概率论与数理统计习题集及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独

立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案

§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；

(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.2 0?1分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6

（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.6 均匀分布和指数分布

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从??0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进

电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

§2.7 正态分布

1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (1)确定c，使得 P(X>c) = P(X

第2章作业答案

§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X≥1) = 0.981684,

(3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× (e?2?2e?2?2e?2)= 2e?2

（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)

= 0.4×5e?2 + 0.6×17?3e= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=

P(X?2,Y?2)0.27067??0.516

P(Y?2)0.52458§2.3 2： 至少必须进行11次独立射击. §2.6 1： 3/5 2： (1)e?2(2)e?2?e?4

§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3，

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，

用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)P(X?1)?0.6； 1 0.1 b 0.2 (2)P(X?1|Y?2)?0.5； (3)设F(x)是Y的分布函数，F(1.5)?0.5。

§3.2 二维连续型随机变量

1. (X、Y)的联合密度函数为：

?k(x?y)0?x?1,0?y?1 f(x,y)??其他?0?kxy0?x?1,0?y?x f(x,y)??其他?0求（1）常数k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

2．(X、Y)的联合密度函数为：

求（1）常数k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18 (1) P(Y?1)?1/3； 2 a b 1/9 (2) P(X?1|Y?2)?0.5； （3）已知X与Y相互独立。

第3章作业答案 §3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3

1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2

2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1

0.7 0.3 1

§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1： fX(x)??????212dy????2(1?x2)(1?y2)?(1?x2)?????x???；

fY(y)??1?(1?x)(1?y)22dx?2?(1?y2)???y???；

§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.

?3x22?x?41?2. 设X有密度函数：f(x)??8 , 求E(X),E(2X?1),E(2),并求X其他X?0?大于数学期望E(X)的概率。

3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

已知E(XY)?0.65， 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是： 1 0.1 b 0.2 （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。 4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求EX,EY,E(XY?1)。

第4章作业答案

§4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；

第5章 极限定理

§5.2 中心极限定理

1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其

余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别

求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值

X= ，样本均方差S? ，样本方差S2? 。

2．设总体方差为b有样本X1,X2,?,Xn，样本均值为X，则Cov(X1,X)? 。

2§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9= ，?02.1(5)= ，

t0.9(10)= 。

2．设X1,X2,?,Xn是总体?(m)的样本，求E(X),2D(X)。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1．设总体X~N(?,?)，样本X1,X2,?,Xn，样本均值X，样本方差S，则

22

X???/n1n~ ，

X??~ ，

S/n1?2?(Xi?1i?X)～ ，

2?2?(Xi?1ni??)2～ ，

第6章作业答案

§6.1 1．x?1.57,s?0.254,s2?0.0646； 2. Cov(X1,X)?b2/n；

D(X)?2m/n；

§6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．E(X)?m,§6.3 1.N(0,1),t(n?1),?2(n?1),?2(n)；

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

???x1.设总体X的密度函数为：f(x)????0参数? 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~?(?)，为估计?的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求?的一阶矩估计和二阶矩估计。

??10?x?1其他，有样本X1,X2,?,Xn，求未知

§7.2 极大似然估计

??(??1)x1.设总体X的密度函数为：f(x)????0?0?x?1其他，有样本X1,X2,?,Xn，求

未知参数? 的极大似然估计。

第7章作业答案

§7.1 1：(X2)； 2： 5， 4.97； 1?X§7.2 1：(n?lnXi?1n?1)2；

i一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3，则

p(A?B)? 0.6 , p(A-B)? 0.1 ，P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2

只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。

3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、

0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则a?0.1, E(X)?0.4，X与Y的协方差为: - 0.2 ， 0 1 0.2 0.3 0.4 a -1 1 Z?X?Y2的分布律为:

6、若随机变量

1 2 0.6 0.4 概率 X~N(2, 4)且

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