简单的线性规划问题自主测试题

练习题。

简单的线性规划问题自主测试题

y x,1 1．求z=x＋2y的最大值，使式子中的x、y满足 x y 1, 3 y 1

该问题中的不等式组叫做_____________________，z=1x＋2y叫做________________. 3

2．目标函数z=4x+y，将其看成直线方程时，z的几何意义 （ ）

A．该直线的截距 B．该直线的纵截距

C．该直线的横截距 D．该直线的纵截距的相反数

x 2, 3. 若 y 2,则目标函数z=x＋2y的取值范围是 （ ）

x y 2,

A.［2，6］ B.［2，5］ C.［3，6］ D.［3，5］

4.在△ABC中, 三顶点坐标为A (2,4), B (－1,2), C (1,0), 点P (x,y)在△ABC内部及边界运动, 则z=x－y的最大、最小值分别是 （ ）

A.3，1 B.－1，－3 C.1，－3 D.3，－1

5．给出一平面区域（如图所示），若使目标函数z=ax+y（a>0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为 （ ）

第5题图

A．

135 B． C． 4 D． 534

练习题。

6．已知 1≤x +y ≤5，-1≤x -y≤3，求2x –3y的取值范围．

7.某工厂计划用甲、乙两台机器生产A、B两种产品，每种产品都要依次进行甲、乙机器的加工，已知生产一件A产品在甲、乙机器上加工的时间分别为2 h和3 h，生产一件B产品在甲、乙机器上加工的时间分别为4 h和2 h，甲、乙机器每周可分别工作180 h和150 h，若每件A产品的利润是40元，每件B产品的利润是60元，问此工厂应如何安排生产才能获得最大的利润（即如何确定一周内每种产品生产的数量）?

8.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？

练习题。

参考答案

1．解析：本题考查线性规划问题中的有关概念．即变量x，y的一次不等式组称为问题的线性约束条件，研究最值的函数解析式称为线性目标函数．

答案：线性约束条件 线性目标函数

2．解析：把z=4x+y变形为y=-4x+z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵

截距，故选B

答案：B

3．解析：本题考查线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，平移直线 x＋2y=0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，

然后计算可得答案．

答案：A

4．解析：本题考查线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，即一个封

闭的三角形区域（含边界），再平移直线x-y=0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答案．

答案：C

5．解析：由于条件中最优解有无穷多个，所以直线y=-ax+z应与直线AC平行，又因为 kAC22 2335 a，所以a=，故选B 51 55

答案：B

6．解析：该问题是已知不等关系求范围的问题，若用不等式的性质求解，容易使未知数的

范围扩大，导致结果错误．若把1≤x +y ≤5，-1≤x -y≤3，看作是变量x，y的线性约束条件，把求2x –3y的取值范围看作是求目标函数 z =2x –3y范围，就成了一个线性规划问题了．因此可按照解决线性规划问题的方法进行．

画出二元一次不等式组 1 x y 5 所表示的平面区域（如图所示），即可行域．

1 x y 3

第6题图

画出直线2x –3y=0，并平移使之经过可行域，观察图形可知，当直线经过点A时， 直线的纵截距最大，此时z最小．

练习题。

解方程组 x y 1 得A（2，3），所以zmin=2×2-3×3=-5．

x y 5

x y 3 得B（2，-1），所以zmax=2×2-3×（-1）=7． x y 1 当直线经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最大． 解方程组

所以2x –3y的取值范围是[-5，7]．

答案：2x –3y的取值范围是[-5，7]．

7.解析：设A、B两种产品一周的产量分别为x件、y件，总利润为S，则

2x 4y 180, 3x 2y 150,作出可行域(图略).

x 0,y 0,

目标函数为S=40x＋60y,

作直线l:40x＋60y=0,把l向右上方移至过2x＋4y=180与3x＋2y=150交点M(30,30)时, l与原点的距离最大. 此时S=40x＋60y取得最大值为3000.

因此每周生产A、B产品均为30件时，工厂可获得最大利润为3000元.

答案：每周生产A、B产品均为30件时，工厂可获得最大利润为3000元.

8.解析：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，

10x 4y 300, 5x 4y 200, 那么 4x 9y 360,

x 0, y 0.

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.（图略）

作直线l：600x＋1000y=0，即直线l:3x＋5y=0.

把直线l向右上方平移至11的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋1000y取得最大值.

5x 4y 200,解方程组 4x 9y 360.

得M的坐标为x=3601000≈12.4，y=≈34.4. 2929

所以应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.

答案：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.

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