【二轮必备】：导数及其应用 Word版含答案

1 2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编

导数及其应用

一、选择、填空题

1、()f x 是定义在（0，＋∞）上单调函数，且对(0,)x ?∈+∞，都有(()ln )1f f x x e -=+，则方程()'()f x f x e -=的实数解所在的区间是

A 、（0，1e ）

B 、（1e

，1） C 、（1，e ） D 、（e ，3） 2、若函数()y f x =的导数''()y f x =仍是x 的函数，就把''()y f x =的导数''''()y f x =叫

做函数()y f x =二阶导数，记做(2)(2)()y f x =。同样函数()y f x =的n-1阶导数叫做

()y f x =的n 阶导数，表示()()()n n y f x =.在求ln(1)y x =+的n 阶导数时，已求得(2)(3)23

1112',,,1(1)(1)y y y x x x ?==-=-+++(4)4123,...,(1)y x ??=-+根据以上推理，函数ln(1)y x =+的第n 阶导数为_________.

3、已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =

+--+的导函数'()y f x =的图像如右图所示，则函数()|2|x g x a =-的图像可能是

4、设曲线sin y x =上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可

以为

5、若函数()32

221f x x tx =-++存在唯一的零点，则实数t 的取值范围为 . 6、（烟台市2016高三3月模拟）已知()f x 为定义在()0,+∞上的单调递增函数，对任意

2 ()0,x ∈+∞，都满足()2log 3f f x x -=????，则函数()()()()()2y f x f x f x f x ''=--为的导函数的零点所在区间是 A. 102?

? ???， B. 112??

???， C. ()12， D. ()23，

7、设函数()f x '是()f x （x R ∈）的导函数，()01f =，且()()33f x f x '=-，则()()4f x f x '>的解集是 A. 43ln ,??+∞ ???B. 23ln ,??+∞ ???

C. 2,??+∞ ? ???

D. 3,??+∞ ? ???

参考答案：

1、C

2、()()()()

11!1.1n n n n y x --=-+ 3、D 4、C 5、

6、C

7、【答案】D 【解析】根据()01f =，()()33f x f x '=-，导函数于原函数之间没有用变量x 联系，可

知函数与x y e =有关，可构造函数为()321x f x e =-，()()()433f x f x f x '>=+，即

()3f x >，3213x e ->，解得23ln x >

，故选D

3 二、解答题

1、 设函数()()221ln ,f x ax a x x =---，其中.a R ∈

（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间1,12??????上的最小值；

（Ⅲ）记函数()y f x =的图象为曲线C ，设点()()1122,,,A x y B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ，试判断曲线C 在N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.

2、设函数21()ln (0),'(1)0.2

f x x ax bx a f =-+>= （I ）用含a 的式子表示b ； （II ）令F （x ）＝21

()(03)2a f x ax bx x x +-+

<≤，其图象上任意一点P 00(,)x y 处切线的斜率12

k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）若a ＝2，试求()f x 在区间1[,](0)2

c c c +>上的最大值。

4 3、已知函数()ln(1)().x f x x ae a R -=++∈

()I 当1a =时，求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 不是单调函数，求实数a 的取值范围.

4、定义在R 上的函数()f x 满足()22x f x e x ax =+-，函数

()()21124x g x f x b x b ??=-+-+ ???

（其中,a b 为常数），若函数()f x 在0x =处的切线与y 轴垂直.

（I ）求函数()f x 的解析式；

（II ）求函数()g x 的单调区间；

（III ）若,,s t r 满足s r t r -<-恒成立，则称s 比t 更靠近r.在函数()g x 有极值的前提下，当1x ≥时，

e x 比1x e b -+更靠近ln x ，试求b 的取值范围.

5 5、已知函数2()2,()ln .f x x ax g x x =-=

()I 若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；

()II 设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x 且11(0,)2

x ∈，证明：123()()ln 2.4

h x h x ->-

6、（青岛市2016高三3月模拟）已知函数()sin f x x ax =-. （I ）对于()()0,1,0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围；

（II ）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （III ）求证：()()1111ln 11231n n N n n *+<+

++???++∈-.

6 7、（日照市2016高三3月模拟）已知函数()ln x f x x

=. （I ）记函数()()21,22F x x x f x x ?

???=-?∈ ???????

，求函数()F x 的最大值； （II ）记函数()(),,2,0x x s e H x f x x s ?≥?=??<

，若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得()0=H x k 成

立，求实数s 的取值集合.

8、（泰安市2016高三3月模拟）已知函数()ln f x x =

（I ）若函数()()F x tf x =与函数()2

1g x x =-在点1x =处有共同的切线l ，求t 的值； （II ）证明：()()12

f x f x x x ->+； （III ）若不等式()mf x a x ≥+对所有的230,,1,2m x e ????∈∈??????

都成立，求实数a 的取值范围.

7 9、（潍坊市2016高三3月模拟）函数()()()()2,x f x x a x b e a b R =-+∈.

（I ）函数0,3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若()x a f x =是的极大值点.

（i ）当0a =时，求b 的取值范围；

（ii ）当a 为定值时，设()123,,x x x f x 是的3个极值点.问：是否存在实数b ，可找到4x 使得1234,,,x x x x 的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b 的值及相应的4x ；若不存在，说明理由.

10、（烟台市2016高三3月模拟）已知函数()ax f x e =（其中e=2.71828…），()()f x g x x

=. （1）若()[)1,g x +∞在上是增函数，求实数a 的取值范围；

（2）当12a =

时，求函数()[](),10g x m m m +>在上的最小值.

8 11、（枣庄市2016高三3月模拟）已知函数()()()211ln f x x a x x a R =----∈.

(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；

(2)若函数()()1g x f x x =-+有一个极小值点和一个极大值点，求a 的取值范围；

(3)若存在()1,2k ∈，使得当(]0,x k ∈时，()f x 的值域是()),f k ?+∞?，求a 的取值范围.

注：自然对数的底数 2.71828e =???.

12、（淄博市2016高三3月模拟）设函数()()

2=1x f x x e ax --（ 2.71828e = 是自然对数的底数）.

（Ⅰ）若12

a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在()-1,0无极值，求a 的值

（Ⅲ）设,x 0n N *

∈>，求证：21.1!2!!n

x x x ex n >++++ 注：()!12 1.n n n =?-???

9 13、（济南市2016高三3月模拟）已知函数()l n (1)()1x f x a x a R x

=-+∈+，2()()mx g x x e m R =∈.

（I ）当1a =时，求函数()f x 的最大值；

（II ）若0a <，且对任意的1212,,[0,2],()1()x x f x g x ∈+≥恒成立，求实数m 的取值范围.

2、

10

11

3、解：函数定义域为()1,-+∞，…………………………………………………………1分

()11x f x ae x -'=-+11x a x e =-+()()

11x x e a x x e -+=+;…………………………………………2分 （Ⅰ）当1a =时，()f x '=()

()11x x e x x e -++，令()()1x m x e x =-+ ()1x >-，

12 则 ()1x m x e '=-，由()0m x '=，得0x =， 则()1,0x ∈-时，()0m x '<；()0,x ∈+∞时，()0m x '>， 所以()m x 在()1,0-上是减函数，在()0,+∞上是增函数， 所以0()(0)10m x m e ≥=-=，………………………………………………………………5分 即()0f x '≥， 所以()f x 在()1,-+∞上是增函数， 即()f x 的增区间为()1,-+∞． ……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1x e x ≥+， …………………………………………………………7分 ①当1a ≤时，()11a x x +≤+，

故()1x e a x ≥+，于是()f x '=()

()11x x e a x x e -++0≥，

则()f x 在()1,-+∞上是增函数，故1a ≤不合题意；……………………………………9分 ②当1a >时，令()()1x m x e a x =-+ ()1x >-， ()x m x e a '=-，由()0m x '=，得ln 0x a =>， 于是()1,ln x a ∈-时，()0m x '<；()ln ,x a ∈+∞时，()0m x '>， 即所以()m x 在()1,ln a -上是减函数，在()ln ,a +∞上是增函数,………………………11分 而()110m e --=>，()()ln ln ln 1ln 0a m a e a a a a =-+=-<， 故()m x 在()1,ln a -上存在唯一零点，…………………………………………………12分 设其为0x ，则()01,x x ∈-时，()0m x >，即()0f x '>；

()0,ln x x a ∈时，()0m x <，即()0f x '<，

所以()f x 在()01,x -上是增函数，在()0,ln x a 上是减函数，………………………13分

所以()f x 不是单调函数，故1a >符合题意． 所以实数a 的取值范围是()1,+∞．………………………………………………………14分 4、

13

5、

6、

14

7、解：（Ⅰ）

1

()2

F x x

x

'=-，令()0

F x

'=

，得x=

∴

11

()ln2

24

F=+，(2)4ln2

F=-

，

1ln2

(

22

F

+

=

且

1

(2)(),(2)(

22

F F F F

>>

15

16 ∴2x =时，函数()F x 取得最大值，最大值为4ln2-. ……………………4分 （Ⅱ） 对任意实数k ，总存在实数0x ，使得0()H x k =成立，

∴函数()H x 的值域为R . 函数e 2x y =

在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2e

s +∞. 函数ln ()x y f x x ==，21ln x y x

-'=.当e x =时，0y '=. 当e x >时，0y '<,函数ln x y x

=在[e,)+∞单调递减， 当0e x <<时，0y '>,函数ln x y x

=在(0,e)单调递增. ……………………8分 （1）若e s >，函数ln x y x =在(0,e)单调递增，在(e,)s 单调递减，其值域为1(,]e

-∞， 又12e e

s >，不符合题意； （2）若0e s <≤，函数ln x y x =在(0,)s 单调递增，其值域为ln (,]s s

-∞， 由题意得ln 2e s s s ≤，即22eln 0s s -≤； 令2

()2eln u s s s =-，22e 2(e)()2s u s s s s -'=-=.

当s >()0u s '>，()u s

在单调递增；

当0s <<()0u s '<，()u s

在单调递减.

∴s =时，()u s

有最小值0u =，从而()0u s ≥

恒成立（当且仅当s =时，()0u s =）.

由（1）（2）得，()0u s =

，所以s =综上所述，实数s

的取值集合为. ……………………13分 8、

9、

17

18

10、

19

20

11、解：(1) ()f x 的定义域为(0,).+∞ 当0a =时，11()1.x f x x x -'=-=…………………………………………………1分 ()0f x '<01x ?<<； ()0f x '> 1.x ?>

21 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).………………………………3分

(2)2

()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x -+'=---=-.………………4分 令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等

的正根，设两根为12,.x x 于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠???=->???+=>??=>??

…………………………………………6分

解得2a >.………………………………………………………………………………7分 当2a >时， ()0h x =有两个不相等的正实根，设为12,x x ，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x

--'=-=-. 当10x x <<时，()h x >0，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数；

当12x x x <<时，()h x <0，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数；

当2x x >时，()h x >0，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数.

由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点.符合题意.

综上，所求实数a 的取值范围是(2,).+∞………………………………………………8分 (3)212(21)1(1)(21)()12(1)=ax a x x ax f x a x x x x

-++--'=---=--.…………………9分 ① 当0a …时，210ax x

-<. 当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数；

当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数.

所以，当(0,]x k ∈(12)k <<时，min ()(1)0()f x f f k ==<，()f x 的值域是[0,)+∞. 不符合题意.……………………………………………………………………………10分

② 当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x --'=-

. （i ）当112

<，即1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：

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