解答题训练 寒假作业

解答题训练1安徽

解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内。 （16）（本小题满分12分）

△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（1）求AB?AC

（2）若c-b=1，求a的值．

（17）（本小题满分12分）

椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e?（1）求椭圆E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．

121213．

．

18、（本小题满分13分）

某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：

61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，,86，85，75，71，49，45， （Ⅰ）完成频率分布表； （Ⅱ）作出频率分布直方图；

（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．

1

（19）（本小题满分13分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，

（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB； （Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB； （Ⅲ）求四面体B—DEF的体积； （20）（本小题满分12分）

设函数f（x）=sinx-cosx+x+1，(0?x?2?)，求函数f（x）的单调区间与极值． （21）（本小题满分13分）2

设c1，c2．．．,cn是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直

33线y=

x相切，对每一个正整数n，圆cn都与圆cn?1相互外切，以rn表示cn的半径，已

知?rn?为递增数列．

（Ⅰ）证明：?rn?为等比数列；

?n?（Ⅱ）设r1?1=1，求数列??的前n项和．

?rn?

2

解答题2北京

解答：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数f(x)?2cos2x?sin2x ?（Ⅰ）求f()的值；

3（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值 （16）（本小题共13分）

已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等比数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式

（17）（本小题共13分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=

2,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;

3

（18）（本小题共14分） 设定函数f(x)?a3 x?bx?cx?d(a?0)，且方程f(x)?9x?0的两个根分别为1，4。

32'（Ⅰ）当a=3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围。

（19）（本小题共14分）

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(?2,0)，(2,0)，离心率是椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。

4

63，直线y?t与

解答题训练3-福建

解答题 ：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分 ）

?1?数列{an} 中a＝，前n项和Sn满足Sn?1-Sn＝??3?3?1n?1 （n?N*）．

（I）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；

（II）若S1，t （ S1+S2 ），3（ S2+S3 ） 成等差数列，求实数t的值。

18．（本小题满分12分）

设平顶向量am＝ （m，1），bn= （2，n），其中m，n ?{1，2，3，4}． （I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；

（II）记“使得am?（am-bn）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率。

19．（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2?2px(p?0)过点A（1，-2）。 （I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1

不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。

55？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由。

5

（I）证明：AD//平面EFGH；

（II）设AB=2AA1=2a

。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

21．（本小题满分12分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； （Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分14分） 已知函数f（x）=

13x?x?ax?b的图像在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2

32（Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）设g（x）=f（x）+

mx?1是[2,??]上的增函数。

（i）求实数m的最大值；

（ii）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

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解答题训练4广东A

解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分14分）已知函数f(x)?Asin(3x??)(A?0,x?(??,??),0????在

x??1223时取得最大值4． (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)的解析式；(3) 若?12f(α +)=

125,求sinα．

17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495?，（495,500?，……（510,515?，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 18.（本小题满分14分）

ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为?AC的中点，点B和点C为线段如图5，?AD的三等分点．平面AEC外一点F满足FB?DF?图5

5a，FE=6a ．

（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ?正弦值．

7

23FE,FR?23FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

20．（本小题满分为14分） 一条双曲线

x22?y?1的左、右顶点分别

2为A1,A2，点P(x1,y1)，Q(x1,?y1)是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2 ,求h的值。

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解答题训练5广东文科

解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

20至40岁 大于40岁 总计 文艺节目 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100 （1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?

（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?

（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2). （1）求f(?1)，f(2.5)的值；

（2）写出f(x)在??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性； （3）求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

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21．（本小题满分14分）

已知曲线Cn：y?nx2，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点(n?1,2…). （1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标； （2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标

(xn,yn)；

（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标，

s证明：?n?1(m?1)xn2?(k?1)yn?ms?ks(s?1,2,…)

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解答题训练6海南

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

设等差数列?

n?满足a3?5，a10??9。 （Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。 18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC?BD,垂足为H，PH是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC? 平面PBD; （Ⅱ）若AB?6,?APB??ADB?60°,求四棱锥P?ABCD的体积。

20．（本小题满分12分）

2设F1,F2分别是椭圆E：x+

yb22=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交

于A、B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列。 （Ⅰ）求AB

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。

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21．本小题满分12分） 设函数f?x??x?ex?1??ax2 （Ⅰ）若a=

12，求f?x?的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f?x?≥0，求a的取值范围

21．理科（本小题满分12分）

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线C1：?（Ⅰ）当a=

?3设函数f(x)=ex?1?x?ax2. （Ⅰ）若a?0，求f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

?x?1?tcosa?y?tsina（t为参数）。圆C2：??x?cos??y?sin?（?为参数）

时，求C1与C2的交点坐标：

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

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解答题训练8湖北

解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分12分）

已知函数f(x)?cosx?sinx222，g(x)?12sin2x?14。

（Ⅰ）函数f(x)的图像可由函数g(x)的图像经过怎样的变化得到？

（Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合。

17（本小题满分12分）

为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）。

（1）在答题卡上的表格中填写相应的频率；

[来源学§科§网Z§X§X§K]

（2）估计数据落在［1.15，1.30 ）中的概率为多少； （3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带

有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中的鱼的总条数。

18．（本小题满分12分）

如图。在四面体ABOC中，OC ?OA,OC? OB, ?AOB=1200,且OA=OB=OC=1.

(Ⅰ)设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ.

证明: PQ? OA;

(Ⅱ)球二面角?O-AC-B的平面角的余弦值。

13

19. (本小题满分12分)

已知某地今年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m）的旧住房.

（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；

(Ⅱ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年 拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）

20.（本小题满分13分）

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1,。 （1） 求曲线的C方程：

（2） 是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个焦点A、B的任一直线，都有

????????FA?FB<0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

2

21.（本小题满分14分） 设函数f(x)?程为y?1。 1确定b,c的值

2设曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点（0,2）.证明：当x1?x2时，

f?(x1)?f?(x2)；

13x?2a2x?bx?c,其中a?0..曲线y?f(x)在点p(0,f(0))处的切线方

23若过点（0,2）可作曲线y?f(x)的三条不同切线，求a的取值范围.

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解答题训练9湖南

解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?sin2x?2sin2x （I）求函数f(x)的最小正周期。

（II） 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。 17．（本小题满分12分）

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

高效 A B C （I）求x，y；

（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。 18．（本小题满分12分）

如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1 19．（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B

两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（下图）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域。

（I）求考察区域边界曲线的方程：

（II）如图所示，设线段P1P2 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前

15

相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y 一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

20．（本小题满分13分） 给出下面的数表序列：

其中表n（n=1,2,3 ?）有n行，第1行的n个数是1,3,5，?2n-1

，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；

（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12?，记此数列为

?bn? 求和：

b3b1b2?b4b2b3??bn?2bnbn?1 （n?N）

*21．（本小题满分13分） 已知函数f(x)?ax?x?(a?1)lnx?15a,其中a<0,且a≠-1.

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

?(?2x3?3ax2?6ax?4a2?6a)ex,x?1（Ⅱ）设函数g(x)??（e是自然数

?e?f(x),x?1的底数）。是否存在a，使g(x)在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由

16

解答题训练10江西

解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

设函数f?x??6x?3?a?2?x?2ax．

32（1）若f?x?的两个极值点为x1，x2，且x1x2?1，求实数a的值；

（2）是否存在实数a，使得f?x?是???,???上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分12分）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止． ．．．（1）求走出迷宫时恰好用了l小时的概率； （2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率． 19．（本小题满分12分）

已知函数f?x???1?cotx?sin2x?2sin?x????????sinx????． 4?4??（1）若tan??2，求f???；

??（2）若x????122?,??，求f?x?的取值范围．

20．（本小题满分12分）

如图，?BCD与?MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23．

（1）求直线AM与平面BCD所成角的大小； （2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

17

21．（本小题满分12分）

如图，已知抛物线C1：x?by?b经过椭圆C2：（1）求椭圆C2的离心率；

（2）设点Q?3,b?，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若?QMN的重心在抛22xa22?yb22 ?1?a＞b＞0?的两个焦点．

物线C1上，求C1和C2的方程．

22．（本小题满分14分）

正实数数列?an?中，a1?1，a2?5，且?a2n?成等差数列． （1）证明数列?an?中有无穷多项为无理数；

（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．

18

解答题训练11辽宁

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC. （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状. （18）（本小题满分12分）

为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这

200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）

表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积 频数 [60，65） 30 [65，70） 40 [70，75） 20 [75，80） 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积 频数

[60，65） 10 [65，70） 25 [70，75） 20 [75，80） 30 [80，85） 15 （Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. （Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1;

（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.

19

（20）（本小题满分12分）

设F1，F2分别为椭圆C:

xa22?yb22=1（a>b>0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C

相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为23.

（21）（本小题满分12分）

（23）（本小题满分10分）选修4-4;坐标系与参数方程

已知P为半圆C：??x?cos??y?sin?（Ⅰ）求椭圆C的焦距；

（Ⅱ）如果AF2?2F2B，求椭圆C的方程.

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1. （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1,x2?（0,+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|.

（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1,0）,O

?为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为

π3.

（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标： （Ⅱ）求直线AM的参数方程.

20

解答题训练12全国卷Ⅰ

解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．

记等差数列?an?的前n的和为Sn，设S3?12，且2a1,a2,a3?1成等比数列，求Sn. （18）（本小题满分

12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．

已知?ABC的内角A，B及其对边a，b满足a?b?acotA?bcotB，求内角C．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC。

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小。

21

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知函数f(x)?3ax4?2(3a?1)x2?2(3a?1)x2?4x （I）当a?16时，求f(x)的极值;

（II）若f(x)在??1,1?上是增函数，求a的取值范围

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FA?FB?

22

89，求?BDK的内切圆M的方程.

解答题训练13全国卷Ⅱ

解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

三角形ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=

18）（本小题满分12分）

已知{an}是各项均为正数的等比例数列，且

a1?a2?2(1a1?1a2),a3?a4?a5?64(1a3?1a4?1a5) 513,cos?ADC?35.求AD.

（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?(an?1an)，求数列{bn}的前N项和Tn。

2 （19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1。

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）DE为异面直线AB1与CD的夹角为45,求二面角A1-AC1-B1的大小。

o

23

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立。已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。

（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x3?3ax2?3x?1. （1）设a?2，求f(x)的单调区间；

（2）设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围

（22）（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l与双曲线C:xa22?yb22?1(a?0,b?0)相交于B、D两点，且BD的

中点为M（1,3） （Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF?BF?17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

24

解答题训练14山东卷

解答题：本大题共6小题，共74分. (17)（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin(???x)cos?x?cos2?x（??0）的最小正周期为?， （Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）将函数y?f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的

??12，纵坐标不变，得到

函数y?g(x)的图像，求函数y?g(x)在区间?0,

（18）（本小题满分12分）

上的最小值. ?16??? 已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26.?an?的前n项和为Sn. （Ⅰ）求an 及Sn；（Ⅱ）令bn?

（19）（本小题满分12分）

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n?m?2的概率.

[来源:学+科+网Z+X+X+K]1an?12（n?N?）,求数列?bn?的前n项和Tn.

25

（21）（本小题满分12分）

（22）（本小题满分14分）

如图，已知椭圆

xa22已知函数f(x)?lnx?ax?1?ax?1(a?R)

（I）当a??1时，求曲线y?f(x

)在点(2,f(2))处的切线方程； （II）当a?12时，讨论f(x)的单调性.

?yb2222?1 (a?b?0)过点.

(1,22)，离心率为

，左、右焦点分别为F1、

F2.点P为直线l:x?y?2上且不在x轴上的任意

一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B 和C、D，O为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程；

[来源:学|科|网Z|X|X|K]（II）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2.

（i）证明：

1k1?3k2?2；

OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、（ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、

kOC、kOD满足kOA?kOB?kOC?kOD?0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若

不存在，说明理由.

26

解答题训练15

解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 已知函数f?x??（

π612sin2xsin??cosxcos??21???sin?????0＜?＜?2?2??，其图象过点

,

12）．（Ⅰ）求?的值；

12（Ⅱ）将函数y?f?x?的图象上各点的横坐标缩短到原来的

y?g(x)的图象，求函数g?x?在[0,

π4，纵坐标不变，得到函数

]上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26．?an?的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=19．（本小题满分12分）

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，

?ABC=45°，AB=22，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

1an?12（n?N*），求数列?bn?的前n项和Tn．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积． 20．（本小题满分12分）

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，

规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用?表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求?的分布列和数学的E?.

27

3111,,,，423421．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆

x2a2?y2b2?1(a＞b＞0)的离心率为

22，

以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(2?1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2?1；

（Ⅲ）是否存在常数?，使得AB?CD??AB·CD恒成立？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx?ax?（Ⅰ）当a?121?ax?1(a?R).

时，讨论f(x)的单调性；

142（Ⅱ）设g(x)?x?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使

f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围.

28

解答题训练17四川

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮

61料。

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

（18）（本小题满分12分）

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线； （Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；

（19）（本小题满分12分）

A?D?C?B?M?A?ODBC1证明两角和的余弦公式C???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?； （Ⅰ）○

2由C???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?. ○

（Ⅱ）已知cos???

45,??(?,32?),tan???13,??(?2,?),，求cos(???)

[来源:Z&xx&k.Com]

（20）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

n?1*（Ⅱ）设bn?(4?an)q(q?0,n?N)，求数列{bn}的前n项和Sn

[来源学科网]

29

（21）（本小题满分12分）

已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它

21到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

（22）（本小题满分14分） x设f(x)?1?a1?ax（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数.

（Ⅰ）求g(x)；

（Ⅱ）当x?[2,6]时，恒有g(x)?logta成立，求t的取值范围；

(x2?1)(7?x)（Ⅲ）当0＜a≤1

2时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n?4的大小，并说明理由.

30

解答题训练18天津

解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，

ACAB?cosBcosC。

13（Ⅰ）证明B?C：（Ⅱ）若cosA=?18．（本小题满分12分）

，求sin?4B??????的值。

3?有编号为

A1,A2，?，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 编号 直径 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 1．51 1．49 1．49 1．51 1．49 1．51 1．47 1．46 1．53 1．47 其中直径在区间［1．48，1．52］内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个。

（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ii）求这2个零件直径相等的概率。 19．（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥

AD，CD=1， AD?22，∠BAD=∠CDA=45°。

（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD⊥平面ABF； （Ⅲ）求二面角B?EF?A的正切值。

31

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax3?32x?1(x?R),其中a＞0。

2（Ⅰ）若a=1，求曲线y?f?x?在点（2，f?2?）处的切线方程；

??11?,?上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围。 22?（Ⅱ）若在区间??

21．（本小题满分14分） 已知椭圆4。

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（-a,0）．

425x2a2?y2b2?1（a>b>0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为

（i）若AB?，求直线l的倾斜角；

（ii）若点Q（0, y0）在线段AB的垂直平分线上，且QA?QB?4，求y0的值。

22．（本小题满分14分） 在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为2k。

（Ⅰ）证明a4a5a6成等比数列； （Ⅱ）求数列?an（Ⅲ）记Tn?

32

?的通项公式；

?3222a2a3???+

n2an，证明

32?2n?Tn?2(n?2)

解答题训练19浙江

解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （18）（本题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝

34（a＋b－c）.

222

（Ⅰ）求角C的大小; （Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值.

（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，z差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

（Ⅰ）若S5＝S.求S6及a1; （Ⅱ）求d的取值范围.

（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点.

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE;

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.

33

（21）（本题满分15分）已知函数f(x)?(x?a)2（x-b）(a,b?R,a

（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程; （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2. 证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.

（22）（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：x－my－

m22＝0上.

（Ⅰ）若m＝2，求抛物线C的方程;

（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

34

解答题训练20重庆卷

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知?an?是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为?an?的前n项和. （Ⅰ）求通项an及Sn；

（Ⅱ）设?bn?an?是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的通项公式及其前n项和Tn.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，??，6），求：

（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；

（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)

设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c2-3a2=42bc . (Ⅰ) 求sinA的值；

2sin(A?[来源:学科网ZXXK][来源:Z*xx*k.Com]?(Ⅱ)求

41?cos2A)sin(B?C??4)的值.

(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

已知函数f(x)?ax?x?bx(其中常数a,b∈R),g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数. (Ⅰ)求f(x)的表达式;

(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

35

32（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

如题（20）图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，PA?AB?2，点E是棱PB的中点.

（Ⅰ）证明：AE?平面PBC；

（Ⅱ）若AD?1，求二面角B?EC?D的平面角的余弦值.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线

52C的离心率e?. （Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点M(x1,y1)的直线l1：

x1x?4y1y?4与过点N(x2,y2)（其中x2?x1）的直线l2：x2x?4y2y?4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲

????????线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OG?OH的值.

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（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线

52C的离心率e?. （Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点M(x1,y1)的直线l1：

x1x?4y1y?4与过点N(x2,y2)（其中x2?x1）的直线l2：x2x?4y2y?4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲

????????线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OG?OH的值.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nbwg.html