2015年杨浦区中考数学二模试卷及答案

杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研 数 学 试 卷 2015.4

(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、 选择题（本大题每小题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果x=2是方程

1x?a??1的根，那么a的值是 （ ▲ ） 2（A）0； （B）2； （C）-2； （D）-6． 2．在同一直角坐标系中，若正比例函数y?k1x的图像与反比例函数y?k2的图像没有公 x共点，则 （ ▲ ） （A）k1k2＜0； （B）k1k2＞0； （C）k1+k2＜0； （D）k1+k2＞0． 3．某篮球队12名队员的年龄如下表所示： 年龄（岁） 人数 18 5 19 4 20 1 21 2 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是 （ ▲ ） （A）2, 19； （B）18, 19； （C）2, 19.5； （D）18, 19.5． 4．下列命题中，真命题是 （ ▲ ） （A）周长相等的锐角三角形都全等； （B）周长相等的直角三角形都全等； （C）周长相等的钝角三角形都全等； （D）周长相等的等腰直角三角形都全等． 5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ▲ ）

（A）； （B）； （C）； （D）.

6．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是 （ ▲ ）

（A） ①④； （B）②③； （C）①②④； （D）①③④．

初三数学基础考试卷—1—

二、 填空题（本大题每小题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．分解因式：xy2?4x= ▲ . 8．不等式5?x?x的解集是 ▲ . 9．方程x?6?x的解为 ▲ .

10．如果关于x的方程mx2?3有两个实数根，那么m的取值范围是 ▲ . 11．如果将抛物线y?x2?4平移到抛物线y?x2?4x的位置，那么平移的方向和距离分别是 ▲ .

12．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 ▲ .

13．如图，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，M为AC中点，AD与BM交于点G，那么S?GDM:S?GAB的值为 ▲ .

????14．如图，在?ABC中，记AB?a,AC?b，点P为BC边的中点，则AP= ▲ （用向量a、b来表示）.

15．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90?，BC=4cm，AC=3cm，⊙O是以BC为直径的圆，如果

⊙O与⊙A相内切，那么⊙A的半径长为 ▲ cm. B

G D

C

B

P

（第14题图）

A

A

M

B

O C

（第15题图）

C

A

（第13题图）

16．本市某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了解本校师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ▲ .

学生出行方式扇形统计图

初三数学基础考试卷—2—

17．对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P＇的坐标为（a?b，ka?b）（其中

kk为常数，且k?0），则称点P＇为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生

4点”为P＇（1+，2?1+4），即P＇（3，6）．若点P的“k属派生点”P?的坐标为（3，

23），请写出一个符合条件的点P的坐标： ▲ .

3，BC=4，将三角形绕着点 4，，

A旋转，点C落在直线AB上的点C处，点B落在点B处，若C、

18．如图，钝角△ABC中，tan∠BAC=

B、B恰好在一直线上，则AB的长为 ▲ .

，

（第18题图）

三、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．(本题满分10分) 计算：(2?1)?75?2cos30??()+

20．(本题满分10分) 解方程组：?

21. (本题满分10分)

如图，在一笔直的海岸线?上有A、B两个观察站，A在B的正东方向，A与B相距2千米。有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60?的方向，从B测得小船在北偏东45?的方向。

北 （1）求点P到海岸线?的距离；

C 东 （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间

后到达点C处，此时，从B点测得小船在北偏西15?

P 的方向。求点C与点B之间的距离。 （注：答案均保留根号）

22．(本题满分10分)

现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务，已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调. 求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.

初三数学基础考试卷—3—

012?13?1．

?xy?3?x?2xy?y?4?0.22

?

B

（第21题图）

A

23．(本题满分12分) 已知：如图，Rt△ABC和 Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE =90?，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H。

E （1）求证：MB=MD；

（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形。

M

H A

G

D B C

（第23题图）

24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线

y?1(x?m)2?n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C。 2y

（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；

（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称 轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。

O

（第24题图）

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题 4分） 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan?ABC?x

3，点O是AB边上动点，以O为圆 4心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE。

（1） 当AE//BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；

（2） 设BO=x，AE=y，求y关于 x的函数关系式，并写出定义域；

（3） 若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长。

E A A A E O

O

C B B C B D C D

图（1）

备用图

（第25题图） 初三数学基础考试卷—4—

备用图

杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研 数学试卷答案及评分标准 2015.4

四、

选择题（本大题每小题4分，满分24分）

1．C ；2． A；3． B；4． D；5． A；6． C 五、

填空题（本大题每小题4分，满分48分）

511；9． x=3；10． m?0；11．右，2；12． ；13． 26461?1?10 14． a+b；15． 13+2；16． 15；17．（1,2）等；18． 5227． x(y+2）；8． x?(y-2）六、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．解：原式=1?53?2?3?2+3?1---------------------------------------------------(8分) 2 =2-33-----------------------------------------------------------------------------------(2分) 20．解：由(2)变形得（x?y)?4-----------------------------------------------(2分) 由此,得:x-y?2或x-y??2-------------------------------------------------------(2分) ∴原方程组转化为?2?xy?3?xy?3或?---------------------------------------(2分)

?x-y=2.?x-y=-2.?x1=3?x2=-1?x3=1?x4=-3解得：?-----------------------------------------(4分) ,?,?,?y=1y=-3y=3y=-1?1?2?4?3?x1=3?x2=-1?x3=1?x4=-3原方程组的解为? ,?,?,?y=1y=-3y=3y=-1?1?2?4?321.解：（1）作PD⊥AB于点D，设PD=x，

由题意可知∠PBA=45?，∠PAB=30?，-------------------------------------------------------（1分） ∴BD=x，AD=3x，--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AB=2，∴x?3x?2,--------------------------------------------------------------------------（1分）

2?3?1,------------------------------------------------------------------------------（1分） 3?1∴点P到直线AB的距离是3?1千米。--------------------------------------------------------（1分） （2）过点B作BF⊥AC于点F，由题意得∠PBC=60?，∠CPB=30?+45?=75?，---（1分） ∴∠C=45?，--------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 在Rt△ABF中，∠PAB=30?，AB=2，∴BF=1，------------------------------------------------（1分）

∴x?∴BC=2-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴点B与点C之间的距离为2千米。-----------------------------------------------------------（1分）

初三数学基础考试卷—5—

22．解：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装(x+2)台空调，-------（1分） 根据题意得：

8066??1，----------------------------------------------------------------------（3分） xx?22整理得：x?12x?160?0，-----------------------------------------------------------------------（1分） 解方程得： x1=20，x2??8 ， ------------------------------------------------------------------（2分） 经检验x1=20 是方程的解，并且符合实际. -----------------------------------------------------（1分） x+2=22 ， ---------------------------------------------------------------------------------------------（1分）

答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调. ---------------------（1分） 23． 证明：（1）方法一：取BD中点P，联结MP，------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC=∠CDE =90?，∴∠ABC+∠CDE =180?，∴AB//ED，-------------------------（1分） ∵点M为AE中点，点P为BD中点，∴MP//AB，-------------------------------------------（1分） ∴∠MPD=∠ABC=90?，即MP⊥BD，∴MP为线段BD的垂直平分线，--------------（1分） ∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC=∠CDE =90?，∴∠ABC+∠CDE =180?，∴AB//ED， ∴∠ABM=∠MTE， 又∵∠AMB=∠EMT，点M为AE中点，∴△AMB≌△EMT，---------------------------------（1分） ∴BM=TM，------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵∠CDE =90?，∴ED⊥BD，∴DM=

1BT，--------------------------------------------------（1分） 211BC=（BC+CD）， 22∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------（1分） （2）方法一：取BD中点P，联结MP，∴BP=∵AB//ED，点M为AE中点，∴MP =

1（AB+DE）， 2∵AB=BC，DC=DE，∴BP= MP，-----------------------------------------------------------------（2分） ∵MP⊥BD，∴∠MBP =45?，--------------------------------------------------------------------（1分） 又∵DC=DE，∠CDE =90?，∴∠ECD=45?，∴BM//CE 同理DM//AC，∴四边形MGCH为平行四边形，-----------------------------------------------（2分） ∵AB=BC，∠ABC=90?，∴∠ACB=45?，同理∠ECD=45?，∴∠ACE=90?，-----（1分） ∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------（1分）

方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，

∵△AMB≌△EMT，∴AB=ET，∵AB=BC，∴BC= TE，----------------------------------------（1分）

BCTE?，∴CE//BT-------------------------------------------------------------（1分） DCDE∴∠BMD+∠MHC=180?，

∵DC=DE，∴

∵BC= TE，DC=DE，∴BC+DC=TE+DE，即BD=TD，

∵BM=TM，∴DM⊥BT，即∠BMD=90?，----------------------------------------------------（2分） ∴∠MHC=90?，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）

又∵AB=BC，∠ABC=90?，∴∠ACB=45?，同理∠ECD=45?，∴∠ACE=90?，--（1分） ∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------（1分）

初三数学基础考试卷—6—

24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 解：（1）∵直线y=x+1与y轴交与点B，∴B（0,1）-----------------------------------(1分)

1y?(x?m)2?n的顶点D（m,n）, ∵D在直线y=x+1上，∴n=m+1，

2∴抛物线与y轴的交点C（0，∵点C与点B重合，∴

12m?m?1），-----------------------------------------(1分) 212m?m?1=1，解之得m1?0,m2??2， 2∵点C不是顶点，∴m??2，--------------------------------------------------------------(1分)

12∴抛物线的表达式是y?(x+2)?1。---------------------------------------------------(1分)

2（2）∵直线y=x+1与x轴交与点A，与y轴交与点B， ∴A（-1,0），B（0,1），∴∠ABO=45?，

∵CD⊥AB，∴∠CBD=∠BCD =45?，∴CD=BD，

作DH⊥BC于H，∴CH=BH，--------------------------------------------------------------(1分)

12m?m?1）∴H（0, m?1）， 212∴m?m?1?(m?1)?m?1?1，解得m1?0,m2?2， 2∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴m?2，--------------------------------------------(1分) ∴C（0, 5），D（2，3），∴CD=22，AD=32，

CD2?.-----------------------------------------------------(2分) ∵CD⊥AB，∴tan?CAD?AD3（3）∵A（-1,0），B（0,1），∴∠ABO=45?，∴∠ABC=135?， 又A（-1,0），D（2，3），∴∠ADP=45?，∵CD⊥AB，∴∠CDP=135?，∴∠CDP=∠ABC, ∵∠DCP=∠CAD，∴?ABC∽?CDP，--------------------------------------------------(2分)

∵D（m,m+1），C（0, ∴

BCDP4DP??，即，∴DP=8，-------------------------------------------------(1分) BADC222∴P（2，-5）-----------------------------------------------------------------------------------------(1分) 25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴BE=BD，∴∠EBA=∠DBA， ∵AE//BC，∴∠EAB=∠DBA，∴∠EAB=∠EBA，∴BE=AE，∴BD= AE， 又∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴AC//DE，∴AEDC为平行四边形， ∴AE= DC，∴BD=DC=5，---------------------------------------------------------------------------（2分） 作OH⊥BC于M，则BH=DH=

15325BD=，∵tan?ABC?，∴BO=，----------（2分） 2248即⊙O的半径长是

25。 8（2）联结AD，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴AB是DE的中垂线，∴AD=AE=y， 作OH⊥BC于H，则BH=DH，

初三数学基础考试卷—7—

在Rt△BOH中，∵BO=x，tan?ABC?348，∴BH=x，∴BD=x，-----------------（1分） 455作AM⊥BC于M，则得AM=

2432328?x，------------------------（1分），BM=，∴DM=

55552222在Rt△ADM中，AD?AM?DM，即y?(2423282)?(?x)，-----------------（1分） 555∴y=8225x?8x?25（0?x?）----------------------------------------------------（2分，1分） 54（3） 设DE、AB交于点P，则DP=EP， 方法一、情况1：D与C不重合

∵⊙A过点D、C，∴AD=AC，作AK⊥BC于K，则DK=CK=

18， 5∴BD=10-2×

18141434284=，∴DP=BD?sin∠ABC=?=，∴DE=。---------------（2分） 55552525情况2：D点与C点重合时，E、A、C三点共线，DE=2AC=12. ----------------（2分）

∴DE的长为12或

84。 253544，∴BD=x，BP=x，∴AP=8-x， 4333方法二、设DP=x，∵tan?ABC?联结EA，∵⊙A过点D、E、C，∴ AE=AC=6，

在Rt△AEP中，AE?EP?AP，整理得25x?192x?252?0，------------------（1分） 解得x1?6,x2?222242，----------------------------------------------------------------------------------（1分） 2584。------------------------------------------------（2分） 25经检验，都符合题意。∴DE的长为12或

初三数学基础考试卷—8—

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