生产策略问题 - 数学实验

一、实验题目：生产策略问题

二、实验内容：

问题重述

现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益。 某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小?

三、数学模型：

生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，为使工厂的总损失最少，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，从而制定出使工厂总损失最小的生产策略。

文章把此求工厂总损失最小生产策略问题化为最短路问题的多阶段决策问题。设每个顶点代表各月，且以每个顶点为转折点进行生产策略调整，求出每个阶段的最小损耗。最后，使用Matlab软件求出最短的路径，此路径即为使工厂损失最小的生产策略。

每月社会需求量见下表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 需求（万元） 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

四、模型假设与符号说明：

1、市场的需求量严格按照年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增；

2、单位产品单位时间的库存保管费、短期损失费以及生产率每调整一次带有固定的调整费均不变；

3、工厂可以严格按照生产率生产产品。 符号 说明 顶点x1?x12 顶点x13 1月至12月初； 12月末； 弧xi?xi?a 从i月至i?a?1 月不调整生产策略，12?i?a?2,11?i?1； 从i月至i?a?1 月库存保管费和短期损失费的最小值以及第sxi?xi?ax13 i?a月的调整费用之和，12?i?a?2,11?i?1; 从i月至12 月库存保管费和短期损失费的最小值, 11?i?1； 工厂一年的总损失； 不调整前每月生产X万单位； i月库存保管费和短期损失费； sx?i s X Yi

五、算法步骤：

Floyd算法：求任意两点间的最短路． D(i,j)：i到j的距离．

R(i,j)：i到j之间的插入点． 输入: 带权邻接矩阵w(i,j) 赋初值：

对所有i,j, d(i,j)?w(i,j), r(i,j)?j, k?1 (2) 更新d(i,j), r(i,j)

对所有i,j，若d(i,k)+d(k,j)

(3) 若k=?，停止．否则k?k+1，转（２）．

六、算法编程：

附表1：

function[D,R]=floyd(a)

n=size(a,1); D=a

for i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; end end R

for k=1:n for i=1:n for j=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

R(i,j)=R(i,k); end end end k D R end

附表2：

w=[0 1 1.1 1.4 2 3 4.2 5.8 7.7 9.9 12.4 15 17; 1 0 1 1.1 1.4 2 3 4.2 5.8 7.7 9.9 12.4 14; 1.1 1 0 1 1.1 1.4 2 3 4.2 5.8 7.7 9.9 11.4; 1.4 1.1 1 0 1 1.1 1.4 2 3 4.2 5.8 7.7 8.9; 2 1.4 1.1 1 0 1 1.1 1.4 2 3 4.2 5.8 6.7; 3 2 1.4 1.1 1 0 1 1.1 1.4 2 3 4.2 4.8; 4.2 3 2 1.4 1.1 1 0 1 1.1 1.4 2 3 3.2; 5.8 4.2 3 2 1.4 1.1 1 0 1 1.1 1.4 2 2; 7.7 5.8 4.2 3 2 1.4 1.1 1 0 1 1.1 1.4 1; 9.9 7.7 5.8 4.2 3 2 1.4 1.1 1 0 1 1.1 0.4; 12.4 9.9 7.7 5.8 4.2 3 2 1.4 1.1 1 0 1 0.1; 15 12.4 9.9 7.7 5.8 4.2 3 2 1.4 1.1 1 0 0; 17 14 11.4 8.9 6.7 4.8 3.2 2 1 0.4 0.1 0 0]

七、实验过程及结果：

7.1计算1月的库存保管费和短期损失费的最小值0以及2月的调整费用1万，因此为最小损耗s同理，可得

x1?x2为1（万元）。

x12?x13sxi?xi?1（11?i?1）皆为1（万元），s为0。

7.2计算1月至2月的库存保管费和短期损失费的最小值以及3月的调整费

用1万

最小值计算 （1）6<=X<6.5 Y1=（X-6)*0.2 Y2=(13-2X)*0.4 S=(4-0.6*X)+1 (2)X>=6.5 Y1=（X-6)*0.2 Y2=(2X-13)*0.2 S=(0.6X-3.8)+1

s?当X=6.5，x1x3为1.1（万元）。

同理，可得

sxi?xi?2（10?i?1）皆为1.1（万元），sx11?x13为0.1（万元）

从上式我们可以看出不论在何种情况下，因Yi是一次函数，而Yi的和加1（除1月至12月），所以

sxi?xi?a为

sxi?xi?a也为一次函数，所以最小损耗必在

端点处取值。

7.3计算1月至3月的库存保管费和短期损失费的最小值以及4月的调整费用1万

分X>=7，6.5<=X<7，6<=X<6.5三种情况讨论；得X=7，

因此sx1?x4为1.4（万元）。

同理，可得

sxi?xi?3（9?i?1）皆为1.4（万元），sx10?x13为0.4（万元）。

7.4计算1月至4月的库存保管费和短期损失费的最小值以及5月的调整费

用1万

分X>=7.5，7=

因此sx1?x5为2（万元）。

同理，可得

sxi?xi?4（8?i?1）皆为2（万元），sx9?x13为1（万元）。

7.5计算1月至5月的库存保管费和短期损失费的最小值以及6月的调整费

用1万

分X>=8，7.5<=X<8,7<=X<7.5,6.5<=X<7，6<=X<6.5五种情况讨论；得X=8，

因此sx1?x6为3（万元）。

同理，可得

sxi?xi?5（7?i?1）皆为3（万元），sx8?x13为2（万元）。

7.6计算1月至6月的库存保管费和短期损失费的最小值以及7月的调整费用1万

分X>=8.5,8<=X<8.5,7.5<=X<8,7<=X<7.5,6.5<=X<7，6<=X<6.5六种情况讨论；得X=8，

因此sx1?x7为4.2（万元）。

同理，可得

sxi?xi?6（6?i?1）皆为4.2（万元），sx7?x13为3.2（万元）。

7.7计算1月至7月的库存保管费和短期损失费的最小值以及8月的调整费

用1万

分X>=9,8.5<=X<9,8<=X<8.5,7.5<=X<8,7<=X<7.5,6.5<=X<7，6<=X<6.5七种情况讨论；得X=8，

因此sx1?x8为5.8（万元）。

同理，可得

sxi?xi?7（5?i?1）皆为5.8（万元），sx6?x13为4.8（万元）。

7.8计算1月至8月的库存保管费和短期损失费的最小值以及9月的调整费用1万，

分X>=9.5,9<=X<9.5,8.5<=X<9,8<=X<8.5,7.5<=X<8,7<=X<7.5,6.5<=X<7，6<=X<6.5八种情况讨论；得X=8.5，

因此sx1?x9为7.7.（万元）。

同理，可得

sxi?xi?8（4?i?1）皆为7.7（万元），sx5?x13为6.7（万元）。

7.9计算1月至9月的库存保管费和短期损失费的最小值以及10月的调整

费用1万，分

X>=10,9.5=

因此sx1?x10为9.9（万元）。

同理，可得

sxi?xi?9（3?i?1）皆为9.9（万元），sx4?x13为8.9（万元）。

7.10计算1月至10月的库存保管费和短期损失费的最小值以及11月的调

整费用1万,分

X>=10.5,10=

因此sx1?x11为12.4（万元）。

同理，可得

sx?ixi?10（2?i?1）皆为12.4（万元），sx3?x13为11.4（万元）。

7.11计算1月至11月的库存保管费和短期损失费的最小值以及12月的调

整费用1万，分

X>=11,10.5=

9.5=

因此sx1?x12为15（万元）。sx2?x13为14（万元）。

7.12计算1月至12月的库存保管费和短期损失费的最小值，分

X>=11.5,11=

x1?x13，，

=17万。

总权值表:

调整三次，四月初七月初十月初各调整一次，s=1.4*4-1=4.6万元。

1—3月，产量为7万单位每月；4—6月，产量为10万单位每月，7—9月，产量为13万单位每月；10—12月，产量为16万单位每月。

七、实验结论：

把此求最少损耗的问题转化为最短路径的多阶段问题非常形象，让人容易理解。

在计算出最低损耗的同时也表示出了最短损耗的路径，可以清楚的得出工厂生产的策略。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nawf.html