－b）＝≥0，∴原不等式成立． ?＝baababab?2ab（a+b)(a-ab+b）a?bba＝aa＋bb＝(证法2)由于＝－1≥a?bababab（a＋b）ab（a+b）－1＝1.又a>0，b>0，ab>0，∴8．见解析

【解析】(证法1：综合法)因为x、y、z都是正数，所以

ab≥a＋b. ?baxy1xy2＋＝(?)≥.同理

zyzzxzyx可得

yzxz22＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 zxxyxyzxyyxyz111＋＋?＋＋. yzzxxyxyz(证法2：分析法)因为x、y、z均为正数，要证

xyz111＋＋?＋＋.只要证yzzxxyxyzx2＋y2＋z2yz?zx?xy22222

≥，只要证x＋y＋z≥yz＋zx＋xy，只要证(x－y)＋(y－z)＋

xyzxyz(z－x)≥0，而(x－y)＋(y－z)＋(z－x)≥0显然成立，所以原不等式成立．

9．见解析

【解析】要证a＋22

2

2

2

112－≥a＋－2， 2aa只需证a＋211＋2≥a＋＋2， 2aa只需证a＋

2

1111??22a＋＋4＋4≥a＋＋2＋2＋2， 2a???222aaa?a?11??≥2a???，

aa2??即证2a＋2答案第2页，总5页

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只需证4?a2＋即证a＋

2

??1??21?≥2a＋?2??， 2?2a?a??1≥2，此式显然成立． 2a∴原不等式成立． 10．见解析

2222222

【解析】∵(1＋1＋1)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)，

a2＋b2＋c2?a＋b＋c?a2＋b2＋c2a＋b＋c∴≥，即 ?3933a211．

14【解析】∵(1＋2＋3)(x＋y＋z)≥(x＋2y＋3z)＝a，即14(x＋y＋z)≥a，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2a2a2222

∴x＋y＋z≥，即x＋y＋z的最小值为.

14142

2

2

12．见解析

52

【解析】(1)当n＝5时，2>5，结论成立．

(2)假设当n＝k(k?N?，k≥5)时，结论成立，即有2>k，

k

2

那么当n＝k＋1时，左边＝2

k＋1

＝2·2>2·k＝(k＋1)＋(k－2k－1)＝(k＋1)＋(k－1－

k2222

2)(k－1＋2)>(k＋1)2＝右边.

∴也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．

∴由(1)、(2)可知，不等式2>n对n?N，n≥5时恒成立． 13．3

【解析】∵y＝(1?x＋2·2?x)≤[1＋(2)](1－x＋2＋x)＝3×3，∴y≤3，

2

2

2

2

n

2

?当且仅当14．9

12＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3. 1?x2?x【解析】由柯西不等式，得?x＋??2?21??11??122?2?≥(1＋2)＝9.∴＋4yx＋＋4y???????22y2??x2yx?????的最小值为9.

15．2

【解析】利用柯西不等式求解，(am＋bn)(an＋bm)≥(am?an＋bn?bm)＝mn·(a＋b)

2

2

＝2·1＝2，且仅当

ambn＝即m＝n时取最小值2. anbm答案第3页，总5页

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16．

314 72

2

2

2

2

2

2

【解析】由柯西不等式可知(x＋2y＋3z)＝14≤(x＋y＋z)·(1＋2＋3)， 因为x＋y＋z＝1，所以当且仅当＝＝时取等号．

2

2

2

x1y2z3此时y＝2x，z＝3x代入x＋2y＋3z＝14得x＝

14214314，即y＝，z＝， 141414所以x＋y＋z＝314 717．见解析

33223223

【解析】∵2a－b－2ab＋ab＝(2a－2ab)＋(ab－b)

2222

＝2a(a－b)＋b(a－b)

22

＝(a－b)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)， 又a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0， ∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，

3322

∴2a－b－2ab＋ab≥0，

3322

∴2a－b≥2ab－ab. 18．（1）见解析（2）见解析

222222222

【解析】(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

2222

由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤

1. 3a2b2c2(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

bcaa2b2c2a2b2c2故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c. bcabcaa2b2c2所以＋＋≥1.

bca19．见解析

【解析】(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)

≥3·3a·3·3b·3·3c＝27·3abc＝27(当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立)． 20．（1）m＝1（2）见解析

【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m， ∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1. (2)由(1)知

111＋＋＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋a2b3c答案第4页，总5页

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3c)?＋?1?a121111?＋2b·＋3c·)＝9. ＋?≥(a·2b3c?3ca2b111，y＝，z＝（2）t≥6 2362

2

2

21．（1）x＝

【解析】(1)∵(2x＋3y＋6z)(＋＋)≥(x＋y＋z)＝1，当且仅当

1213162

2x3y6z＝＝111236时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，

111，y＝，z＝. 23611?1222?12222

(2)∵(2x＋3y＋tz)?＋＋?≥(x＋y＋z)＝1，∴(2x＋3y＋tz)min＝.

51?23t?＋6t1222

∵2x＋3y＋tz≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.

51＋6t又∵x＋y＋z＝1，∴x＝22．（1）22（2）2 【解析】(1)∵(当且仅当1·x-1＋5?x)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8,∴x-1＋5?x≤22.x-1＝1·5?x即x＝3时，ymax＝22.

2

??235232

ax＋1＋2－x(2)(ax＋≤(a＋4)(x＋1＋－x)＝(a＋4)， 1＋6?4x)＝????222??由已知

52

(a＋4)＝20得a＝±2， 2又∵a>0，∴a＝2.

答案第5页，总5页

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