圆的方程 Microsoft Word 文档

圆的方程

1. 圆的标准方程

(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2) 特殊的，x2＋y2＝r2

(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r．

2. 圆的一般方程

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为

2222DED＋E－4F x＋ ＋ y＋ ＝. 2 2 4

DE 22 (1) 当D＋E－4F>0时，方程表示以 －2，－2 ； (2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点 (3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．

3. 确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：

(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；

(2) 根据条件列出关于a，b，r的方程组或关于D，E，F的方程组；

(3) 求出a，b，r或D，E，F的值，从而确定圆的方程．

4. 点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋

(y－b)2＝r2的位置关系：

(1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．

(2) 若M(x0，y0)222

(3) 若M(x0，y0)00

1. 方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________． 答案：(3，0) 3

解析：(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.

2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．

答案：(x－1)2＋(y－2)2＝25

3. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．

答案：x2＋(y－2)2＝1

解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝

2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

4. (必修2P112习题8改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．

答案：(－1，1)

解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a＜1.

1. 已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．

3242 答案：x＋＝ 33

2π解析：由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，3

ππ2333半径为r，则rsin1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝.故圆的方程为x2＋ 3333 3 24＝3

4. 若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为________．

答案：1

11解析：圆C的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4.所以ab＝≤44

22 4a＋b 1× 4 ＝1.当且仅当a＝1

，b＝2取得等号． 2 2 4 2

练习

1. 圆x2＋y2－4x＝0在点P(13)处的切线方程为________．

答案：x－3y＋2＝0

2. (必修2P115练习1改编)已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．

3. (必修2P115练习4改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．

答案：(－3，3)

4. (必修2P107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．

答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝9

5.自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：2x＋y2－4x－4y＋7＝0相切．求：

(1) 光线l和反射光线所在的直线方程；

(2) 光线自A到切点所经过的路程．

解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A′的坐标为(－3，－3)，其次设过A′的圆C的切线方程为

y＝k(x＋3)－3.

43根据d＝r，即求出圆C的切线的斜率为k＝k 34

进一步求出反射光线所在的直线的方程为

4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.

最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.

光路的距离为|A′M|，可由勾股定理求得

|A′M|＝|A′C|－|CM|＝7.

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