西安交通大学复变函数习题

复变函数测验题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题 1?i1?i1．当z?时，z100?z75?z50的值等于（ ）

（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?612，那么z?（ ）

（A）?1?3i （B）?3?i （C）??32i （D）?32?12i

3．复数z?tan??i(?2????)的三角表示式是（ ）

（A）sec?[cos(?2??)?isin(?2??)] （B）sec?[cos(3?2??)?isin(3?2??)]

（C）?sec?[cos(3?2??)?isin(3?2??)]（D）?sec?[cos(?2??)?isin(?2??)]

4．若z为非零复数，则z2?z2与2zz的关系是（ ） （A）z2?z2?2zz （B）z2?z2?2zz （C）z2?z2?2zz （D）不能比较大小

z1?x?５．设x,y为实数，

11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，则动点(x,y)的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转

?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

1?3i，则原向量对应的复数是（ ）

（A）2 （B）1?

3i （C）3?i （D）3?i

1

复变函数测验题

７．使得z?z成立的复数z是（ ）

（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数 ８．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是（ ）

3434343422（A）??i （B）?i （C）?i （D）??i

９．满足不等式

z?iz?i?2的所有点z构成的集合是（ ）

（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域 10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（ ）

（A）中心为2?3i，半径为2的圆周 （B）中心为?2?3i，半径为２的圆周 （C）中心为?2?3i，半径为2的圆周 （D）中心为2?3i，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A）

z?1z?2z?a1?az?2 （B）z?3?z?3?4

（C）?1(a?1) （D）zz?az?az?aa?c?0(c?0)

12．设f(z)?1?z,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2)?（ ） （A）?4?4i （B）4?4i （C）4?4i （D）?4?4i 13．limIm(z)?Im(z0)z?z0（ ）

x?x0（A）等于i （B）等于?i （C）等于0 （D）不存在

14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （A）u(x,y)在(x0,y0)处连续 （B）v(x,y)在(x0,y0)处连续

（C）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（D）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续

2

复变函数测验题

15．设z?C且z?1，则函数f(z)?z?z?1z2的最小值为（ ）

（A）?3 （B）?2 （C）?1 （D）1

二、填空题

1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)(3?i)(2?i)，则z?

2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?

3?4223．设z?5,arg(z?i)?，则z? 4．复数

(cos5??isin5?)(cos3??isin3?)6的指数表示式为

5．以方程z?7?15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为

６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线 的内部

2z?1?i2?(1?i)z７．方程?1所表示曲线的直角坐标方程为

８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线

９．对于映射??

2iz

，圆周x?(y?1)?1的像曲线为

42210．lim(1?z?2z)?

z?1?i三、若复数z满足zz?(1?2i)z?(1?2i)z?3?0，试求z?2的取值范围．

2四、设a?0，在复数集C中解方程z?2z?a.

3

复变函数测验题

五、设复数z??i，试证

z1?z1z2是实数的充要条件为z?1或IM(z)?0.

六、对于映射??12(z?)，求出圆周z?4的像.

七、试证１.

z1z2z1z2?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2；

２.

?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为

z1?z2???zn?z1?z2???zn.

12八、若limf(z)?A?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x0A.

九、设z?x?iy，试证

x?y2?z?x?y.

十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,?1.f(z)??x2?y2?0,??x3y?,2.f(z)??x2?y2?0,?z?0z?0

z?0z?0.

4

复变函数测验题

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数f(z)?3z2在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y2?x2?2x) （D）x3?iy3

z?05．函数f(z)?z2Im(z)在

处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在

6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常 数a?( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2

7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )

（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是

5

复变函数测验题

二、填空题

1．设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则?2zdz?

c2．设c为正向圆周z?4?1，则??z?3z?2c2(z?4)2dz?

sin(3．设f(z)????22??z?)d?,其中z?2，则f?(3)?

4．设c为正向圆周z?3，则?cz?zzezdz? 5．设c为负向圆周z?4，则?c(z??i)5dz?

6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有?f(z)dz?0，那

c么f(z)在B内

8．调和函数?(x,y)?xy的共轭调和函数为

329．若函数u(x,y)?x?axy为某一解析函数的虚部，则常数a? 10．设u(x,y)的共轭调和函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调和函数为 三、计算积分 1.

?z?R6z(z?1)(z?2)dzz?2z?2422dz,其中R?0,R?1且R?2;

2.

?z?2．

四、设f(z)在单连通域B内解析，且满足1?f(z)?1１．在B内处处有f(z)?0；

11

(x?B).试证

复变函数测验题

２．对于B内任意一条闭曲线c，都有?cf??(z)f(z)dz?0

(0?r?R)，

五、设f(z)在圆域z?a?R内解析，若maxf(z)?M(r)z?a?r则f(n)(a)?n!M(r)rezn(n?1,2,?).

六、求积分

?z?1zdz，从而证明?e0?cos?cos(sin?)d???.

七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限

f(z)(z?a)(z?b)R???lim?z?Rdz并由此推证f(a)?f(b)（刘维尔Liouville定理）.

八、设f(z)在z?R(R?1)内解析，且f(0)?1,f?(0)?2，试计算积分

?z?1(z?1)2f(z)z2dz并由此得出?2?0cos2?2f(ei?)d?之值.

九、设f(z)?u?iv是z的解析函数，证明

?ln(1?f(z))?x222??ln(1?f(z))?y2222?4f?(z)22(1?f(z))2.

十、若u?u(x?y)，试求解析函数f(z)?u?iv.

12

2复变函数测验题

第四章 级 数

一、选择题： 1．设an?(?1)?nin?4n(n?1,2,?)，则liman( )

n??（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?（A）?(n?11?3i2?) （B）?n(3?4i)n!n

n?1?（C） ?n?1in?n （D）?n?1(?1)?in?1n

3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?（A）

?n?11n(1?in?) （B）?[n?1?(?1)nn?i2n]

?(C)?n?2inlnn? （D）?n?1(?1)i2nnn

4．若幂级数?cnzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

n?0（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定

???5．设幂级数

?n?0cnz,n?n?0ncnzn?1和

?n?0cnn?1zn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则

R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3

?6．设0?q?1，则幂级数?qnzn的收敛半径R?( )

n?02 13

复变函数测验题

（A）q （B）

1q （C）0 （D）??

?sinn?2nzn()的收敛半径R?( ) 27．幂级数?n?1（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??

?8．幂级数?n?0(?1)nn?1zn?1在z?1内的和函数为

（A）ln(1?z) （B）ln(1?z)

11?z11?z?n（D）ln (D) ln

9．设函数

ez?cosz的泰勒展开式为?cnz，那么幂级数?cnzn的收敛半径R?( )

n?0n?0（A）?? （B）1 （C）

?2 （D）?

10．级数

1z2?1z?1?z?z??的收敛域是( )

2（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的

1z?11．函数

2在z??1处的泰勒展开式为( )

?nn?1（A）?(?1)n(z?1)n?1?(z?1?1) （B）?(?1)n?1?n?1n(z?1)n?1(z?1?1)

（C）??n(z?1)n?1n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1(z?1?1)

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复变函数测验题

12．函数sinz，在z??n?2处的泰勒展开式为( )

（A）?n?0?(?1)(2n?1)!(?1)n(z??2)2n?1(z??2???)

（B）?n?0?(2n)!(?1)(z??2)2n(z??2???)

n?1（C）?n?0?(2n?1)!(?1)n?1(z??2)2n?1(z??2???)

（D）?n?0(2n)!(z??2)2n(z??2???)

?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

f(z)(z?z0)2?cn???nn(z?z0)，c为H内

绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么?cdz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0) ?3n?(?1)n,14．若cn??n4,?n?0,1,2,?n??1,?2,??，则双边幂级数

?cn???nzn的收敛域为( )

（A）

1414?z?13 （B）3?z?4

（C）?z??? （D）

13?z???

15．设函数f(z)?m?( )

1z(z?1)(z?4)在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题

15

复变函数测验题

?1．若幂级数

?cn?0n(z?i)n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性

为 ．

?n?2．设幂级数?cnz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关

n?0n?0系是 ．

?3．幂级数?(2i)nz2n?1的收敛半径R?

n?04．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么

?当z?z0?d时，f(z)??cn?0nn(z?z0)成立，其中cn? ．

5．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ．

??n6．设幂级数

?cn?0zn的收敛半径为R，那么幂级数

?(2n?0n?1)cnzn的收敛半径

为 ．

?7．双边幂级数?(?1)n?1n1(z?2)2???n?1(?1)(1?nz2)的收敛域为 ．

n1z8．函数e?ez在0?z???内洛朗展开式为 ．

?9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? ． 10．函数

1z(z?i)?cn???nzn，那么该洛朗级数

在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．

三、若函数

11?z?z2在z?0处的泰勒展开式为?anzn，则称?an?为菲波那契(Fibonacci)数

n?0?列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式．

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复变函数测验题

四、试证明 1．ez?1?ez?1?zez(z???);

(z?1);

n2．(3?e)z?ez?1?(e?1)z五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn?12?i?k?0f(k)(0)k!zk试证

1．Sn(z)????rf(?)?n?1?zn?1d???zf(?)?n?1(z?r?R).

2．f(z）?Sn(z)?zn?12?i???r?n?1(??z)?d?(z?r?R)。

?2n六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n?1n22n之值.

n?1??n七、设f(z)???an?0zn(z?R1),g(z)??bn?0nzn(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在

z?rR2内?anbnzn?0n?12?i???rzd?f(?)g()。

??2n八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z???anz??

试证当0?r?R时

12??2?0f(rei?)d??2??n?0an2r2n.

九、将函数

ln(2?z)z(z?1)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.

十、试证在0?z???内下列展开式成立：

z?1z?e?c0??n?1cn(z?n1zn)其中cn?1???0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).

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