梁昆淼_数学物理方法

回顾数学物理定解问题： 数学物理定解问题： 本质) 泛定方程 (本质) 定解条件条件 泛定方程的分类 波动方程 输运方程 稳定场方程

utt a uxx = 02

ut a uxx = 02

V =02

§7.2 7.2定解条件的本质： 定解条件的本质：

定解条件

数学上，变通解为特解；物理上， 数学上，变通解为特解；物理上，反映个体的特 殊性。 殊性。

定解条件的分类 初始条件 边界条件 衔接条件 (体系的历史) 体系的历史) (体系所处环境) 体系所处环境) (体系内部各部分间的关系) 体系内部各部分间的关系)

§7.2 7.2一、初始条件 对于输运方程 初始条件要求已知 对于波动方程 初始条 件要求 已知

定解条件2

ut a u = 0

u(x, y, z, t) t =t0 = (x, y, z)utt a u = 02

位移 速度

u(x, y, z, t) t =t0 = (x, y, z) ut (x, y, z, t) t =t0 =ψ (x, y, z)

例

yh 0 x x=l / 2 x=l

x

位移满足

(2h / l)xu(x) t =t0 =

[0, l / 2][l / 2, l]

2h (l x) l

速度满足

ut (x, y, z, t) t =t0 = 0

二、边界条件 第一类边 界条件 第二类边 界条件

u(x, y, z, t) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t) u(x, y, z, t) nx0 y0 z0

= f (x0 , y0 , z0 , t)

第三类边 界条件

u(x, y, z, t) [u + H ] x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t) n

1、第一类边界条件

u(x, y, z, t) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)如两端固定弦, 如两端固定弦,端点位移

u(x, t) x=0 = 0 u(x, t) x=l = 0

yh 0 x x=l / 2 x=l

x

0

x l

如细杆热传导端点温度 (如扩散端点浓度) 如扩散端点浓度)

u(x, t) x=0 = u0u(x, t) x=l = ul

2、第二类边界条件 A)、如细 )、如细 )、 杆的纵振动， 杆的纵振动， x=a 处受力 f(t)

un

x0 y0 z0

= f (x0 , y0 , z0 , t)f (t)x

0

a

(Yun (Yux

x=a

)S = f (t) )S = f (t)f (t) ux x=a = YS

x=a

如杆端自由 f(t)=0

ux

x=a

=0

B)、热传导 )、热传导 如细杆热传导端 点有热量流出

0

x ax=a

qx

x=a

u = kun x=a = k x qxx=a

= f (t)= f (t)

如细杆热传导端 点有热量流入

u = k x

x=a

3、第三类边界条件

(u + Hun ) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)如细杆热传导， 如细杆热传导， 一端自由冷却

0

x a

和周围介质温度θ 则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度θ差有关系

qx

x=a

u = k n

u = x=a k x

x=a

= h(u x=a θ )

(u + Hux ) x=a =θ

H = k/h

x=0 处

0

x ax=0

u u qx x=0 = k x=0 = k n ( x) u = h(u x=0 θ ) =k x=0 x

(u Hux ) x=0 =θ (u + Hux ) x=a =θ

三、衔接条件

y

v F(t)

u(x0 0, t) = u(x0 + 0, t)0

α1x0

α2x

F(t) T sin α1 T sin α2 = 0Tux (x0 + 0, t) Tux (x0 0, t) = F(t)u(x0 0, t) = u(x0 + 0, t)

sin α1 ≈ tgα1 = ux (x0 0, t) sin α2 ≈ tgα2 = ux (x0 + 0, t)

例1:半径为 表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照

射， :半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射， 阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M, 阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为 ，写出热传导的 边界条件。 边界条件。

阳光照射， 解： 阳光照射，流出 圆柱的热量为

Q = M sin θ dSdt 1由于温度梯度，流出 由于温度梯度， 圆柱的热流为

y xdS

Q2 = kun u = k ρ

ρ =a dSdt

θ θ

ρ =a dS dt

Q = M sin θ dSdt 1设柱面外温度为u0柱面温度

u Q2 = k ρ

ρ =a dS dt

u|ρ = a

y x

由牛顿冷却定律

Q + Q2 = h(u ρ =a u0 )dSdt 1 u M sin θ dSdt k ρρ =a dS dt

= h(u ρ=a u0 )dSdt

u M sin θ dSdt k ρ令

ρ =a dS dt

= h(u ρ=a u0 )dSdt

yM m= k h H= k

x

u ( + Hu) ρ=a = msin θ + Hu0 ρ当M=0,m=0

0 ≤θ ≤ π

u ( + Hu) ρ=a = Hu0 ρ

π ≤θ ≤ 2π

热传导系数、 例2:一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密 ：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数 比热、 度分别为k 初始温度为u 度分别为 I, cI, ρI, kII, cII, ρII, 初始温度为 0, 然后保持两端 温度为零，写出热传导问题的定解方程。 温度为零，写出热传导问题的定解方程。 x 解： 第一段 I

ut I

k

cI ρ I

uxx = 0I

x1

x2

x3

u第二段

I

t =0II

= u0kII

u

I

x=x1II

=0

ut

c II ρ I

uxx = 0

u衔接条件： 衔接条件：温度相等

II

t =0 = u0

u

II

x=x3

=0x=x2

u

I

x=x2

=u

II

x=x2

热流相等 k I ux I

= k uxII

II x=x2

§7.4 达朗贝公式、定解问题 7.4 达朗贝公式、 (一)、 达朗贝公式 考虑弦的振动方程2 2

utt a uxx = 02

表示为： 表示为：

u 2 u a 2 = 0 2 t x

或： ( + a )( a )u = 0 t x t x

( + a )( a )u = 0 t x t x令：

x = a(ξ +η)

t = ξ η

t x = = +a + ξ ξ t ξ x t x t x = = ( a ) + η η t η x t x

2u =0 η ξ

令：

x = a(ξ +η) 1 x = (ξ +η) 2 ξ = x + at 2u =0 η ξ

t = ξ η1 t = (ξ η) 2a η = x at对η积分

u = f (ξ ) ξ

再积分

u = ∫ f (ξ )dξ + f2 (η) = f1(ξ ) + f2 (η)

= f1(x + at) + f2 (x at)表示以速度a 表示以速度a沿x正负方向的行波

函数 f1 和 f2 的确定 考虑定解问题

utt a uxx = 02

u(x, t) t =0 = (x) ut (x, t) t =0 =ψ (x)

( ∞ < x < ∞) ( ∞ < x < ∞)

u = f1(x + at) + f2 (x at)求导有

ut = af1' (x + at) af2 ' (x at)af1' (x) af2 ' (x) =ψ (x)

f1(x) + f2 (x) = (x)

f1(x) + f2 (x) = (x)积分有

af1' (x) af2 ' (x) =ψ (x)

1 x f1(x) f2 (x) = ∫ ψ (ξ )dξ + C a x0

C = f1(x0 ) f2 (x0 )1 1 x C f1(x) = (x) + ∫ ψ (ξ )dξ + 2 2a x0 2 1 1 x C f2 (x) = (x) ∫ ψ (ξ )dξ 2

2a x0 2

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