2010年高考数学计算题分类汇编 - 三角函数 - 图文
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2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
(2010上海文数)19.(本题满分12分) 已知0?x??2,化简:
x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?lg[2cos(x?)]?lg(1?sin2x).
22解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)?0.
(2010湖南文数)16. (本小题满分12分) 已知函数f(x)?sin2x?2sin2x (I)求函数f(x)的最小正周期。
(II) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。
2
(2010浙江理数)(18)(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C??1 4 (I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为cos2C=1-2sinC=?2
1,及0<C<π 4所以sinC=10. 4ac?,得 sinAsinC(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理c=4
1
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由cos2C=2cosC-1=?2
1,J及0<C<π得 4cosC=±6 42
2
2
由余弦定理c=a+b-2abcosC,得 b±6b-12=0 2
解得 b=6或26 所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4
(2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分)
?ABC中,D为边BC上的一点,BD?33,sinB?53,cos?ADC?,求AD. 135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的
应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】
由cos∠ADC=>0,知B<.
由已知得cosB=,sin∠ADC=.
从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得 ,所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
(2010陕西文数)17.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
2
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1AD2?DC2?AC2100?36?196??, cos?=
2?10?622AD?DC
??ADC=120°, ?ADB=60°
在△ABD中,AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°,
ABAD?由正弦定理得,
sin?ADBsinBAD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?10?2232?56.
?AB=
(2010辽宁文数)(17)(本小题满分12分)
在?ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,
且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC (Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若sinB?sinC?1,试判断?ABC的形状.
解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a2?(2b?c)b?(2c?b)c
即a?b?c?bc
由余弦定理得a?b?c?2bccosA 故cosA??2222221,A?120? 2222 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sinA?sinB?sinC?sinBsinC.
又sinB?sinC?1,得sinB?sinC?因为0??B?90?,0??C?90?,
1 2 故B?C
所以?ABC是等腰的钝角三角形。 (2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求sinB?sinC的最大值. 解:
(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c 即 a?b?c?bc
3
2222河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有2侵权必究
由余弦定理得 a?b?c?2bccosA 故 cosA??2221,A=120° ……6分 2(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
sinB?sinC?sinB?sin(60??B)
31cosB?sinB 22?sin(60??B)?故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
(2010全国卷2文数)(17)(本小题满分10分)
?ABC中,D为边BC上的一点,BD?33,sinB?53,cos?ADC?,求AD。 135【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由?ADC与?B的差求出?BAD,根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD。
(2010江西理数)17.(本小题满分12分)
??????f?x???1?cotx?sin2x?msin?x??sin?x??4??4?。 ?已知函数
??3??,??f?x?(1) 当m=0时,求在区间?84?上的取值范围;
f?a??35,求m的值。
(2) 当tana?2时,
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.
解:(1)当m=0时,f(x)?(1?cosx1?cos2x?sin2x)sin2x?sin2x?sinxcosx? sinx21??3??2?[2sin(2x?)?1],由已知x?[,],得2x??[?,1] 248442从而得:f(x)的值域为[0,1?2] 2 4
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cosx??)sin2x?msin(x?)sin(x?) sinx4411化简得:f(x)?[sin2x?(1?m)cos2x]?
222sinacosa2tana43??cos2a?当tan??2,得:sin2a?,,
sin2a?cos2a1?tan2a55(2)f(x)?(1?代入上式,m=-2.
(2010安徽文数)16、(本小题满分12分)
?ABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,cosA?12。 13???????? (Ⅰ)求AB?AC;
(Ⅱ)若c?b?1,求a的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】(1)根据同角三角函数关系,由cosA?12得sinA的值,再根据?ABC面积13????????222公式得bc?156;直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA,代入已知
条件c?b?1,及bc?156求a的值. 解:由cosA?121225,得sinA?1?()?. 1313131bcsinA?30,∴bc?156. 2????????12?144. (Ⅰ)AB?AC?bccosA?156?13又
222(Ⅱ)a?b?c?2bccosA?(c?b)?2bc(1?cosA)?1?2?156?(1?212)?25, 13∴a?5.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求bc的值,考虑已知?ABC的面积是30,cosA?12,所以先求sinA的值,然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问13中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.
(2010重庆文数)(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc . (Ⅰ) 求sinA的值;
2222sin(A?)sin(B?C?)44的值. (Ⅱ)求
1?cos2A?? 5
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(2010浙江文数)(18)(本题满分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S?32(a?b2?c2)。 4(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinA?sinB的最大值。
(2010重庆理数)(16)(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分) 设函数f?x??cos?x?(I) (II)
??2?x???2cos2,x?R。 3?2求f?x?的值域;
记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f?B?=1,b=1,c=3,6
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求a的值。
(Ⅱ)由f(B)=1得sin(B?故B?5?5?)?1?1,即sin(B?)?0,又因0?B??, 66?6.
2222解法一:由余弦定理b?a?c?2accosB,得a?3a?2?0,解a=1或2.
解法二:由正弦定理当C?bc3?2??,得sinC?. ,C?或sinBsinC233?322??当C??时,A=,又B=,从而a=b=1
366 故a的值为1或2.
(2010山东文数)(17)(本小题满分12分)
已知函数f(x)?sin(???x)cos?x?cos2?x(??0)的最小正周期为?, (Ⅰ)求?的值;
(Ⅱ)将函数y?f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的
时,A=?,从而a=b2?c2=2;
1,纵坐标不变,得到2???函数y?g(x)的图像,求函数y?g(x)在区间?0,?上的最小值.
?16? 7
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(2010北京文数)(15)(本小题共13分) 已知函数f(x)?2cos2x?sin2x (Ⅰ)求f()的值;
?3(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值 解:(Ⅰ)f()?2cos?32??31?sin2=?1??? 334422 (Ⅱ)f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx) ?3cosx?1,x?R
因为cosx???1,1?,所以,当cosx??1时f(x)取最大值2;当cosx?0时,
2f(x)去最小值-1。
(2010北京理数)(15)(本小题共13分)
www.@ks@5u.co 已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。 (Ⅰ)求f?()的值;
2?3 8
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(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值。
解:(I)f()?2cos?32???39?sin2?4cos??1??? 33344 (II)f(x)?2(2cos2x?1)?(1?cos2x)?4cosx =3cosx?4cosx?1 =3(cosx?)? 因为cosx?[?1,1],
22327,x?R 3osx? 所以,当cosx??1时,f(x)取最大值6;当c
(2010四川理数)(19)(本小题满分12分)
27时,f(x)取最小值? 331证明两角和的余弦公式C(Ⅰ)○???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?; 2由C ○???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.
?????1???3(Ⅱ)已知△ABC的面积S?,AB?AC?3,且cosB?,求cosC.
52本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运
算能力。
解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
2222
[cos(α+β)-1]+sin(α+β)=[cos(-β)-cosα]+[sin(-β)-sinα] 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分
w_w w. k#s5_u.c o*m??-α)=sinα,sin(-α)=cosα 22??sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]
22?? =cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
22②由①易得cos(
=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分
(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S=
11bcsinA= 22????????AB?AC=bccosA=3>0
w_w w. k#s5_u.c o*m 9
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∴A∈(0,
?),cosA=3sinA 22
又sinA+cosA=1,∴sinA=2
10310,cosA= 1010由题意,cosB=
34,得sinB= 55∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=1010w_w w. k#s5_u.c o*m
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-
(2010天津文数)(17)(本小题满分12分) 在?ABC中,
10…………………………12分 10ACcosB?。 ABcosC1???,求sin?4B??的值。 33??(Ⅰ)证明B=C: (Ⅱ)若cosA=-
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角
的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分. (Ⅰ)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得
sinBcosB=.于是sinCcosCsinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为???B?C??,从而B-C=0. 所以B=C.
(Ⅱ)解:由A+B+C=?和(Ⅰ)得A=?-2B,故cos2B=-cos(?-2B)=-cosA=
1. 3又0<2B
99 所以sin(4B?
?3)?sin4Bcos?3?cos4Bsin?3?42?73 18(2010天津理数)(17)(本小题满分12分) 已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1(x?R)
10
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(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间?0,???上的最大值和最小值; ??2?(Ⅱ)若f(x0)?6????,x0??,?,求cos2x0的值。 5?42?【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y?Asin(?x??)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。
(1)解:由f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1,得
f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos2x?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)
6所以函数f(x)的最小正周期为?
?因为f(x)?2sin?2x?????6??在区间?0,???????上为增函数,在区间,?上为减函数,又 ??66???2????f(0)?1,f???2,?6?为-1
??????
f????1,所以函数f(x)在区间?0,?上的最大值为2,最小值?2??2?
(Ⅱ)解:由(1)可知f(x0)?2sin?2x0?????? 6?又因为f(x0)?6??3?,所以sin?2x0??? 56?5?由x0????2?7??????,?,得2x0???,?
6?36??42???从而cos?2x0?所以
????42? ??1?sin2x?????0?6?65??????????????3?43?? cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?6?6?6?66?610????(2010广东理数)16、(本小题满分14分)
已知函数f(x)?Asin(3x??)(A?0,x?(??,??),0????在x?
11
?12时取得最大值4.
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(1) 求f(x)的最小正周期; (2) 求f(x)的解析式; (3) 若f(
2?3α +12)=125,求sinα.[来源:高考资源网KS5U.COM]
sin(2???2)?35,cos2??35,1?2sin2??35,sin2??155,sin???5.[来 (2010广东文数)
12
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(2010全国卷1理数)(17)(本小题满分10分) 已知VABC的内角A,B及其对边a,b满足a?b?acotA?bcotB,求内角C.
(2010四川文数)(19)(本小题满分12分)
w_w w. k#s5_u.c o*1证明两角和的余弦公式C(Ⅰ)○???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?; 2由C ○???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.
(Ⅱ)已知cos???431?,??(?,?),tan???,??(,?),cos(???),求cos(???) 5232解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始
边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
2222
[cos(α+β)-1]+sin(α+β)=[cos(-β)-cosα]+[sin(-β)-sinα] 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分
w_w w. k#s5_u.c o*m??-α)=sinα,sin(-α)=cosα 22??sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]
22?? =cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
22②由①易得cos(
=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分
43π
(2)∵α∈(π,),cosα=-
25 ∴sinα=-
3 51π
∵β∈(,π),tanβ=-
23 ∴cosβ=-31010,sinβ= 1010 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-
4331010)3(-)-(-)3551010w_w w. k#s5_u.c o*m
13
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=
310 10(2010湖北文数)16.(本小题满分12分)
cos2x?sin2x11,g(x)?sin2x?. 已经函数f(x)?224(Ⅰ)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出?
(Ⅱ)求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小值,并求使用h(x)取得最小值的x的集合。
(2010山东理数)
14
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(2010湖南理数)16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最大值; (II)求函数f(x)的零点的集合。
15
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(2010湖北理数) 16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=cos(??11?x)cos(?x),g(x)?sin2x? 3324(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合。
(2010福建理数)19.(本小题满分13分)
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时,
轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度
? 16
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沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得
而小艇的最OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC,高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相遇,设?COD=?(0?
30vcos?所以10?103tan?1031533?,解得v?, ?,又v?30,故sin(?+30)?30vcos?sin(?+30?)23,于是 3从而30???<90?,由于??30?时,tan?取得最小值,且最小值为
当??30时,t??210?103tan?取得最小值,且最小值为。
330此时,在?OAB中,OA?OB?AB?20,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
(2010安徽理数)16、(本小题满分12分)
设?ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且
?sin2A?sin(?B) sin(?B) ? sin2B。
33 (Ⅰ)求角A的值;
??????????(Ⅱ)若AB?AC?12,a?27,求b,c(其中b?c)。
17
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(2010江苏卷)17、(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=?,∠ADE=?。
(1)该小组已经测得一组?、?的值,tan?=1.24,tan?=1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使?与?之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,?-?最大?
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)HHHh?tan??AD?,同理:AB?,BD?。
tan?ADtan?tan? AD—AB=DB,故得
HHhhtan?4?1.24????124。 ,解得:H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20因此,算出的电视塔的高度H是124m。 (2)由题设知d?AB,得tan??HHhH?h,tan????, dADDBd 18
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HH?h?tan??tan?hdhd tan(???)??d?2?HH?hH(H?h)1?tan??tan?1??d?H(H?h)d?dddH(H?h)d??2H(H?h),(当且仅当d?H(H?h)?125?121?555时,取等号)
d故当d?555时,tan(???)最大。 因为0??????2,则0??????2,所以当d?555时,?-?最大。
故所求的d是555m。
(2010江苏卷)23.(本小题满分10分) 已知△ABC的三边长都是有理数。
(1)求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
b2?c2?a2(方法一)(1)证明:设三边长分别为a,b,c,cosA?,∵a,b,c是有理数,
2bcb2?c2?a2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性, b2?c2?a2∴必为有理数,∴cosA是有理数。
2bc(2)①当n?1时,显然cosA是有理数;
当n?2时,∵cos2A?2cos2A?1,因为cosA是有理数, ∴cos2A也是有理数; ②假设当n?k(k?2)时,结论成立,即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时,cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA,
1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)],
211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A,
22解得:cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A
∵cosA,coskA,cos(k?1)A均是有理数,∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数, ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时,结论成立。
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。 (方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
AB2?AC2?BC2cosA?是有理数。
2AB?AC
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(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。
①当n?1时,由(1)知cosA是有理数,从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时,coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时,由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA,
2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA,
及①和归纳假设,知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时,结论成立。
综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。
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