梁昆淼_数学物理方法
更新时间:2023-05-15 13:29:01 阅读量: 实用文档 文档下载
回顾数学物理定解问题: 数学物理定解问题: 本质) 泛定方程 (本质) 定解条件条件 泛定方程的分类 波动方程 输运方程 稳定场方程
utt a uxx = 02
ut a uxx = 02
V =02
§7.2 7.2定解条件的本质: 定解条件的本质:
定解条件
数学上,变通解为特解;物理上, 数学上,变通解为特解;物理上,反映个体的特 殊性。 殊性。
定解条件的分类 初始条件 边界条件 衔接条件 (体系的历史) 体系的历史) (体系所处环境) 体系所处环境) (体系内部各部分间的关系) 体系内部各部分间的关系)
§7.2 7.2一、初始条件 对于输运方程 初始条件要求已知 对于波动方程 初始条 件要求 已知
定解条件2
ut a u = 0
u(x, y, z, t) t =t0 = (x, y, z)utt a u = 02
位移 速度
u(x, y, z, t) t =t0 = (x, y, z) ut (x, y, z, t) t =t0 =ψ (x, y, z)
例
yh 0 x x=l / 2 x=l
x
位移满足
(2h / l)xu(x) t =t0 =
[0, l / 2][l / 2, l]
2h (l x) l
速度满足
ut (x, y, z, t) t =t0 = 0
二、边界条件 第一类边 界条件 第二类边 界条件
u(x, y, z, t) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t) u(x, y, z, t) nx0 y0 z0
= f (x0 , y0 , z0 , t)
第三类边 界条件
u(x, y, z, t) [u + H ] x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t) n
1、第一类边界条件
u(x, y, z, t) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)如两端固定弦, 如两端固定弦,端点位移
u(x, t) x=0 = 0 u(x, t) x=l = 0
yh 0 x x=l / 2 x=l
x
0
x l
如细杆热传导端点温度 (如扩散端点浓度) 如扩散端点浓度)
u(x, t) x=0 = u0u(x, t) x=l = ul
2、第二类边界条件 A)、如细 )、如细 )、 杆的纵振动, 杆的纵振动, x=a 处受力 f(t)
un
x0 y0 z0
= f (x0 , y0 , z0 , t)f (t)x
0
a
(Yun (Yux
x=a
)S = f (t) )S = f (t)f (t) ux x=a = YS
x=a
如杆端自由 f(t)=0
ux
x=a
=0
B)、热传导 )、热传导 如细杆热传导端 点有热量流出
0
x ax=a
qx
x=a
u = kun x=a = k x qxx=a
= f (t)= f (t)
如细杆热传导端 点有热量流入
u = k x
x=a
3、第三类边界条件
(u + Hun ) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)如细杆热传导, 如细杆热传导, 一端自由冷却
0
x a
和周围介质温度θ 则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度θ差有关系
qx
x=a
u = k n
u = x=a k x
x=a
= h(u x=a θ )
(u + Hux ) x=a =θ
H = k/h
x=0 处
0
x ax=0
u u qx x=0 = k x=0 = k n ( x) u = h(u x=0 θ ) =k x=0 x
(u Hux ) x=0 =θ (u + Hux ) x=a =θ
三、衔接条件
y
v F(t)
u(x0 0, t) = u(x0 + 0, t)0
α1x0
α2x
F(t) T sin α1 T sin α2 = 0Tux (x0 + 0, t) Tux (x0 0, t) = F(t)u(x0 0, t) = u(x0 + 0, t)
sin α1 ≈ tgα1 = ux (x0 0, t) sin α2 ≈ tgα2 = ux (x0 + 0, t)
例1:半径为 表面熏黑的金属长圆柱,受到阳光照
射, :半径为a,表面熏黑的金属长圆柱,受到阳光照射, 阳光的方向垂直于柱轴,热流强度为M, 阳光的方向垂直于柱轴,热流强度为 ,写出热传导的 边界条件。 边界条件。
阳光照射, 解: 阳光照射,流出 圆柱的热量为
Q = M sin θ dSdt 1由于温度梯度,流出 由于温度梯度, 圆柱的热流为
y xdS
Q2 = kun u = k ρ
ρ =a dSdt
θ θ
ρ =a dS dt
Q = M sin θ dSdt 1设柱面外温度为u0柱面温度
u Q2 = k ρ
ρ =a dS dt
u|ρ = a
y x
由牛顿冷却定律
Q + Q2 = h(u ρ =a u0 )dSdt 1 u M sin θ dSdt k ρρ =a dS dt
= h(u ρ=a u0 )dSdt
u M sin θ dSdt k ρ令
ρ =a dS dt
= h(u ρ=a u0 )dSdt
yM m= k h H= k
x
u ( + Hu) ρ=a = msin θ + Hu0 ρ当M=0,m=0
0 ≤θ ≤ π
u ( + Hu) ρ=a = Hu0 ρ
π ≤θ ≤ 2π
热传导系数、 例2:一根导热杆由两段构成,两段热传导系数、比热、密 :一根导热杆由两段构成,两段热传导系数 比热、 度分别为k 初始温度为u 度分别为 I, cI, ρI, kII, cII, ρII, 初始温度为 0, 然后保持两端 温度为零,写出热传导问题的定解方程。 温度为零,写出热传导问题的定解方程。 x 解: 第一段 I
ut I
k
cI ρ I
uxx = 0I
x1
x2
x3
u第二段
I
t =0II
= u0kII
u
I
x=x1II
=0
ut
c II ρ I
uxx = 0
u衔接条件: 衔接条件:温度相等
II
t =0 = u0
u
II
x=x3
=0x=x2
u
I
x=x2
=u
II
x=x2
热流相等 k I ux I
= k uxII
II x=x2
§7.4 达朗贝公式、定解问题 7.4 达朗贝公式、 (一)、 达朗贝公式 考虑弦的振动方程2 2
utt a uxx = 02
表示为: 表示为:
u 2 u a 2 = 0 2 t x
或: ( + a )( a )u = 0 t x t x
( + a )( a )u = 0 t x t x令:
x = a(ξ +η)
t = ξ η
t x = = +a + ξ ξ t ξ x t x t x = = ( a ) + η η t η x t x
2u =0 η ξ
令:
x = a(ξ +η) 1 x = (ξ +η) 2 ξ = x + at 2u =0 η ξ
t = ξ η1 t = (ξ η) 2a η = x at对η积分
u = f (ξ ) ξ
再积分
u = ∫ f (ξ )dξ + f2 (η) = f1(ξ ) + f2 (η)
= f1(x + at) + f2 (x at)表示以速度a 表示以速度a沿x正负方向的行波
函数 f1 和 f2 的确定 考虑定解问题
utt a uxx = 02
u(x, t) t =0 = (x) ut (x, t) t =0 =ψ (x)
( ∞ < x < ∞) ( ∞ < x < ∞)
u = f1(x + at) + f2 (x at)求导有
ut = af1' (x + at) af2 ' (x at)af1' (x) af2 ' (x) =ψ (x)
f1(x) + f2 (x) = (x)
f1(x) + f2 (x) = (x)积分有
af1' (x) af2 ' (x) =ψ (x)
1 x f1(x) f2 (x) = ∫ ψ (ξ )dξ + C a x0
C = f1(x0 ) f2 (x0 )1 1 x C f1(x) = (x) + ∫ ψ (ξ )dξ + 2 2a x0 2 1 1 x C f2 (x) = (x) ∫ ψ (ξ )dξ 2
2a x0 2
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