2017 - 2018学年高中数学课时作业25二倍角的三角函数（二）北师

课时作业25 二倍角的三角函数(二)

|基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) α1．已知2sinα＝1＋cosα，则tan＝( ) 211A. B.或不存在 22C．2 D．2或不存在 解析：由2sinα＝1＋cosα， αα2α即4sincos＝2cos， 222αα当cos＝0时，则tan不存在， 22αα1当cos≠0时，则tan＝. 222答案：B 1?ππ?2．若sin2α＝，且α∈?，?，则cosα－sinα的值为( ) 4?42?A.33 B. 2433 D．－ 24?ππ?解析：因为α∈?，?， ?42?2所以cosα

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＝－1－?1?37?2?＝－8. ?8?2又cos2θ＝1－2sinθ， ?1?1－?－?1－cos2θ?8?92所以sinθ＝＝＝， 22163所以sinθ＝. 4答案：D α?2α??α2?π5．化简?sin＋cos?＋2sin?－?得( ) 22???42?π??A．2＋sinα B．2＋2sin?α－? 4??π??C．2 D．2＋2sin?α＋? 4??αα??πα???π?解析：原式＝1＋2sincos＋1－cos?2?－??＝2＋sinα－cos?－α?＝2＋22??42???2?sinα－sinα＝2. 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) θθ66．已知sin－cos＝，则cos2θ＝________. 223θθ6解析：因为sin－cos＝， 2232所以1－sinθ＝， 31即sinθ＝， 3272所以cos2θ＝1－2sinθ＝1－＝. 997答案： 9sinα＋cosα17．若＝，则tan2α等于________． sinα－cosα2sinα＋cosα1解析：由＝， sinα－cosα2得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα， 即tanα＝－3. 2tanα－663又tan2α＝＝＝＝. 21－tanα1－9843答案： 48．函数y＝解析：y＝32sin2x＋cosx的最小正周期为________． 2π?33cos2x＋1311?2sin2x＋cosx＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin?2x＋?6?222222?1＋，所以该函数的最小正周期为π. 2

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答案：π 三、解答题(每小题10分，共20分) sin??α＋π?9．化简：(1)?4??2cos2αα； 2＋2sin2cosα2－1(2)已知π<α<3π2，化简： 1＋sinα1－1＋cosα－1－cosα＋sinα1＋cosα＋1－cosα. sinαcosπ＋cosαsinπ解析：(1)原式＝44cosα＋sinα 2＝2α＋cosα＝2cosα＋sinα2. ??sinα＋cosα?2(2)原式＝?22?????sinα2－cosα2??2?2???cosα2??α＋，?－2???sin2???2???cosα2???＋2???sinα2???∵π<α<3ππα3π2，∴2<2<4. ∴cosα2<0，sinα2>0. ??sinα＋cosα??2??sinα－cosα??2∴原式＝?22?22?－2???sinα2＋cosα2?＋? ??2??αα?sin2－cos2???sinα＋cosαsinα－α＝－222＋2cos22 ＝－2cosα2. 10．求证：α＋βsinβsinα－2cos(α＋β)＝sinα. 证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ， 两边同除以sinα得α＋βsinβsinα－2cos(α＋β)＝sinα. 能力提升|(20分钟，40分) 11．已知sinα＋cosα＝12?π?3，则2cos??4－α??－1＝( ) 3

| A.89 B.1718 C．－829 D．－3 解析：∵sinα＋cosα＝1183，平方可得1＋sin2α＝9，可得sin2α＝－9. 2cos2??π?4－α???－1＝cos??π?2－2α??8?＝sin2α＝－9. 答案：C 2cos2θ－sinθ－12．已知sin2θ＝35，0<2θ<π212，则＝________. 2sin??π?θ＋4???2cos2θ－sinθ解析：2－12sin???θ＋π4? ????2cos2θ－1?－＝?2??sinθ2???sinθcosππ4＋cosθsin4? ??1－sinθ＝cosθ－sinθcosθ1－tanθsinθ＋cosθ＝sinθ＝. cosθ＋1tanθ＋1因为sin2θ＝35，0<2θ<π2， 3所以cos2θ＝4sin2θ515，所以tanθ＝1＋cos2θ＝＝， 1＋4351－1所以1－tanθ31tanθ＋1＝1＝， 3＋122cos2θ－sinθ－1即212sin??π?θ＋?＝2. 4??答案：12 13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(3cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单凋递减区间． 解析：f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1 ＝3sin2x＋cos2x ＝2sin??π?2x＋6???. 4

2π(1)T＝＝π. 2ππ3π(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ， 262π2π则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 63即函数f(x)的单调递减区间为 ?π＋kπ，2π＋kπ?(k∈Z)． ?6?3?? 14．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？ 解析：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且?π?θ∈?0，?. 2??∵A，D关于原点对称， ∴AD＝2OA＝40cosθ. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ ?π?＝400sin2θ.∵θ∈?0，?， 2??π2∴当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400 (m)． 4此时AO＝DO＝102 (m)． 2故当A、D距离圆心O为102 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m. 5

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